1、解析几何大题训练1、如图，已知 A（ ，B、C 两点分别在 轴和 轴上运动，并且满足 ，)0(,4ayx0BQA.3CQB（1）求动点 Q 的轨迹方程；（2）设过点 A 的直线与点 Q 的轨迹交于 E、F 两点， ，求直线 E、 F 的斜率之和。)0,4(aA解（1） 1(,),33yxyBCB设 因 为 所 以40(4)(,)yaax又 所 以由已知 2,09AQx则 .9.922 axyQa点 轨 迹 方 程 为即（2）设过点 A 的直线为 ),(),().(21xFyEky9 分 22129 36036(4)0yaxaak由)4(42121221 xyyxyFAE ， 所以2129,ay
2、x又 )(92121aakFAE，由 ,得 =0 )4()(21x2136yFAE2.在直角坐标平面中，ABC 的两个顶点为 A（0，1），B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足, = = 0GABC|M|CGM（1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ，定点 F 的坐标为（ , 0） ，已知 , 且2PFQRFN = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.F（1）设 C ( x , y )， ,由知 , G 为ABC 的重心 ， GABOCOG( , ) 由知 M 是ABC 的外心， M 在 x 轴上 由知 M（ ，0），33x由 得
3、化简整理得： （x0 ） | |A22()1()3xy21y（2）F（ ，0 ）恰为 的右焦点 设 PQ 的斜率为 k0 且 k ，则直线 PQ 的方程213xy2为 y = k ( x )由 222()(31)6300kkxkx设 P(x1 , y1) ，Q (x 2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = , x1x2 = 26kk则| PQ | = = = 2k211()4222663()4311k23(1)kRNPQ,把 k 换成 得 | RN | = 23(1)kS = | PQ | | RN | = = ) 12 26()3k281(0k283()0kS2 ， 16 S 0 且 x2
4、0 相矛盾！ 所以不能。6、双曲线 的离心率为 2，坐标原点到直线 AB 的距离为 ，其中),(bay 23A（0，b）,B（ a,0）.（I）求双曲线的标准方程；（）设 F 是双曲线的右焦点，直线 l 过点 F 且与双曲线的右支交于不同的两点 P、Q，点 M 为线段 PQ中点. 若点 M 在直线 上的射影为 N，满足 且 ，求直线 l.的方程？2x ,0QP1|解：（I）依题意有： .,23,2cbac解得： 所以，所求双曲线的方程为 .,3,1a .132yx（II）（法 1）当直线 轴时， ，不合题意.xl6|PQ当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 .)2(xky.034)3
5、(,)2(013222 xky得由因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以 .2k设 是方程的两个正根，于是有21021 ,),(),(),( xyxMQyxP则.30)34)(3)4(,0,422212 kkkxk所 以因为 ,10|,0 PQMQNPN的 中 点为又则所以|PM|=|MN|=|MQ|= |PQ|=5.21又|MN|= x0+2=5，即 x0=3， 而 . 式， 符合题3,9,3221 kkk解 得 满 足 3k意.所以直线 l 的方程为： （ x2）.y.316| ,)3(16)4()3(4)()(|,| ,3,:1)(21 2221221 212 kx kkkxxkPQk
6、k则又 得由 法方 法 二又 . 显然 k=3 满足式.3:,0)(,0|2kPQ解 得 ,0,3, .04912549)15)(2( ),3,0(,3,105).,2()3, ),1023,(),210,(,)1, QNPkPNMQPxyk时当同 理 可 知所 以因 为 得由时当所以所求直线的方程为 . )(xy7、设 的图象上任意两点，且xfBxA1log2,(),(21是 函 数，已知点 M 的横坐标为 （I）求证：M 点的纵坐标为定值；2OM（）若 ；1 ,),(ni nSNnfS求且其 中（）已知 为数列 的前 n 项和，若nnn TNSa .,2)1)(,32其 中 a都成立，试求
