1、Yibin University本科生毕业论文题 目 行列式的来源及应用 二级学院 数 学 学 院 专 业 数学与应用数学 学生姓名 谢艳红 学 号 100203067 年级 2010 级 指导教师 刘敏 职称 教授 教务处制表 2014年 5 月 3 日行列式的来源及应用作者:谢艳红(宜宾学院数学学院 级励志班 四川宜宾 )10640指导老师:刘敏摘要:本文从行列式的来源及行列式的应用两个方面展开探讨.本文首先根据历史上各位数学家对行列式进行研究的先后顺序,介绍了行列式的来源和行列式的发展历史;然后通过例题展示了行列式在解线性方程组,向量空间相关理论,特征值与特征向量的求法,微分中值定理以及
2、解析几何等方面的应用.关键字:线性方程组 向量空间 解析几何 范得蒙行列式引言:行列式是高等代数课程中重要的内容之一,而且它作为一个基础工具,在数学中有广泛的应用.从古至今,有许多位优秀的数学家对行列式以及行列式的应用进行了呕心沥血的研究,取得了令人瞩目的成就,这在行列式的发展史上具有重要意义.本文重点展示了行列式的应用.行列式的应用十分广泛,在高等代数课程中有许多内容与行列式有关,许多问题更是需要借助行列式这一基础工具才能解决.而行列式在初等代数,数学分析以及解析几何中的应用也越来越多,运用行列式可以更为方便和快速的解决部分难题.对于考研的同学来说,清楚而灵活地掌握行列式应用方法,可以在考研
3、过程中达到事半功倍的效果.1、行列式的来源行列式和矩阵理论是伴随着线性线性方程组研究而引入和发展的.行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 年写了一部叫做解伏题之法的著作,1683意思是”解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家,微积分学奠基人之一莱布尼兹( , 年).Leibntz1693他在研究线性方程组的解法时,开始用指标的系统集合来表示线性方程组的系数,并得到现在称为结式的一个行列式.大约在 年马克劳林开始用行列式的方法解含有 个未知数729 42的线性方程组,还使用了现在所称的克莱姆法则.克莱姆在
4、 年发表了线性代数分析导1750言,把这个法则表示出来,这是解线性方程组的重要基本公式. 年,贝祖( )证明6Bezout了系数行列式等于零是方程组有非零解的条件.这些关于行列式的早期工作大都是为了解方程组而利用行列式,以求得紧凑简单的表达式.对行列式理论做专门研究( 不单纯作为工具) 的第一人是范德蒙德 ( ).Vandrm年,他建立了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的方法,就对行列式本身进行研172究这一点而言,他是这门理论的奠基人.拉普拉斯在 年的论文对积分和世界体系的探172讨中,证明了范德蒙德提出的一些规则,并推广了他的展开行列式的方法,用第 r 行中所含的元素和它们的余子式的集
5、合来展开行列式,这个方法现在仍以他的名字来命名.这就是关于行列式著名的拉普拉斯展开定理.德国数学家雅克比( )也于 年总结并提出了行Jacobi184列式的系统理论.另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西,他大大发展了行列式的理论,他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改造并证明了拉普拉斯的展开定理.2、 行列式的应用行列式在解线性方程组中的应用1.我们知道行列式最早来源于解线性方程组,那么在解线性方程组时就不得不提到一个重要的法则克莱姆法则.克莱姆法则给出了仅用行列式解 元线性方程组的方法,在理论上有n重要价值.用克莱姆法则解线性方程组1.2如果
6、元线性方程组nnnnbxaxa21 22 121 的系数行列式 0212112nnnaaD 则方程组存在唯一解 其中 是将 的第 列的元,jxj j,21Dj素换成 的行列式,即:nb,21 .1,1,1 1, njnjnnjjj abaD 例 求解线性方程组1 .164278,943,31421xx解 这个方程组的方程个数与未知量个数相等,且有 012647819D所以可以用克莱姆法则求解,计算得到 ,0,126478193243DD所以 .0,1432xx应用行列式来判断齐次线性方程组解的情况.对于 元齐次线性方程组n 202122121nnnxaxa齐次线性方程组 必有解,这是因为至少存
