1、解析几何大题答案1、椭圆 的两个焦点 F1、F 2，点 P 在椭圆 C 上，且 P F1PF 2,| P F1|=21(,0)xyab,| P F2|= .34（I）求椭圆 C 的方程；（II）若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线 L 的方程。解法一：() 因为点 P 在椭圆 C 上，所以 ，a=3.6221PFa在 Rt PF1F2 中， 故椭圆的半焦距 c= ,521F5从而 b2=a2c 2=4,所以椭圆 C 的方程为 1.492yx()设 A， B 的坐标分别为（ x1,y1） 、 （x 2,y2）. 由
2、圆的方程为（x+2） 2+(y1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（2，1）. 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得 （ 4+9k2）x 2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为 A， B 关于点 M 对称. 所以 解得 ，.94182198k所以直线 l 的方程为 即 8x-9y+25=0. (经检验，符合题意),)2(98xy解法二：() 同解法一.()已知圆的方程为（x +2） 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为（2，1）.设 A， B 的坐标分别为（x 1,y1）,( x2,y2).由题意 x1 x2 且,4921y,2x由
3、得 .04)(9)( 21212121 yyx因为 A、 B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=4, y 1+ y2=2,代入得 ，即直线 l 的斜率为 ，21xy88所以直线 l 的方程为 y1 （x+2） ，即 8x9y+25=0.( 经检验，所求直线方程符合题意.)92、已知椭圆 的左焦点为 F，O 为坐标原点。12yx（）求过点 O、 F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；（）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、 B 两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，
4、考查运算能力和综合解题能力。解：（I） 2,1,(10),:2.abcFlx圆过点 O、F ，圆心 M 在直线 上。x设 则圆半径1(,)2t3.r由 得 解得,OM21(),t2.t所求圆的方程为229().4xy（II）设直线 AB 的方程为 10,kx代入 整理得21,xy22().k直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根。记 中点 则12(,)(,)AxyBA0(,)Nxy2124,1kx的垂直平分线 NG 的方程为 令 得00().k,y2220 21.14,0,GGkxykx点 G 横坐标的取值范围为 (,).23、设 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距
5、，且,AB21(,0)xyabxyl GABF O为它的右准线。4x（） 、求椭圆的方程；（） 、设 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 分别与椭圆相交于P ,APB异于 的点 ，证明点 在以 为直径的圆内。,ABMN、 BMN点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（）依题意得 a 2c， 4，c2解得 a2，c 1，从而 b .3故椭圆的方程为 .142yx（）解法 1：由（）得 A（2，0） ，B（2， 0）.设 M（x 0， y0）.M 点在椭圆上，y 0 （4x 02）. 3 1又点 M 异于
6、顶点 A、B，20， 0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 2：由（）得 A（2 ，0） ，B（2，0）.设 M（x 1， y1） ，N（x 2， y2） ，21-1-2-3-4 -2 2 4BAMN则2x 12，2x 22，又 MN 的中点 Q 的坐标为（ ， ） ，21x21y依题意，计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差 ( 2） 2（ ） 2 (x1x 2)2(y 1y 2)22Q241MN1x1y4（x 12) ( x22) y 1y1 3又直线 AP 的方程为 y ，直线 BP 的方程为 y ，)1)2(2x而点两直线 AP 与 BP
7、 的交点 P 在准线 x4 上， ，即 y2 6221xy)31y（ 4又点 M 在椭圆上，则 ，即 3421)4(32121xy 5于是将 、 代入 ，化简后可得 . 4 5 3 2BQ2MN0)2(1（从而，点 B 在以 MN 为直径的圆内。4、已知椭圆 C1: ,抛物线 C2: ,且 C1、C 2 的公共弦 AB 过243xy2()(0)ympx椭圆 C1 的右焦点.()当 AB 轴时,求 、 的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上；mp()是否存在 、 的值，使抛物线 C2的焦点恰在直线 AB 上？若存在，求出符合条件的、 的值；若不存在，请说明理由 .mp解：（）当 AB
8、x 轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，所以 m0，直线 AB 的方程为： x =1，从而点 A 的坐标为（1， ）或（1， ）. 因为点 A 在抛物线上.所以 ，即2323 p249.此时 C2的焦点坐标为（ ，0） ，该焦点不在直线 AB 上.89p69（II）解法一： 假设存在 、 的值使 的焦点恰在直线 AB 上，由（I ）知直线 AB 的mp2C斜率存在，故可设直线 AB 的方程为 (1)ykx由 消去 得 2(1)43ykxy22(34)8410kxk设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）, （x 2,y2）, 则 x1,x2是方程的两根，x 1x 2 .438k由 消去 y 得