7、 的取值范围.NSTn对 一 切1(（）证明： M 是 AB 的中点，设 M 点的坐标为（x，y）),(21OBA（) )(21,1,1,2 221yxx 而 或则得由M 点的纵坐标为定值 。,21)0()log211( )logl2112()(12212221xxxxff 21（II）解：由（I）知 ,1)(,121221 yxffx )1()2()1()2: ,(),() nffnffnffSnf nffSn 相 加 得.个1n ),(1NS（III） ),21(4)2(1)(,21 nnSann时当nT321)23(4)21(5(nn2n.214,“, .44)( ,2,12nnnST成
8、 立时当 且 仅 当得由因此 ),(, 的 取 值 范 围 是即 8、已知 F（0，a）（a0），点 P 在 x 轴上运动，M 点在 y 轴上，N 为动点，且 ，0PFM. （1）求动点 N 的轨迹 C 的方程；PMN（2）由直线 y=-a 上一点 T 向曲线 C 引两条切线，切点分别为 A、B，证明：ATBT 且直线 AB 过点 F.（1）设 N（x,y）,P(x ，0)，M(0,y ),则由 ，得 x = ,y =-y,000P20P( ,0),Q(0,-y), ,2x )2(),2(axFyxP又 ，- +ay=0,动点 N 的轨迹方程为 x =4ay.0FM42（2）证明：设 T（x
9、,-a）, 过 T 点向曲线 C 所引切线方程为:y+a=k(x-x ),0 0由 消去 y 得：x -4akx+4akx +4a =0,4)(2ayk202令 =16a k -16(akx +a )=0 得 ak -x k-a=0 方程*的两根 k ,k 即为切线 AT、BT 的斜率。022012k k 1，ATBT。设 A（x 则切线 AT、BT 的斜率分别是 .2 ),(),21yBax2,1由 ATBT 知， .214aa即设直线 AB 的方程为:y-y = ). 112(xy令 x=0,将 y = 代入并整理得：1ax4,2y= ,4)0(421212 axxa直线 AB 过点 F（
10、0，a）.9、已知椭圆 （ a b0）的离心率 ，过点 A（0，- b）和 B（ a，0）的直线与原点的距2yx36e离为 3（1）求椭圆的方程（2）已知定点 E（-1，0），若直线 y kx2（ k0）与椭圆交于 C、 D 两点问：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由解析：（1）直线 AB 方程为： bx-ay-ab0依题意 解得 椭圆方程为 2362bac， 13ba， 132yx（2）假若存在这样的 k 值，由 得 032yxk， )(2k09x )31(6)2(2设 ， 、 ， ，则 1(xC)y2(xD)y22139kx，而 4)()( 21212121
11、xkk要使以 CD 为直径的圆过点 E（-1，0），当且仅当 CE DE 时，则 ，即121xy)1(212xy 05)(12)1( 22 xkxk将式代入整理解得 经验证， ，使成立6767k综上可知，存在 ，使得以 CD 为直径的圆过点 Ek10、36（钦州市大寺中学）已知直线 过 M（1，0）与抛物线 交于 A、B 两点，O 为坐标原lxy2点，点 P 在 y轴的右侧且满足 .12OAB（）求 P 点的轨迹 C 的方程；（）若曲线 C 的切线斜率为 ，满足 ，点 A 到 y 轴的M距离为 a，求 a 的取值范围.解：（）直线 轴垂直时与抛物线交于一点，不满足题意. lx与设直线 的方程为
12、 yk()1把 代入抛物线 得：ykx()xy2xk20设两交点为 )(21ByA，、，122482xkxkk则 ， 或 1()()()()PyOyAxyOBxy设 ， ， 则 ， ， ， ， ，2AB211212()()()()xkykxk，2y0Px又 点 在 轴 的 右 侧 22xk又 ， 或()Cyx轨 迹 的 方 程 为（） 2x的 方 程 为曲 线21()3yx21(1)()MBxyAxy， ， ， 21221xy又 ，2121() ()xx把（1）代入（2）得： 120解得： x14)3(1a 3311a的 取 值 范 围 为 ， ，解（1）易得 l 的方程为 由 ，得（a 2t
