1、第一节 数学模型概念,1、什么是数学建模？你能给数学建模下个定义吗？ 2、数学模型举例 例：飞跃北极(2000年全国大学生数模竞赛的C题)问题如下：2000年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞跃北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞跃北极，此改可大幅度缩短北美亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯顿、丹佛明尼阿波利斯直飞北京等地，据加拿大空中交通管,制局估计，如飞跃北极，底特律至北京的飞行时间可节省4小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。 假设飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以
2、下10处; A1（北纬31度，东经122度） A2（北纬36度，东经140度）A3（北纬53度，西经165度） A4（北纬62度，西经150度）A5（北纬59度，西经140度） A6（北纬55度，西经135度）A7（北纬50度，西经130度） A8（北纬47度，西经125度）A9（北纬47度，西经122度） A10（北纬42度，西经87度） 请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”从数学上作出一个合理的解释。,3、数学建模的定义数学建模是把数学应用于实际中去，把实际问题译成数学语言。对于一个实际问题，主要由：建立模型（是由数字，字母和数学符号组成的，描述对象数量规律的公式，图表），解问题，将
3、计算结果带回到实际中去检验。当人们设计产品参数，规划交通网络，制定生产计划，控制工艺过程，预报经济增长，确定投资方案时，都需要将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表达出来，并将求解得到的数量结果返回到实际对象的问题中去，这种解决问题的全过程就称为建立数学模型，简称数学建模。,4、数学建模竞赛的简介1989年我国学生开始参加1985年诞生的每年一次的美国大学生数学建模竞赛。之后由于影响的扩大，我国也开始自己举办建模大赛。1992、1993两年举办的大学生数学建模竞赛引起了国家教育部的高度重视和关心，1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办这项面向全国高等学校所有专业学生的竞赛
4、活动。,数学建模竞赛(MCM )简介 Mathematical Contest in Modeling,美国大学生数学建模竞赛(MCM)中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)竞赛内容与形式简介,实际问题,数学,Mathematical Modeling,美国大学生数学建模竞赛(MCM),1985年开始举办，每年一次(2月)；现有人称作“国际竞赛”,我国大学生1989年（清华等）开始每年都参加，用英文答卷,MCM-2005有9个国家(地区)644队参赛，其中我国占60%; ICM-2005有164队参赛，中国占76%,1996年起，复旦/中国科大/华东理工/清华/浙大/国防科大/北大/东华大学/东
5、南大学/电子科大等先后获最高奖(Outstanding),每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志,1999年起又同时推出交叉学科竞赛（Interdisciplinary Contest in Modeling ICM),网址：http:/,# of Teams for US MCM/ICM,514,808,全国大学生数学建模竞赛（CUMCM） China Undergraduates Mathematical Contest in Modeling,1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛,1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月),2005全国
6、大学生数学建模竞赛有30省（市、区）795所学校的8492队（25000多名同学）参加,每年赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识”第1期2001年起刊登于当年“工程数学学报”第5期或第7期,全国竞赛组委会设在清华大学数学科学系（100084）,网址：http:/,奖励：证书 （“一次参赛，终身受益”）,等级：全国一等奖3%、二等奖 7%；赛区一、二等奖1/3,# of Teams for CUMCM,8492,竞赛内容与形式,内容,赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题,答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文,形式,3名大
7、学生组队，在3天内完成的通讯比赛,可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性,CUMCM命题思路,实际背景/时代特征（实用性/时代性/趣味性）：,综合性：开拓知识结构，不是单一数学问题,开放性：较大的灵活性，供参赛者发挥其创造能力,少涉及专业知识；适中的数学知识；学生能得到训练,可区分性,一定的亲和力/社会热点问题；激发学生思考问题,基础性(可接受性),好的赛题是提高竞赛水平的关键之一,中美赛题的比较：开放程度差别还较大两个竞赛的区别：C
