1、最优化方法介绍,一.运输问题 1. 产销平衡的运输问题 2. 产大于销的运输问题(产销不平衡) 3. 销大于产的运输问题(产销不平衡),二.整数规划问题 1. 投资决策问题(0-1规划) 2. 下料问题(整数规划) 3. 工作安排问题(整数规划) 4. 指派问题(0-规划),运输问题的数学模型,例1.从甲城调出蔬菜2000吨,从乙城调出蔬菜1100吨,分别供应A地1700吨,B地1100吨,C地200吨,D地100吨,每吨运费 (元)如下,A地 B地 C地 D地 甲城 21 25 7 15 乙城 51 51 37 15,确定运费最省的调拨计划 .,用x11,x12,x13,x14,分别表示从甲
2、城调往A,B,C,D四地的蔬菜量;用x21,x22,x23,x24分别表示从乙城调往A,B,C,D四地的蔬菜量.总运费可以表示为,f =21x11+25x12+7x13+15x14+51x21+51x2237x23+15x24,约束条件:,x11+x12+x13+x14=2000 x21+x22+x23+x24=1100,x11+x21=1700 x12+x22=1100 x13+x23=200 x14+x24=100,xij 0, i=1,2; j= 1,2,3,4,求目标函数 f 的极小值,且满足六个等式约束和非负性约束的约束条件.,LINDO软件可用于求解线性规划、整数规划、二次规划问题
3、. LINDO是英文 Linear, INteractive, and Discrete Optimizer的缩写,可译为交互式线性离散最优化软件。,用LINDO求解数学规划分两步:第一步,建立数学模型;第二步,求解数学模型. 建立模型在模型窗口中进行,而模型求解的所有数据结果只能在报告窗口中获得 .,LINDO的模型包括三个部分:目标函数、变量和约束条件. 目标函数前面必须有关键字“max”或“min”.约束条件以“subject to”开始,以“end”结束.在“subject to ”和“end”之间,输入变量满足的约束条件。,如果当前窗口是模型窗口,则可使用solve(求解)命令求解模
4、型,xij为第i产地到第j销地物质运量.则数学模型为,i=1,2,mJ=1,2,n i=1,m;j=1,n,设有m个产地的产量分别为:a1,a2,am,而有n个销地的销量分别为:b1,b2,bn.已知从第i个产地到第j个销地的单位物质运费为cij,求总运费最小的物质调运方案.,运输问题的一般表示,1.产地产量之和与销地销量之和相等的运输问题称为产销平衡运输问题.,2.约束条件数是产地数与销地数之和m+n,3.决策变量数是产地数与销地数之积mn,4. 产量之和大于销量之和时,有产大于销的运输问题,其数学模型为,i=1,2,mJ=1,2,n i=1,m;j=1,n,5.当销量之和大于产量之和时,这
5、类运输问题称为销大于产的运输问题,其数学模型为,i=1,2,mJ=1,2,n i=1,m;j=1,n,产大于销的运输问题与销大于产的运输问题统称为产销不平衡的运输问题.,练习题某种物品先存放在两个仓库A1和A2中,再运往三个使用地B1,B2,B3,其间的距离(或单位运价),各仓库的存量和使用地的需用量如下:,B1 B2 B3 产量 A1 3 4 2 10 A2 3 5 3 4 销量 3 5 6,建立使总运输量最小的运输问题的数学模型.,整数规划(决策变量只能取整数的线性规划问题),投资决策问题设一年内可用于投资的总金额为十万元,有五个项目可投资,假定每一项目只能投资一次,已知各项目投资金额和利
6、润如下,投资项目 投资金额(元) 利润(元) 1 25000 1000 2 10000 800 3 30000 1200 4 20000 1000 5 30000 1800,问如何选择投资项目, 才能使总利润最大.,设决策变量为:xj(j = 1,2,3,4,5)若对第j项投资,则xj=1,否则xj=0.,设总利润为z,则数学模型为,Max z=1000x1+800x2+1200x3+1000x4+1800x5 s. t. 25000x1+10000x2+30000x3+20000x4+30000x5100000xj=0 或 1, (j=1,2,3,4,5),因为决策变量只取“0”或“1”,所
7、以这类问题称为0-1规划问题.,使用LINDO软件求解整数规划问题时,在建立了模型之后,还要再添加变量取整数的说明: “0-1”规划用: int x1, int x2,一般的整数规划用:gin x1, gin x2,下料问题:某车间有长度为180厘米的钢管(数量充分多),今要将其截为三种不同长度,长度分别为70厘米的管料100根,而52厘米、35厘米的管料分别不得少于150根,120根,问应采取怎样的截法,才能完成任务，同时使剩下的余料最少？,长度 一 二 三 四 五 六 七 八 需 70 2 1 1 1 0 0 0 0 100 52 0 2 1 0 3 2 1 0 150 35 1 0 1
8、3 0 2 3 5 120 余 5 6 23 5 24 6 23 5,首先做技术处理,所有可能的截法有下面八种:,考虑八种截法的配合使用,使总的余料最少.,设第i种截法用钢管数目为xi,则目标函数为配 合使用各种截法的总余料之和 f=5x1+6x2+23x3+5x4+24x5+6x6+23x7+5x8,同理, 由各种截法截成52cm和35cm的钢管数以及总数下限得,2x2+x3+3x5+2x6+x7150 X1+x3+3x4+2x6+3x7+5x8 120,分析约束条件如下,用各种截法所截72cm的钢管数为(2x1+x2+x3+x4),其总数为100,故 2x1+x2+x3+x4=100,练习
9、题:用长度为500厘米的条材,分别截成长度为98厘米与78厘米的两种毛坏,要求截出长98厘米的毛坯共1000根,78厘米的毛坯共2000根,问怎样截法,才能使所用的原材料最少,试建立数学模型。,下料问题的数学模型,Min f=5x1+6x2+23x3+5x4+24x5+6x6+23x7+5x8 s.t. 2x1+x2+x3+x4=1002x2+x3+3x5+2x6+x7 150x1+x3+3x4+2x6+3x7+5x8 120xj 0, (j=1,2,3,8),工作安排问题:某服务部门各时段(每2小时为一时段)需要的服务人员数如下,时段: 1 2 3 4 5 6 7 8 人数要求: 10 8