13、2+4）y 24aty =0 )(2xty1)(2yxt解得 y=0 或 即点 M 的纵坐标 42ta2tS=SAMN =2SAOM =|OA|yM= （2）由（1）得， ta )0(422tatS（2）令 由224,tVatatV0当 时， 若 1a2，则 ，故当 时，S max=a ,0;时当 )2,1t若 a2，则 在1，2 上递增，进而 S(t)为减函数 . 当 t=1 时, t2.12max4综上可得 )(42maxS11、如图，空间直角坐标系中，四棱锥 的底面是边长为 的正方形，且底面在 平面OABCP2xoy内点 在 轴正半轴上， ，侧棱 与底面所成的角为 。By平 面451 （
14、4 分）若 是顶点在原点且过 、 两点的抛物线上的动点，试给出 与0,yxN x满足的关系式；2 （8 分）若 是棱 上的一个定点，它到平面 的距离为 ，写出MOPOABC)20(a、 两点之间的距离 ，并求 的最小值；MN)(xd)(3 （4 分）是否存在一个实数 ，使得当 取得最小值时，异面直线20a)(xd与 OB互相垂直？请说明理由。解：（1） 2xy（2） 41)1()(22aad当 时，取 ， 有最小值 ；1a2x)(xd2当 时，取 ， 有最小值 。00a（3） 当 时， ，21aMN,210,2OB则 ；0OB当 时， ， ，则210aa,0,02aMN所以，不存在一个实数 ，
15、使得当 取得最小值时，异面直线 与 OB互相垂)2()(xf直12、直线 AB 过抛物线 x2=2py（p0）的焦点 F，并与其相交于 A、B 两点，Q 是线段 AB 的中点，M 是抛物线的准线与 y 轴的交点，O 是坐标原点.（）求 的取值范围；BA（）过 A、B 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于 N 点.求证： ， .0FNFQ解：（）由条件得 M（0， ），F （0， ）.设直线 AB 的方程为2p2py=kx+ ，A（ ， ），B（ ， ）.2p1xyxy则 ， ，Q （ ）.1122p2 11，由 得 .pyxk2022kx由韦达定理得 + =2pk， =1212p从而有 =
16、+ =k（ + ）+p=2pk +p. 1y242px1y21x22212121(,)(,)()4MAByy 4)(422 pkp 02k的取值范围是 .BA，0（）抛物线方程可化为 ，求导得 .21xpyxpy1.,211kxykxNBNA切线 NA 的方程为：y 即 .)(121ppxy21切线 NB 的方程为： x2由 解得 N （ ）pxy221pxy21 px211，从而可知 N 点 Q 点的横坐标相同但纵坐标不同.NQOF. 即 OF又由（）知 + =2pk， =p N（pk， ）. 1x21x22p而 M（0， ） p)0(，k又 . .)2,(FFN13、已知抛物线 及定点 是
17、抛物线上的点，设直线 与抛物线的xy),1(,BAMBMA,另一交点分别为 ，求证：当点 在抛物线上变动时（只要 存在且 与 是不同21, 21,12两点），直线 恒过一定点，并求出定点的坐标M解：设 ， ， ，因为 三点共线，所以),2(0yM),2(1y),2(yM1,MA，即 ，即 ，求出 20212012)(001y120y同理可求出 ， 02y又因为设直线 过定点 ，则点 共线，所以 ，即21M),(yxU21,M2121yxy，即 ，即 ， 2121yxy2112)(yx0)(21所以由 消去 )3(02)()(12001 xy21,y042)1()(020yxx上式对任意 恒成立
18、，所以得到 所以所求的直线 恒过定点 0y2y21M),(13、过抛物线 的对称轴上的定点 ，作直线 相交于 两2(px0)(,0)mAB,点. （1）试证明 两点的纵坐标之积为定值；,AB（2）若点 是定直线 上的任一点，试探索三条直线 的斜率之间的关系，并N:lxm,NM给出证明.（1）证明:.设 有 ，下证之：12(,)(,)y12ypm设直线 的方程为: 与 联立得ABxtx2ypxtm消去 得 由韦达定理得 ,20yt12ypm（2）解：三条直线 的斜率成等差数列，下证之：设点 ，则直线 的斜率,ANMB(,)NmnAN为 ;直线 的斜率为1ANynkxm2Nynkxm122AByp
19、122()()pyp12211221()()()ynyynyp1212)(npyym又 直线 的斜率为 即直线 的斜率成等差数列.MN0MNk2ANBMk,ANB14、（）已知圆 A： ，点 B（1，0），点 P 在圆 A 上任意一点，点 M 在 AP 上，225xy点 N 在 BP 上，且 ，0BPP（1） 求点 M 的轨迹 c 的方程；（2） 若直线 ：x=4, 过点 B 的直线交曲线 c 于 G，H 两点，G, H 在直线 上的射影分别为l lT，S，求证：直线 GS 与 HT 的公共点在 x 轴上。解：由题意得 A（-1，0），B（1，0） ，N 为 BP 中点2N又 MN 为 BP