9、 . 2()ympk2()mpx因为 C2的焦点 在直线 上，(,)F )1(xk所以 ，即 .代入有 .1pk2p2)kpx即 . 22()04kxx由于 x1,x2也是方程的两根，所以 x1x 2 .2()pk从而 . 解得 2834k2()p28(43)k又 AB 过 C1、 、 、 C2的焦点，所以，1212()()()()ABxxpx则 12223444.3kp由、式得 ，即 2281()kk42560k解得 于是26.46,.3p因为 C2的焦点 在直线 上，所以 .),32(mF (1)yx26(1)3m或 由上知，满足条件的 、 存在，且 或 ， p6343p解法二： 设 A、
10、B 的坐标分别为 ， 1(,)xy2()因为 AB 既过 C1的右焦点 ，又过 C2的焦点 ，0,F(,)FmAyBO x所以 .)21()2()2()(11 xxpxpxAB 即 . 1243x由（）知 ，于是直线 AB 的斜率 ， 12,xp2102ymkpx且直线 AB 的方程是 ,(1)2myxp所以 . 12124()3(2)py又因为 ，所以 . 124321yx 0)(4)( 12121 xyyx将、代入得 36()pm因为 ，所以 211()yxp 2112xypy将、代入得 23().60m由、得 即2(4)1p2().1p302p解得 将 代入得 8()3或 舍 去 42,
11、m或 6m由上知，满足条件的 、 存在，且 或 ，mp6343p5、如图，椭圆 Q： （ab0）的右焦点 F（c，0） ，过点 F 的一动直线 m 绕点2xy1 F 转动，并且交椭圆于 A、B 两点，P 是线段 AB 的中点（1） 求点 P 的轨迹 H 的方程（ 2） 在 Q 的方程中，令 a21cos sin ，b 2sin（0 ） ，确定 的值，使原2点距椭圆的右准线 l 最远，此时，设 l 与 x 轴交点为 D，当直线 m 绕点 F 转动到什么位置时，三角形 ABD 的面积最大？解：如图， （1）设椭圆 Q： （ab0）上的点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，又设2xy1
12、 P 点坐标为 P（x，y） ，则221bab2 （ ） （ ）1当 AB 不垂直 x 轴时，x 1x2，由（1）（2）得b2（x 1x 2）2xa 2（y 1y 2）2y012ybxc b2x2a 2y2b 2cx0（3）2当 AB 垂直于 x 轴时，点 P 即为点 F，满足方程（3）故所求点 P 的轨迹方程为：b 2x2a 2y2b 2cx0（2）因为，椭圆 Q 右准线 l 方程是 x ，原点距 lc的距离为 ，由于 c2a 2b 2，a 21cossin，b 2sin （0 ）2a 2则 2sin （ ）2c1osin 4当 时，上式达到最大值。此时 a22，b 21，c1，D（2，0）
13、 ，|DF|1设椭圆 Q： 上的点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，三角形 ABD 的面积2xy1 S |y1| |y2| |y1y 2|设直线 m 的方程为 xky1 ，代入 中，得（2k 2）y 22ky102xy1 由韦达定理得 y1y 2 ，y 1y2 ，k 2 4S2（y 1y 2） 2（y 1y 2） 24 y 1y2 28k（ ）（ ）令 tk 211，得 4S2 ，当 t1，k0 时取等号。2t4t （ ） 因此，当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴位置时，三角形 ABD 的面积最大。XylOFDAB6、双曲线 C 与椭圆 有相同的焦点，直线 y= 为 C 的
14、一条渐近线.2184xyx3（1）求双曲线 C 的方程；（2）过点 P(0,4)的直线 ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不l重合）.当 ，且 时，求 Q 点的坐标. 12QAB3821解：（）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为2xyab2184y，(2,0)对于双曲线 ，又 为双曲线 的一条渐近线:2Cc3yxC解得 ，3ba1,ab双曲线 的方程为23yx（）解法一：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零。lk设 的方程： ， 则l 14,()yxAy2(,)Bx4(,0)Qk1P114(,)(,)xykk114()4xkyy在双曲线 上，1)(,
15、AxC21266()0k21630.32216()kk同理有： 21.若 则直线 过顶点，不合题意.2160,kl 260,k是二次方程 的两根.12,2216(16)30kxk，38k4此时 . 所求 的坐标为 .0,Q(2,)7、在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 2 相交于 A、B 两点xylyx（1）求证：“如果直线 过点 T（3，0） ，那么 3”是真命题；lO（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解（1）设过点 T(3,0)的直线 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x 2,y2).当直线 的钭率不存在时,直线 的方程为 x=3,此
16、时,直线 与抛物线相交于点 A(3,ll l)、B(3, ). =3；6BA当直线 的钭率存在时,设直线 的方程为 ，其中 ，ll(3)ykx0k由 得 2(3)yxk212606y又 ，121, ，21()34OABxyy综上所述，命题“如果直线 过点 T(3,0)，那么 =3”是真命题；l OBA(2)逆命题是：设直线 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 =3,那么该直线过点lT(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B( ,1)，此时 =3,直线 AB 的方程为：1，而 T(3,0)不在直线 AB 上；2(1)3yx说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A
