1、摘 要 1关键词 1一、引 言 2二、行列式的计算方法 22.1 化三角形法 22.2 爪形行列式 32.3 可化为爪形的行列式 .42.4 爪型行列式 递推公式法 52.5 拆项法 72.6 提取公因式法 82.7 数学归纳法. .92.8 利用范德蒙德行列式法 11三、行列式的简单应用 123.1 行列式在初等数学中的应用 123.1.1 利用行列式分解因式 .123.1.2 用行列式证明不等式和恒等式 .133.2 行列式在解析几何中的几个应用 143.2.1 用行列式表示三角形面积 143.2.2 用行列式表示直线方程 .143.2.3 三线共点，三点共线 .16四、总结 17参考文献
2、 1711论 文 内 容 摘 要摘要：行列式的计算在数学中有着广泛的应用，作为数学工具它是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题。3 的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可以按行列式的定义求值.对于一般 n 阶行列式，特别是当 n 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事.因此，研究一般 n 阶行列式的计算方法是十分必要的.所以，本文将给出近十种行列式的计算方法，综合利用所给解法，基本上可解决一般行列式的计算问题，最后由行列式与其它知识的联系介绍它在其它学科中的简单应用。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键
3、词：行列式 工具 简单应用Abstract：the determinant computation in mathematics is widely used as a mathematical tool, it is a very important issue, but also Is a complex problem. The 3 determinant can be directly according to the definition of determinant evaluation, zero element many determinant ( triangle.Deter
4、minant determinant definition ) can also be evaluated. For general n order determinant, especially when n is bigger, directly with the definition of determinant is almost impossible. Therefore, on general n order determinant calculation method is very necessary. Therefore, this paper gives ten kinds
5、 of calculating methods of determinant, comprehensive utilization the solution, basically can solve the determinant computation problems, finally by the determinant and other knowledge to introduce it in other disciplines in a simple application. Through this series of methods to further enhance our
6、 understanding of the determinant, on our learning will bring very good help.Keywords：determinant tools simple application22一、引 言行列式是研究数学的重要工具之一，在线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、高等代数、解析几何、 维空n间的投影变换、常微分方程中等有着非常广泛的应用, 用行列式来计算是很便。以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文将对行列式的解题方法 .行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面
7、的简单应用进行总结归纳。我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的 2 个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成
8、是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系。在其他学科中也有着非常广泛的应用，在本文将作简单的介绍。二、行列式的计算方法2.1 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线 n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号33例：计算 n 阶行列式 abaDn 解
9、 abnan 1babn 01n12.2 爪形行列式012120,12,3.0nn inabbcDan 解：把所有的第 列 的 倍加到第一列，得：1i(,2)i ica121210nn nabDaab 121 0(2,3)1ninrnb 1121 1().00(,2)ni nii nabac bb 4421 121 11 2212 110 (2,3)0 10n nin nnnnnaa aarD aaa 12 121 1 12 2 212 20 00(3,4)0n ninnn n naaaacaaaa 12(3,42)1ijcna 1121 21200nini nnaaa 1 2211,112(