7、在一组零解 , 021nx当系数行列式 时,齐次线性方程组 仅有唯一零解,0D当系数行列式 时,齐次线性方程组 有无数个解(非零解).2例 取何值时,线性方程组2有非零解,有唯一解？,013,4321xx解 该方程组的系数行列式 102431210243114 32 rcD4313 当 .此 时 方 程 组 有 非 零 解时 ，或或 .20D 当 .此 时 方 程 组 有 唯 一 零 解时 ，且且 0例 证明齐次线性方程组23.0327,164,753414321xx有非零解.证明:该齐次线性方程组的系数行列式 A 017501326417324053176240531276435 A所以该齐
8、次线性方程组有非零解.小结:当线性方程组的方程个数和未知数个数相等且系数行列式不等于零时,可以运用行列式这一重要的工具通过各种灵活多样的方法来求解,代替了原来通过消元法求解的复杂性和局限性,降低了解题的难度.行列式在证明向量组的线性相关性中的应用2向量的线性相关性在高等代数中有十分重要的地位,一般按照定义法来判定比较麻烦,难度较高,转换为与向量组相联系的系数行列式,通过求行列式的值,即可判断向量组的线性相关性.向量组的线性相关性 1当 是 中的向量时,要判断一个向量组 线性相关还是无关,即判断s,2 nRs,21以 为未知量的方程组 是否有非零解,也就是以sx,1 021sxx为系数矩阵的齐次
9、线性方程组是否只有零解 .即 线性相关s2 s,21 ),(1sr例 已知向量组 线性相关,并且2434,12,12a.,a求解:因为这四个向量线性相关 ,所以以他们为列向量的行列式为零.因为 012134aa又因为 .2,所 以向量组的线性无关性2.例 设 是互不相同的数,35rtt,21 ritnrniii ,21,1. 证 明 ：是线性无关性的.证明:假设 ,则有021rkk 30121121 rnnnrktkttttk当 时,方程组 的未知量个数与方程个数相同,且系数行列式nr3是范德蒙行列式.1121nrnrttttD 又 互不相同,所以由范得蒙行列式的性质知 从而方程组 有唯一零解
10、.rt, .0D3即 线性无关.r,21当 时,令nr121211,rrrrtttt由上面方法可以证明 线性无关,又 是 的延长向量,r,21 r1 r,2所以 线性无关.r,21例 设向量组 线性无关,则（ ）也线性无关.6321A121,B323,C121,D323213 5,解:首先 选项第二个向量减去第一个向量就得到第三个向量,所以线性相关.A选项第一、二个向量相加得到第三个向量,所以线性相关.所以排除 、 ,只需判断 选B ABC项是否线性相关. 3021,)3,2,( 3211 0130所以 可逆,于是 ,所以 组向量3021 3,),2,( 2131 rr C线性无关.小结:判断
11、一个向量组是否线性相关有很多种方法 ,有时可利用行列式来判断其系数组成的齐次线性方程组解的情况,可以间接得出向量组的线性相关性.行列式在求解特征值与特征向量中的应用32利用行列式可以快速求得一个矩阵的特征值与特征向量.例 求矩阵 的特征值与特征向量.4720134A解: 的特征多项式为 212031E所以 的特征值为A1,231当 时,解方程组 ,由210xEA 0101432EA得基础解系 所以 是对应于 的全部特征向量10p1cp1当 时,解方程组 ,由320xEA0210124得基础解系 所以 是对应于 的全部特征向量12p2cp32例 求矩阵 的特征值与特征向量.48135A解: 的特
12、征多项式为 2135E所以 的特征值为A2,132当 时,解方程组 ,由10xEA 01036得基础解系 所以 是对应于 的全部特征向量.1p1cp1当 时,解方程组 ,由23202xEA 0132EA得基础解系 所以 ( 为不同时为零的常数) 是对应于.012p.332pc,2的全部特征向量.32例 设 是四维线性空间 的一组基.线性变换 在这组基下的矩阵为:494321,V713025945A求 在基 下的矩阵.1 2.2 4321431 求 的特征值与特征向量.2解: 因为1),(4321),(432110),(432X所以线性变换 在基 下的矩阵为:4321,AX1 B 2503746
13、103271305925123因为线性变换 的特征多项式为2212503746BE所以线性变换 的特征值为.1,4321线性变换 的属于特征值 的线性无关的特征向量为 .421231,线性变换 的属于特征值 的线性无关的特征向量为1 .234321线性变换 的属于特征值 的线性无关的特征向量为2 64小结:求出基础解系后,并不代表全部特征向量 ,特征向量是基础解系的非零线性组合.行列式在微分中值定理中的应用4.2微分中值定理是数学分析的重要知识点,行列式在拉格朗日中值定理以及柯西中值定理中的应用可以帮助我们更好的掌握该部分的内容.行列式在拉格朗日中值定理中的应用1例 设函数 满足条件:49f在