17、 (x1,y1)、B (x 2,y2) 满足 =3，可得 y1y2=6，OBA或 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线 AB 过点(3,0) ；如果 y1y2=2，可证得直线 AB 过点(1,0),而不过点(3,0).8、如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的点，过焦点 的直线 角n(,)nxy24xFnA抛物线于另一点 。(,)Bst（）试证： ；41nx（）取 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切点的2nCnAB两条切线的交点。试证：；1122nFCFC证明：（）对任意固定的 因为焦点 F（0,1）,所以可设直线 的方程为,nAB将它与抛物线方程 联立得: ,由一元二次方程根与系,n
18、ykx24xy240nxk数的关系得 4(1)s（）对任意固定的 利用导数知识易得抛物线 在 处的切线的斜率,2xynA故 在 处的切线的方程为： ，,2nAxkynA()nx类似地，可求得 在 处的切线的方程为： ，24B2nsyt由得： ， 224nnnnxsxsyt2,4nnxxs将代入并注意 得交点 的坐标为 4nnC(,1)n由两点间的距离公式得：222()4nnxsxsF2242(),nnnFCxxx现在 ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：nx12121212()()() ).nn nnnFCFCxxx 9、如图，设抛物线方程为 x2=2py(p0),M 为 直线 y=-2
19、p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B.（）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当 M 点的坐标为（ 2，-2 p）时， ，求此时410AB抛物线的方程；（）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 上，其中，点 C 满足 （O 为坐2(0)xpy 标原点）.若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.（）证明：由题意设221120(,)(,),().xABxMpp由 得 ，则2xy2,yp所以 12,.MABxkp因此直线 MA 的方程为 10(),ypx直线 MB 的方程为 20().所以 2110(),xpx
20、220().由、得 21120,xx因此 ，即210012.所以 A、M 、B 三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当 x0=2 时，将其代入、并整理得：2214,xp20所以 x 1、x 2 是方程 的两根，2240xp因此 ,又21022,ABxxpkp所以 .AB由弦长公式得 22 21124()416.ABkxxp又 ，40所以 p=1 或 p=2，因此所求抛物线方程为 或2xy24.（）解：设 D(x3,y3)，由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2),则 CD 的中点坐标为 33),Q设直线 AB 的方程为 011(),yxp由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点 也在直
21、线 AB 上，22,)y代入得 03.xyp若 D（x 3,y3）在抛物线上，则 2303,xpyx因此 x 3=0 或 x3=2x0.即 D(0，0)或2(,)p（1）当 x0=0 时，则 ，此时，点 M(0,-2p)适合题意.120x（2）当 ，对于 D(0，0)，此时0 212 21 1000(,), ,4CDxxxkpp又 ABCD，0,ABxkp所以22011,4ABCDxp即 矛盾. 对于 因为 此时直线221,xp20(,)x210(,),xCpCD 平行于 y 轴，又 0,ABkp所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾，所以 时，不存在符合题意的 M 点.0x综上所
22、述，仅存在一点 M(0，-2p) 适合题意.10、 （本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（ ）和到直线 距离相等的点的轨迹。83,2185y是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在 上）的动点；A、B 在 上， 轴（如图） 。xBA,（）求曲线 C 的方程；（）求出直线 的方程，使得 为常数。QAB2本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分 15 分（）解：设 为 上的点，则()Nxy， C，2213| 8P到直线 的距离为 5y5y由题设得 22138x化简，得曲线 的方程为 C2()yx（）解法一：设 ，直线 ，则2xM， :lk，从而 ()Bk， 2|1|QBx在 中，因为RtA，22|(1)4xQM222()|1kA ABOQy xlM所以 .22222(1)| )4xQAMAk，2|1|xk2|()1|QBxAkkA当 时， ，2k2|5从而所求直线 方程为 l0xy解法二：设 ，直线 ，则 ，从而2M， :lkx()Bxk，2|1|QBkx过 垂直于 的直线 (0)， l1:(1)lyxk因为 ，所以 ，|AMH2|QA222|(1)1|QBkxk当 时， ，2k2|5A从而所求直线 方程为 l0xyABOQy xlMHl1