8、UMCM的开放程度要适中 （或一题开放些，一题封闭些）,特别希望大家踊跃提供好的赛题或素材,A题 连续模型，B题 离散模型；但不局限于此,2004年5月：CUMCM命题研讨会（上海）设立命题研究课题，开拓题源,竞赛组织工作中的问题及措施,扩大受益面；数学建模教学与竞赛的关系；培训工作提高质量：好赛题是竞赛成功的关键之一；征集赛题评阅工作(评阅要点、专家组成、公正性与透明度)竞赛过程：重在参与、公平竞争与违纪现象积极推动高职高专院校的数学建模教学和竞赛活动融入主干课: 关键在于不参与数学建模活动的教师赛后的深入与继续积极宣传，扩大影响；社会认同，争取赞助,从论文评阅看学生参加竞赛中的问题,吃透题
9、意方面的不足；就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺；不管具体条件，套用现成的方法，导致错误；对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周；写作方面的问题（摘要、简明、优缺点、参考文献）。,学生欢迎研究生导师们的认同企业界的认同赞助教育改革同行的认同国际同行的认同,竞赛的反响,5、数学建模是培养学生创新能力的科研活动,（1）数学建模的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面的实际问题，对数学知识要求不是十分深奥。不要求预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。在建模过程的实际问题没有现成的答案，没有固定的求解方法。从建立模型开始就要求独立进行思考和研究。从而可亲身体验一下数学的创造和发明过
10、程，取得在课堂里和书本上无法替代的宝贵经验。 （2）数学建模竞赛由三名大学生组成一队，可以自由的收集资料，调查研究，使用计算机和互联网。在三天时间内，三人分工合作，根据题目要求，完成一篇论文(或答卷)。 那么，如何撰写数学建模的论文呢？,（3）数学建模的步骤 建立数学模型需要那些步骤并没有固定的模式，大体的过程是： 1建模准备 2模型假设 3建立模型 4模型求解 5模型分析 6模型检验竞赛评奖以假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性和文字表达的清晰程度为主要标准，因此，有利于对学生的知识，能力和素质的全面培养。 参加这样的比赛，对于锻炼创新意识和团队合作精神有很大好处。比赛没有现成的答案，完
11、全是开放性思维。对学生的综合要求也很高，要善于运用计算机，广泛查找资料，对今后的毕业设计还有走上工作岗位的个人能力的培养都有潜移默化影响,（4）数学建模要求我们具有以下几方面的能力： 运用学过的数学知识分析和解决实际问题（特别是将实际问题“翻译”成数学模型，又用数学模型的结果解释实际问题）的能力； 利用计算机（包括选择合适的数学软件）求解数学模型的能力； 面对复杂事物发挥想象力，洞察力，创造力和独立进行研究的能力； 关心、投身国家建设的意识和理论联系实际的学风，团结合作精神及进行协调的组织能力； 勇于参与的竞争意识和不怕困难奋力攻关的顽强意志，查阅文献收集资料及自学的能力； 撰写科技论文的文字
12、表达能力 （5）有效学习的方法 勤于思考勇于探索；广泛了解各学科的知识，有重点的培养必要的数学能力；学会利用图书馆和互联网上的资源 相关网站的地址： 中国数学建模网：http:/ 1.模型准备对原始实际问题进行调查了解，抽象出语言叙述的模型及 相应的数据条件等，常称为原始模型。实际上抽象出原始模 型时常常已对模型的进一步建立及求解有了一些想法，比如 采用哪种类型模型等。此步骤注意要将所有搜集到信息表述 出来，不得遗漏。2. 模型的假设这是非常关键的步骤，不同的假设将导致不同的模型。 利用合理的、必要的假设，可简化模型使很难的无法下手的 问题变的易于解决。但过度的简化而得到模型可能无实用价 值，
13、舍不得简化又可能导致得到一个无法求解的模型或模型 的解非常复杂，以致无法应用。到底简化到什么程度要看问 题的性质与建模的目的以及建立模型中的某些需要。,这里要提醒注意的是：对于一个假设，最重要的是它是否符合实际情况，而不是为了解决问题的方便。通常作出合理假设的依据：一是处于对问题内在规律的认识；二是来自对数据或现象的分析，也可是两者的综合。作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量使问题简化（比如线形化、均匀化等）。经验在这里也常起重要作用。有些假设在建模过程中才会发现。因此在建模是要
14、注意调整假设。,3. 模型的建立根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学结构，是建立数学模型的第三步。为了完成这项数学模型的主体工作，人们常常需要广阔的应用数学知识，除了微积分、微分方程、线形代数及概率统计等基础知识外，还会用到诸如规划论、排队论、图与网络及对策论等。推而广之，可以说任何一个数字分支都可能应用到建模过程中。当然，这并非是要求你对数学的各个分支都精通，事实上，建模时还有一个原则，即尽量采用简单的数学工具，以便更多的人了解和使用。当然建模时需要有灵活、清醒,的头脑和创造性思维的能力。4. 模型的求解根据模型的性质，选择适