14、闭区间 上连续fba,在开区间 内可导2则在 内至少存在一点 ,使得,abff证明:我们可以构造行列式辅助型函数来证明定理设 因 在 上连续,在 内可导1xfbafaf,所以, 在 上连续,在 内可导.且 .故由罗尔定理知,至少存在一点b, 0ba使得ba,所以01101 xfabfaffx abff行列式在柯西中值定理中的应用2.4例 若 函数 与 都在闭区间 上连续,0fg函数 与 都在开区间 内可导,fba与 都在 内不同时为零,3g4ba则在 内至少存在一点 ,使得,agbfgf证明:设 由于 是 的多项式函数,从而在 上连续,在1 bfgaxfxxxgf ba内可导,且利用行列式的性
15、质易见 ,故由罗尔定理知,至少存在一点ba ba,使得 , ,由此可得01 bfgaxfxagfgf行列式在解析几何中的应用5.2行列式在平面几何和三维空间几何中都有十分广泛的应用,下面将分别从这两方面来探讨行列式的应用.行列式在平面几何中的应用1三线共点:对于平面内三条互不平行的直线 ,我们可以利用行列式判断它们是否共点.,相交于一点的充要条件是0:332211cybxaL 0332211cba三点共线:我们还可以利用行列式判断平面内三点是否共线.平面内三点 在一条直线的充要条件是321,yxRQP01321yx例 平面上给出三条不重合的直线:41 0:332211cybxaL若 ,则这三条
16、直线不能组成三角形.0332211cba证明:设 的交点为 ,因为 ,将第一列乘以 ,第二列乘以 ,全都加到21,L1yxP0332211cba1x1y第三列,得 因为 在 上,所以0313322211cybxa1,yxP2L,且 =0011cybxa22313cybxa031332121 cybxaba若 平行,若 也在 上,所以021212L1,yxP3L交于一点,无论何种情形, 这三条直线都不能组成三角形.31L321,例 设 , 是平面上两个不同的点,证明经过点 的直线方程是41yxA2BBA,0121yx证明:设直线方程为: 40321ayx这里 不全为零.由于 在直线上,故它们满足
17、方程 ,带入得:321,aBA4503211ayx将 , 合并得到方程组 45 63211yxa这是一个关于待定系数 的齐次线性方程组.由于 不全为零,所以 有非零解.321, 321a6于是方程组 的系数行列式等于零,即 6 7021yx凡在直线上的点必满足 ,反之,所有满足 的点必在经过 两点的直线上.因此经过点77BA,的直线方程是 .BA, 0121yx行列式在三维空间几何中的应用2.5例 设 , , 是几何空间中不在同一直线上的三点,证4131,zA2zB3zyxC明经过 的平面方程为CB,0133221zyxz证明:设平面方程为 8421aa这里 不全为零.由于 在平面上,故它们满
18、足方程 ,带入得4321,aCBA9043211azyxa将 , 合并得到方程组 89 1043211azyxa这是一个关于待定系数 的齐次线性方程组.由于 不全为零,所以 有非4321, 4321,a10零解.于是方程组 的系数行列式等于零,即 10 10332211zyxz凡在平面上的点必满足 ,反之,所有满足 的点必在经过 三点的平面上.因此经过点CBA,的平面方程是 .CBA, 0133221zyxz小结:行列式用于判断三线共点和三点共线有着十分重要的意义,它帮助我们解决了许多几何上的问题.结束语:行列式作为数学学科的重要工具 ,在高等代数相关内容以及数学分析、解析几何中的应用十分广泛
19、,本文主要介绍了它常用的一些应用.而行列式在其他数学学科中的应用也变得越来越广泛,如初等代数.在以后的学习中,我还将不断探索,完善此文.还有不足之处望读者给予宝贵意见.致谢:经过将近三个月的时间,这篇论文终于在老师的指导,同学的帮助和我自己的努力之下顺利完成了.在这里,我尤其要感谢我的指导老师刘敏老师.在我构思这篇论文时,老师给我提示了写作的大致方向,审视题目的视角,以及一些用得上的参考资料和学术文献.在我初稿完成时,老师指出了我的论文中出现的题目缺陷和错漏之处.在最后定稿时,老师又在书写格式上提点了我,使得我的论文更加规范.在写论文的这段时间内,感谢朋友们给我解答论文中出现的各个难题.由于我的学术水品有限,在这篇论文中难免出现不足之处,望请各位读者给予批评指正.参考文献:1程迪祥.线性代数M.清华大学出版社 .2尤承业.线性代数题型精讲M. 机械工业出版社.3杜素勤.线性代数M.厦门大学出版社 .4钱吉林.数学分析题解精粹M. 湖北长江出版集团.5钱吉林.高等代数题解精粹M. 中央民族大学出版社.6张禾瑞,郝炳新.高等代数第五版M. 高等教育出版社.