20、的垂直平分线NPP M4BAM 的轨迹为以 A,B 为焦点,中心在原点的椭圆a=2,b= ,c:3214xy（2）当 GH 轴时，G、H 的坐标分别为（1， ）、（1，- ），GS 与 HT 的公共点为 Q（ 在 x 轴上。23）， 025当 GH 不与 x 轴垂直时，设直线 GH 的方程为 y=k（x-1）,代入椭圆 ，得（4k 2+3）x 2-1342yx8k2x+（4k 2-12）=0。设 G ,H ,则 ， ,），（ 1yx），（ 212T（ ， ） ， S（ ， ） 221438k。22143kx 直线 GS 的方程为 ，直线 HT 的方程为 ，2124yxy）（ 1214yxy）（
21、 = ， ，2124xy）（ 1）（ 04212121 ）（） （ x ， ，20421x 816842121xxx ）（） （= =22222 34648436kkk 25342634k=21yxy）（ ）（）（）（）（ 151212xxk= =）（ ） （）（ 43122k ）（ ）（ 481221kkx= =0） （ ）（）（）（ 2132122 08354 kxkxk 直线 GS 与直线 HT 的交点的为 ， 直线 GS 与 HT 的公共点在 x 轴上。），（ 0本题的证明也可以用下面的方法：即证明直线 GS、直线 HT 与 x 轴有相同的交点，也就是说，在直线 GS、直线 HT 的方
22、程中令 y=0，所得横坐标相等。在直线 GS 的方程 ，直线 HT 的方程 中令2124yxy）（ 1214yxy）（y=0，则直线 GS、直线 HT 与 x 轴的交点的横坐标相等，即 =2124xy）（，故只要证 只要证1214yxy）（ 042121yy，0121）（）（，0414122 ） （） （ xkxk， 。1） （） （ x 0852121）（ x , ，221438k2143kx 2 -5 +8= =0 故结论成立。222243801k）（）（15、 （南通市九校）已知椭圆 C 的方程为 ，双曲线 的两条渐近2()xyab21xyab线为 ，过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 ,
23、又 与 交于 P 点，设 与椭圆 C 的两个交点由上至12,l 1ll2l下依次为 A,B（） 当 与 夹角为 且 时，求椭圆 C 的方程1l20624ab（） 求 的最大值FAP解：（） 故 243ab21a213xy（） 联立 得 （8 分）设 A 分 的比为 ，则 A:()alyxcbbyxa2(,)bpcFP2,1c代入 ，整理化简得： 21xyab222()3e即 的最大值为 2(0,)3eFAP116、（湖北省） P、 Q、 M、 N 四点都在中心为坐标原点，离心率 ，左焦点 的椭圆上，2e)0,(F已知 ，求四边形 PMQN 的面积的最大值与最小值0FFMFA与 共 线 ,与 共
24、 线 ,解：椭圆方程为 . , .21xy0MFPQN设 PQ 的方程为 ，代入椭圆方程消去 得 .kx2()10ky设 ,则11(,)()PxyQ2 21 12()4kyy.2222()4k()当 时,MN 的斜率为 ,同理可得 ,0k1k21()kMN故四边形面积 .令 ,则 ,即224()25SPQNk21uku4(2)1)52uS当 时, .且 S 是以 为自变量的增函数, .1k16,9u69() 当 时, MN 为椭圆的长轴,02,MPQ12SPMN综合() ()知,四边形 PQMN 面积的最大值为 ,最小值为 .17、如图：已知 OFQ 的面积为 ，且 ，62mFO（1）若 时，
25、求向量 与 的夹角 的取值范围；46mQ（2）设 ， 时，若以 O 为中心， F 为焦点的双曲线经过点 Q，当 取得cOF| 2)1(c |O最小值时，求此双曲线的方程解：（1）由已知，得 所以 ，因为， ，mFQOcos| 62)in(|21 m64tan，所以 ，则 （2）以 O 为原点， 所在直线64m4ta1rct F为 x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为 ，（ a0， b0）， Q 点的坐标为（ ，12byax 1x），则 （ ， ），因为 OFQ 的面积 ，所以 ，又由1yFQcx11y 6|1OFcy641（ c，0）（ ， ） ，所以 ，O11 2)4()(ccxx1，