10、2)()()n ninn inn ijiaaaa 这类行列式有明显的特点，只有三行（列）有数字，其他全为零，这三行（列）不一定在第一行，第一列。但是主对角线上一般不能为零。当然也有一些不是这样的但是可以通过适当的变形，化为这类行列式。2.3 可化为爪形的行列式例题（1）55121210nn naabDaab 121 0(2,3)1ni nabrn 1121 1().00(,2)i nnii naabc bnb 例题（2） 12 1211 122 21 200010(3,4)0n ninnnn na aaac 12(3,42)ijcna 121100ii nnaa 1 2211,112(2)()
11、()n ninn inn ijia aaa 2.4 爪型行列式 递推公式法例题 （1）950409nD 66解： 11 12150049990,54nn nnncDD 按 展 开即有 ,or11254(5)nnD 2(4)nn于是有 2 2315 (654,n同理有 212 2()()3)nnnnnDD即 115454nn （先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2 阶，1 阶）行列式的值求出 的值）D(2) =nDbababa 0000解： 2121121c()()()nnnnnnabDDbaD1按 展 开同理 21121).nnDab而 22,abab21
12、();n nn2 .Da由以上两式解得1()naba所谓利用递推关系法，就是先建立同类型 n 阶与 n-1 阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式（在后面的数学归纳法中也要用到） ，再利用递推77关系求出原行列式的值.。这种方法有固定的模式，我们只要观察它有着这样的特点，就可以直接套用这种方法。2.5 拆项法例题 nD1212nnaa解： n12naa 120nna 120nnaa 1nD121naD121ina例题 nabbcDa 解： 110 ()1n nncbbcbbba aDcacDacac 881100()nnbbacacDbcb 11()()nnabcD00nacabDc a 又
13、11()ncababD ，得 abc （ ） - () ()()nnncabc()1/()nnncDba当 时 ，当 时 ，此类题型是利用行列式的性质，将所给行列式拆成两个行列式的和，再利用递推，化三角形法计算出行列式的值。拆项不是一定只能拆成两项，可以是多项。毫无疑问对于初学者来说拆项法有一定的难度。一般有如下情形的可以采用这种方法。情形：1.行列式中有某行(列)是几行(列)之和，可直接利用性质拆项。2.行列式中的某行(列)只有个别元素是两项之和，或者某行(列)不是两项之和的形式，这时可以用恒等变形，使之作恒等变形，使某某行(列)全部为两项和的形式。992.6 提取公因式法例：计算22135
14、9xD解：由行列式定义知 为 的四次多项式x又，当 时，1，2 行相同，有 ， 为 D 的根x0D1x当 时，三，四行相同，有 为 D 的根,2故 有四个一次因式，D1,xx设 (1)(2)ax令 则 ，即 0,31529(1)21.a3.a3(1)()2Dxx若行列式满足下列条件之一，则可以用此法： (1)有一行（列）元素相同，称为“型” (2)有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”(3)各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式 a 变为“1，1，1 型” ，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列
15、式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.2.7 数学归纳法数学归纳法是证明行列式常用的方法，首先建立递推关系，当递推关仅涉及相邻两项时用“第一数学归纳法” ，当涉及相邻三项时用“第二数学归纳法” ，一般我们用的是第一数学归纳法，下面简单的介绍两种数学归纳法。第一数学归纳法:1010设有一个与自然数 n 有关的命题，若(1)当 n=1 时命题成立(2)假设当 n=k 时成立，可以推出 n=k+1 时命题成立那么命题对一切自然数 n 都成立。第二数学归纳法：设有一个与自然数 n 有关的命题，若(1)当 n=1 时命题成立(2)假设当 nk 时成立，可以推出 n=k+1 时命题成立
16、那么命题对一切自然数 n 都成立。（1） （用数学归纳法）证明： 12121()n ninaDaa 证：当 时， ，结论成立111()a假设 时结论成立，即 ，对 ，将 按nk121()kkniDa 1nk1kD最一列拆开，得 11 221 1101111k kkaaD a 12101kkaaD 21kkaD2121211()()k kk ki iaaaa 1111所以 时结论成立，故原命题得证1nk（2）证明：cos1002coscos12nDn 证： 时， ，结论成立11cos.假设 时，结论成立nk当 时， 按第 行展开得1kD11 1cos1022cos() 2coscos1kkk k
17、D 由归纳假设 1csocs(1)2cscskDkk 2oincssinkko(1)于是 时结论亦成立，原命题得证1nk这种方法一般是先建立同类型 n 阶与 n-1 阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值.，这样的联系需要我们去找，通常只需做简单的变换就可以看出。2.8 利用范德蒙德行列式法(1)122211nnnnxxDxx 1212解：考察 阶范德蒙行列式1n1221211121() ()()()n nijjinnxxf xxxxx 显然 就是行列式 中元素 的余子式 ，即D()f1n.1nM,1,1nnMA（ 为代数余子式）,1n又由 的表达式（及根与系