15、当方法去解。可能是解析方式，也可是求近似解。再根据建模目的对系统进行预测，决策与控制。5. 模型的检验把上述结果翻译回原问题，并与实际数据进行比较，检验模型的适用性与合理性。如果模型不实用，必须从模型假设那里重新开始，直到得到可用模型。6. 模型的推广 在一个领域里解决问题时建立的模型，常常摁扣简单的稍加处理推广到其他领域。讨论一下这方面内容常可增加模型的应用价值。,飞跃北极（2000年全国大学生数模竞赛的C题） 1、飞跃北极问题的提出 2、 模型假设及符号说明1.假设飞机起飞与降落过程中的时间忽略不计2.假设飞机从北京到底特律中途不需加油。3.假设飞机在飞行过程中的速度保持不变。4.假设飞机
16、的飞行速度不受地球自转和公转的影响。5.假设飞机从Ai站飞到Ai+1站时，始终沿最短路线飞行，不会发生因意外事故等原因而绕道的现象。6.假设t为飞机的飞行时间。 7.假设li为城市Ai与Ai+1之间的最短航程。,8.假设R为地球半径，h为飞机的飞行高度。9.假设（ui , vi）为球面上Ai点的纬度和经度。 3 问题的分析及模型的建立 根据所给的实际问题，求飞行时间差。假定飞机保飞行高度10km作匀速飞行忽略起飞、降落、地球公转和自转的影响那么该问题就归结为求飞越通过指定点的球面的短程线（测地线）的航线与飞越直接连接北京上空10km到底特律上空10km的通过北极圈的新航线的时间差，飞行速度固定
17、，于是问题又归结为求相应的航程差。,地球为均匀球体的情况： 以球心为坐标原点，z轴指向北极，x轴 通过赤道上经度为0和180的两点，正 向指向0，y轴垂直于x轴和z轴，构成右 手坐标系. 在半径R=6381km的球面上，建立球面 坐标系 ，由于航线在北半球，因此取 和北纬度一致， 和东经度一致，因此航线,上某点处的地理坐标（u，v）与球坐标有 如下的关系：而直角坐标与球坐标有如下的关系：,球面上任意两点的短程线是通过这两点处 的大圆的劣圆弧（即长度较短的一条大圆 弧），若球面上Ai与Ai+1两点的球坐标为 ， ，则从球心指向此两点的矢 量分别为 假设它们的夹角为 ，则有,从而求得 ，进而求得这
18、两点Ai和Ai+1 的航程 。于是从北京A0到底特律 A11沿飞行路线总时间为： 从北京A0到底特律A11直接飞行的时间为其中，R为地球半径，为向量 与 的 夹角，节省时间为,而由北京至底特律直接飞行时间为 时间差为 。4 模型的分析与计算在上述两个模型中，总体思路是先计算 各相邻点间的航程，然后求总航程，再进 行计算时间，从而来回答“节省4小时”的结 论。可以使用Matlab 来求相邻点间的航程,下面给出MATLAB计算程序。 在同一子目录下建立下列文件 %飞跃北极文件名：ch13.m %问题1计算程序 function result=dis(radius,jwp) jwp=jwp*pi/1
19、80; diannum=size(jwp,1); mat_oa=zeros(diannum,3); for i=1:diannum jingdu=jwp(i,2); weidu=jwp(i,1); mat_oa(i,:)=radius*cos(jingdu)*cos(weidu),sin(jingdu)*cos(weidu),sin(weidu); end for j=1:diannum-1,length(j)=radius*abs(acos(dot(mat_oa(j,:),mat_oa(j+1,:)/(radius.2); end result=length; function result
20、=dis2(a,b,jwp) jwp=jwp*pi/180; diannum=size(jwp,1); for i=1:diannum-1 li=jwp(i,2); lj=jwp(i+1,2); %ui and uj ui=atan(b*tan(jwp(i,1)/a); uj=atan(b*tan(jwp(i+1,1)/a);,%问题2计算程序 sinui=sin(ui); cosui=cos(ui); sinuj=sin(uj); cosuj=cos(uj); %xm cosxm=sinui*sinuj+cosui*cosuj*cos(lj-li); xm=acos(cosxm); sinx
21、m=sin(xm); %u,v,h,m,n,s u=(sinui+sinui).2; v=(sinui-sinuj).2; h=(a-b)/4; m=(xm-sinxm)/(1+cosxm); result=s; n=(xm+sinxm)/(1-cosxm) s(i)=a*xm-h*(m*u-n*v); end h=(a-b)/4;,m=(xm-sinxm)/(1+cosxm); n=(xm+sinxm)/(1-cosxm); s(i)=a*xm-h*(m*u-n*v); end result=s; %问题 计算总程序 jwd=40,116;31,122;36,140;53,360-165;
22、62,360-150;59,360-140;55,360-135;50,360-130;47,360-125;47,360-122; 42,360-87;43,360-83; jwd2=jwd(1,12,:); fprintf( 据模型算得各段距离如下：); distances=dis(6371+10,jwd) fprintf(原路线总航程：); totaldistance=sum(distances) fprintf(新路线总航程：); new=dis(6371+10,jwd2) fprintf(节省时间：); t=(totaldistance-new)/980,执行后输出问题结果原路线总航程： totaldistance = 1.4576e+004 新路线总航程： new = 1.0607e+004 节省时间： t = 4.0504,