26、当且仅当 c4 时， 最小，此时 Q 的坐标为（ ，28396| 212cyxQ|O6），由此可得 解之得 故所求的方程为6，162ba，12ba12yx18、小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图 1)，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽 4cm，杯深为 8cm(如图 2)，称之为抛物线酒杯 请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程 一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球能触及酒杯杯底但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯杯底小明想用所过数学知识研究一下，当玻璃球的半径 r 为多
27、大值时，玻璃球一定会触及酒杯杯底部你能帮助小明解决这个问题吗？解： 如图 1，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为 x22 py( p0)将 x2， y8 代入抛物线方程，得 p ，14 抛物线方程为 21xy (以下是我的理解)由题意，要想玻璃珠触及杯底，只需在 y 轴上找一点 P(0,r)，使得抛物线上的点到 P 点距离最近的点是顶点 O 即可.设抛物线上任一点 M(x,y)，则 ,联立抛物线方程得22()MPxyr(y0)21()yr对称轴为 y= ,当对称轴 0 时，可知 在 y0 时是增函数，即当 y=0 时有最小值，414r2MP也即最近点是原点 O.故 ,即当 0 r
28、 时，玻璃球一定会触及杯底0r1(以下是标准答案)设圆心在 y 轴正半轴上，且过原点的圆的方程为 x2( y r)2 r2，将之代入抛物线方程，消去 x，得 y2( 2 r)y0 y10， y22 r 若要使玻璃球在杯中能触及杯底，则要 y22 r 0即当 0 r 时，玻璃球一定会触及杯底1419、已知双曲线 C 的中心在原点，抛物线 的焦点是双曲线 C 的一x52个焦点，且双曲线过点（1, ）3(1)求双曲线的方程; (2)设直线 : 与双曲线 C 交于 A、B 两点, 试问: l1kxy 为何值时 OA 是否存在实数 , 使 A、B 两点关于直线 对称( 为常数), 若存在, 求出mxyk
29、的值; 若不存在, 请说明理由.解: (1) 由题意设双曲线方程为 ,把(1, )代入得 （*）1bax231b3a2又 的焦点是（ ，0），故双曲线的 与（*）52y545c2联立，消去 可得 ，b420)(a42 ， （不合题意舍去）1a22于是 ， 双曲线方程为1yx2(2) 由 消去 得 （*），当1yx4k2 0kx)4(0即 （ ）时， 与 C 有两个交点 A、Bl 设 A（ ， ），B（ ， ），因 ，故12xyO即 ，由（*）知 ， ，代入可得02221k421k4x0k4k422化简得 ，检验符合条件，故当 时， ）OBA 若存在实数 满足条件，则必须k)3(2xmy)(k1
30、12 由（2）、（3）得 )x()(m121把 代入（4）得21kx4k这与（1）的 矛盾，故不存在实数 满足条件20、(成都市)设向量 =(1,0), =(0,1), =(x+m) +y , =(x-m) +y ,ijaijbij且 6，00， yR.ab()求动点 P(x,y)的轨迹方程；()已知点 A(-1,0)，设直线 y= (x-2)与点 P 的轨迹交于 B、 C 两点，问是否存在实数 m，使得31 ？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.BC31() ,6(0,), baii .y)(22xyx上式即为点 P(x,y)到点(- m,0)与到点( m,0)距离之和为 6. 记
31、 F1(-m,0),F2(m,0)(0 F1F2.又 x0, p 点的轨迹是以 F1， F2为焦点的椭圆的右半部分.2 a=6, a=3.又2 c=2m， c=m， b2=a2-c2=9-m2.所求轨迹方程为 3)0,(922 xyx()设 B(x1,y1),C(x2,y2). ).1,(),1(2yACyAB .)( 21212x而 =21y 4,)(-9-3 ). 212121 xx )(-)( 2121212xACB= 3.)(7109212x若存在实数 m,使得 .成 立31ACB则由 31)(7092121 xx10x1x2+7(x1+x2)+10=0. 由 0)(19),-(3y2