18、数的关系）知， 中 的系数为()fx ()fx1n121)().nijjixx即 ,(n ijjinA121)()nijjiDxxx(2)2212nnnxx 解：考虑 级范德蒙行列式1221121()nnnxxgxx 121()()()nijjixxx显然 就是行列式 中元素的余子式 ，即nD()g2,1nM32,12,1nMA，由 的表达式知， 的系数为()fxx由 的表达式知， 的系数为：()fxx2312121)()nnnijjinxx 1313即 .2,12312121() )()nnnnijjinAfxxxx 2312121(nnnnijjiD 著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重
19、要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果.从本例题我们看出它的优越性。三、行列式的简单应用3.1 行列式在初等数学中的应用3.1.1 利用行列式分解因式行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例分解因式： .323323323 baccbabca解： ()()()原 式cc11aabb01ccaabb()()cac()()abcabc例题分解因式: )(4)(2dcbcd解: 原式 2()ab 2()()cdab1414.1(2)()cdabab 2()cdb3.1.2 用行列式证明不等
20、式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例：已知 , 求证 .0cbaabca33证明: 令 , 则bcD3.0321 acbacacbr命题得证.例题 求证 .,1, yxybxyx 22cb证明：令 , 则)(22cbacaD 01123 cbacyxcbycx命题得证.例题 已知 , 求证 .0a aab333证明：令 , 则)(33 cacbD2132222210cbacbc()()()()b
21、abacbc1515而 , 则 , 命题得证.0cbaD3.2 行列式在解析几何中的几个应用3.2.1 用行列式表示三角形面积我们知道以平面内三点 为顶点的 的面积),(),(),( 321yxRQyxPPQRS 是 的绝对值.（证明略）12321yx3.2.2 用行列式表示直线方程例如：直线方程通过两点 和 的直线 的方程为),(1yxP),(2yQP. 0121yx证明： 由两点式, 我们得直线 的方程为PQ.将上式展开并化简, 得2121yx0212yxxy此式可进一步变形为 此式为行列式(1)按第三21221y行展开所得结果. 原式得证.例题 若直线 过平面上两个不同的已知点 , ,
22、求直线方l 1()xyA2()xy程.解：设直线 的方程为 , 不全为 0, 因为点l 0cbyax在直线 上, 则必须满足上述方程 , 从而有),(),(21yxAl1616这是一个以 为未知量的齐次线性方程组 , 且.0,21cbyaxcba,不全为 0, 说明该齐次线性方程组有非零解。 其系数行列式等于 0, 即cb,121yx=0 则所求直线 的方程为 =0 同理, 若空间上有三l121yx个不同的已知点 , 平面 过 , 则平),(),(),( 321 zCzyxzASCA面 的方程为S.同理, 若平面有三个不同的已知点0133221zyxz, 圆 过 ,则有)(),(),(321y
23、xCAOCA圆 的方程为 .O01323211yx3.2.3 三线共点，三点共线我们知道平面内三条互不平行的直线相交于一点的充要条件是 . .0,332211cybxaLcyx 0332211cba在一直线的充要条件是 =0),(),(),(321yxRQP 132yx1717例题 平面上给出三条不重合的直线：, 若 , 则这三条直线不能组成三角形 .0332211cybxaLcyx0332211cba证明：设 与 的交点为 , 因为12L)(1yxP,将第 1 列乘上 , 第 2 列乘上 , 全加到第 3 列上去, 22330cab11y可得： 因为 在 与 上, 所以111222333xy
24、cabP1L2, 且110xyc 121231320()abaxbycaxbyc123313abxyc若 与 平行, 若 也在 上11220abLab2 Pcybxa0313 3L交于一点,无论何种情形, 都有 不组成三角形.31,L321,L这说明由 , 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三033221cba条直线不能组成三角形.四、总结 我们介绍了计算行列式的几种方法，还有一些方法和技巧由于篇幅所限和本人能力有限，不再列举.最后指出：对于给定的行列式，究竟选择何种方法为好，关键是要抓住一行列式的结够形式，其中元素的特征，通过研究、分析、比较，选取适当的方法和运算技巧，在解题中不
25、能只拘泥于一种方法，有时计算一个行列式需要几种方法配合使才能达到计算简单、快捷、高效，这就需要1818我们在实践中积累经验.当然经验是离不开适当的练习，因此需要我们做适当的练习多总结。1919参考文献1.王 萼 芳 ， 石 生 明 ， 高 等 代 数 (第 三 版 ) M， 高 等 教 育 出 版 社 ,20032.陈 文 灯 ， 研 究 生 入 学 考 试 数 学 复 习 指 南 （ 理 工 类） M， 世 界 图 书 出 版 社 ,20033.魏 宗 宣 ， 研 究 生 入 学 考 试 线 性 代 数 试 题 选 解 M ， 中 国 工 业 大 学 出 版 社,20024.毛 纲 源 ， 线 性 代 数 解 题 方 法 技 巧 与 归 纳 M ， 华 中 理 工 大 学 出 版 社,20035黄 先 开 ， 陈 文 灯 ， 线 性 代 数 M， 世 界 图 书 出 版 公 司 ,20016.彭 丽 清 ， 行 列 式 的 应 用 J， 忻 州 师 范 学 院 学 报 , 20057.徐 岳 灿 ， 关 于 行 列 式 的 若 干 应 用J， 上 海 中 学 数 学 , 2004