32、2xmx消去 y，得(10- m )x2-4x+9m2-77=0 由，有 0 17-9 4 02212mx由、解得 m2= ，且此时0.43但由，有 9m2-77= 与题设矛盾.08不存在符合题意的实数 m,使得 .31ACB21、设向量 =(1,0), =(0,1), =x +(y+2) , =x +(y-2) ,且 8，x，yR.ijaijbijab()求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程；()已知点 M(0,3)作曲线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点，设 = + ，问是否存在直线 l，使ONAB四边形 OANB 为矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.解：()
33、=(1，0)， =(0，1),| |+| |=8, ija b.yxyx8)2()2(上式即为点 P(x,y)到点(0，2)与到点(0，2)距离之和为 8.记 F1(0，2)， F2(0，2)，则| F1F2|=4.即| PF1|+|PF2|=8| F1F2|. P 点轨迹 C 为以 F1、 F2为焦点的椭圆.其中 2a=8,2c=4. b2=a2 c2=12.所求轨迹 C 的方程为 .yx162() , OANB 是平行四边形.OBAN l 过点 M(0，3).若 l 是 y 轴，则 A、 B 是椭圆的顶点.此时 .0OBAN N 与 O 重合，与四边形 OANB 是平行四边形矛盾.故直线
34、l 的斜率 k 必存在.设直线 l 的方程为 y=kx+3.设 A(x1,y1),B(x2,y2).若存在直线 l 使得 OANB 是矩形，则 OA OB. x1x2+y1y2=00而 y1y2=(kx1+3)(kx2+3) =k2x1x2+3k(x1+x2)+9.(1+ k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0. 由 消去 y，得(3 k2+4)x2+18kx21=06,3(18 k)24(3 k2+4)(21)=(18 k)2+84(3k2+4)0,方程必有两实数根 x1、 x2.且 x1+x2= ,x1x2=438得 .k43代入，得(1+ k2) 解得 k2= , k= . .k09
35、435得 65存在直线 l 符合题意，其直线方程为y= 即 x y+3=0 或,345x .yx3得22、圆锥曲线 C 的一个焦点为 F（2，0），相应的准线是直线 ，以过焦点 F 并与 轴垂直的弦为直1x径的圆截准线 所得弦长为 2。1（）求圆锥曲线 C 的方程；（）当过焦点 F 的直线 的倾斜角 在何范围内取值时，圆锥曲线 C 上有且只有两个不同的点关l于直线 对称？l解：() 设过焦点 F 并与 轴垂直的弦为直径的圆为圆 C/，圆 M 与曲线 C 在第一象限的交点为 A，圆 C/x与直线 正方向的交点为 B。1x圆 C/截直线 的弦长为 2 ， BA2|1|),(AFe由圆锥曲线的第二定
36、义，对于曲线 C 上的任意点 ，有),(yx (4 分) 整理得圆锥曲线 C 的方程为 2|1|)2(exy 22yx（）当直线 的倾斜角为 时， ，此时双曲线 C 上无任何两点关于直线 对称；l2:xl l当直线 的倾斜角为 时， ，此时双曲线 C 关于直线 对称，除顶点外，对双曲线上任一0:yl l点都存在双曲线上另一点关于直线 对称，不合要求。(8 分)当 时，设 ，设 P 、Q 两点是双曲线 C 上关于直线 的,2)2(:xkl ,(1yx,(2 l对称点，PQ 中点为 T ，直线 PQ 的方程为 ，),(0ymk由 0)2(2)1(2122 mkxkyxmk由 )1(0210)(40
37、 222 kkk 且由韦达定理及中点坐标公式，求得 T 点坐标 2202210 1, kmymx 又 T 点在直线 上， ，整理得：l )(k )2(1k（1）（2）联立得： 。10)(2k或直线 的倾斜角 的范围是 。l43,(,423、已知定点 ，动点 满足条件： ，点 的轨迹是021FP212PF曲线 ，直线 与曲线 交于 、 两点。如果 。E:kxylEAB36A（）求直线 的方程；（）若曲线 上存在点 ，使 ，求 的值。COCm解：（） 2112P点 的轨迹是以 为焦点， 的双曲线的左支，0,2F1,2ac曲线 的方程为Exyx设 ，把 代入 消去 得21,ByxAk2y02k 01
38、2,01,484 212 kxkx 36441 2222 kxkAB两边平方整理得 ，0584 （ ） 5,72215k故直线方程为 。yx（）设 ，由已知 ，得0,COCmBA02121,myxyx 0, 21210 myx 8,54212121 xkyk yx8,0将点 的坐标代入 得,C12yx16402m 或 （舍去）。4m24、已知双曲线 的左右焦点分别为 F1、F 2，点 P（ 是双)0,(12bayx )0(,0yx曲线右支上一点，I 为PF 1F2的内心，直线 PI 交 x 轴于 Q 点，I 分 PQ 的比为 ，又|F 1Q|=|PF2|（1）用 来表示双曲线离心率 e 的值；
39、（2）求 的取值范围.解：（1）I 为PF 1F2内心，则 I 为 PQ 的内分点，又 I 分 PQ 的比为 又| 21QPIPQ |21F可得 |2FI| 221PaI又 可得 |21QIP | 221QFcFIP由式相除 | 2eQcaI则e1)1(（2）由 1 及)(|)|(| 211PFQFP即102所求 范围为： .25、 直线 过抛物线 C: 的焦点 F，且与抛物线相交于l2()ypx=两点。12(,)(AxyB（）求证： 21;4（）试推断抛物线 C 是否存在一条弦 MN，使得直线 是弦 MN 的垂直平分线？l）证： (,0):ppFlxmy=+设由 得 2ypxm=+220yp
40、-=222 2111 ()4yypxpp-A（）解：22(,)(,)nMNmn设 且则 MN 的垂直平分线 的方程为 l2()24nyxp+-=-若 过 ，则l(,0)2pF2()n-整理得： 0)22m此时,0nnp则方程为 与抛物线 C 仅有一个交点。ly=而 与抛物线 C 有两个交点。不重合，即不存在弦 MN，使得 I 是 MN 的垂直平线l与26、 椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 ，相应于2焦点 F（c，0）（ ）的准线 与 轴相交于点lxA，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 ，求直线 PQ 的方程；0QP（3）
41、设 （ ），过点 P 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 M，证明1l。FM（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 。)2(12ayx由已知得 解得 ).(2,ca,6c AP QOM Fyx所以椭圆的方程为 ，离心率 。126yx36e（2）解：由（1）可得 A（3，0）。设直线 PQ 的方程为 。由方程组)3(xky得)(,62xky 062718)(2xkk依题意 ，得 。 03213设 ，则 ， ),(),(21yxQyxP1821kx。 36271k由直线 PQ 的方程得 。于是)3(),3(21xkyxy。 9)( 122121 xky ， 。 0OQP021y由得 ，从而 。52
42、k )36,(5k所以直线 PQ 的方程为 或 。03yx0yx（3）证明： 。由已知得方程组),(),( 221AQAP.126,),211yxx注意 ，解得25x因 ，故),(),0(1yMF ),1)3(),2(211 yxyxF，而 ，,2121 ,2Q所以 。FQM27、已知中心在原点的椭圆 C 的两个焦点和椭圆 C1： 的两个焦点是一个正方形的四个36942yx顶点，且椭圆 C 过点 A（2，3）（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 PQ 是椭圆 C 的弦，O 是坐标原点，OPOQ 且点 P 的坐标为（ ），求点 Q 的坐标。2,解：（1）由已知 C1： 得焦点 1492yx )0,
43、5(),(21F故设 C： ，)0(2bab椭圆 C 过点 A（2，3） 且194252ba解出 椭圆 C 的方程为：10,5ba0yx（2）设 Q（ ） OPOQ 0yx 1230xkKoQOP即 又 00611520yx 3)6(20030x Q 点的坐标为（ ）或（3， ）2,2628、 如图，设圆 的圆心为 C，此圆和yx抛物线 有四个交点，若在 轴上方0pyx的两个交点为 A、B，坐标原点为 O， 的面积为 S。AB（1） 求 P 的取值范围；（2） 求 S 关于 P 的函数 的表达式及 S 的取值范围；)(f（3） 求当 S 取最大值时，向量 的夹角。C,解：（1）把 代入 得 pxy232y0142xp由 ， 得 ，即 4 分021x0418p,（2）设 ， 的方程：21,pxBxAA1211xxppy， 即 121