10、9 11 13 8 5 3,按规定,服务员连续工作8小时(4个时段)为一班.试安排服务员的工作时间,使服务部门服务员总数最少.,设在第j时段开始时上班的服务员人数为xj.由于第j时段开始时上班的服务员将在第j+3时段结束时下班,故决策变量只需要考虑x1,x2,x3,x4,x5.目标函数为:z = x1+ x2+ x3+ x4+ x5,约束条件为各时段开始时对人数的最少要求:,x110 x1+x2 8 x1+x2+x3 9 x1+x2+x3+x4 11 x2+x3+x4+x5 13 x3+x4+x5 8 x4+x5 5 x5 3 x1,x2,x3,x4 ,x50 且x1,x2,x3,x4 ,x5
11、皆为整数.,指派问题:某商业公司计划建五家新商店.为了尽早建成营业,商业公司决定由5家建筑公司分别承建.已知建筑公司Ai(I=1,2,5)对新商店Bj(j=1,2,5)的建造费用报价(万元)如下:,商业公司应怎样分派, 才能使总的建造费用最少.,B1 B2 B3 B4 B5 A1 4 8 7 15 12 A2 7 9 17 14 10 A3 6 9 12 8 7 A4 6 7 14 6 10 A5 6 9 12 10 6,设决策变量为0-1 变量xij,当Ai承建Bj时,xij取值为1,否则取值为0,数学模型: Min z=4x11+8x12+7x13+15x14+12x15+6x51+9x5
12、2+12x53+10x54+6x55,xij=0 或 1 (i, j=1,2,5),练习题：食谱问题一饲养场饲养供实验用的动物,已知动物生长对饲料中的三种营养成分:蛋白质、矿物质和维生素特别敏感,每个动物每天至少需要蛋白质70克,矿物质3克,维生素10毫克,该场能搞到五种饲料,每种饲料10千克的成本如下:,饲料: A1 A2 A3 A4 A5 成本（元）：2 7 4 3 5 每一千克饲料中所含的营养成分如下表：,饲料 蛋白质(克) 矿物质(克) 维生素(毫克) A1 0.3 0.10 0.05 A2 2.0 0.05 0.10 A3 1.00 0.02 0.02 A4 0.60 0.20 0.
13、20 A5 1.8 0.05 1.8,确定既能满足动物需要,又使总成本为最低的饲料配方,实际问题中 的优化模型,x决策变量,f(x)目标函数,gi(x)0约束条件,数学规划,线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP),纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP),整数规划(IP),0-1整数规划 一般整数规划,连续规划,LINDO 公司软件产品简要介绍,美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：http:/,LINDO: Linear INteractive
14、 and Discrete Optimizer (V6.1) LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V8.0) LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V2.0) Whats Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V7.0),演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版 （求解问题规模和选件不同）,LINDO和LINGO软件能求解的优化模型,LINGO,LINDO,优化模型,线性规划 (LP),非线性规划 (NLP),二次规划 (QP),连续
15、优化,整数规划(IP),LP QP NLP IP 全局优化(选) ILP IQP INLP,LINDO/LINGO软件的求解过程,LINDO/LINGO预处理程序,线性优化求解程序,非线性优化求解程序,分枝定界管理程序,1. 确定常数 2. 识别类型,1. 单纯形算法 2. 内点算法(选),1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选),建模时需要注意的几个基本问题,1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大/最小值、四舍五入、取整函数
16、等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数 （如x/y 5 改为x5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103),需要掌握的几个重要方面,1、LINDO:正确阅读求解报告（尤其要掌握敏感性分析） 2、LINGO：掌握集合(SETS)的应用；正确阅读求解报告；正确理解求解状态窗口；学会设置基本的求解选项(OPTIONS) ；掌握与外部文件的基本接口方法,LINGO软件简介,目标与约束段集合段（SETS ENDSETS）数据段（DATA ENDDATA） 初始段（INIT ENDINIT）,LINGO模型的构成：4个段,LI
17、NGO模型的优点,包含了LINDO的全部功能 提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）,LINGO模型 例：选址问题,某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里),水泥日用量di (单位：吨）,假设：料场和工地之间有直线道路,用例中数据计算，最优解为,总吨公里数为136.2,线性规划模型,决策变量：ci j (料场j到工地i的运量）12维,选址问题：NLP,2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。,决策变量： ci j，(xj,yj)16维,非线性规划模型,LINGO模型的构成：4个段,集合段（SETS ENDSETS
18、）,数据段（DATA ENDDATA）,初始段（INIT ENDINIT）,目标与 约束段,局部最优：89.8835(吨公里 ),LP：移到数据段,边界,集合的类型,集合派生集合 基本集合稀疏集合 稠密集合元素列表法 元素过滤法 直接列举法 隐式列举法,setname /member_list/ : attribute_list;,setname(parent_set_list) /member_list/ : attribute_list;,SETS:CITIES /A1,A2,A3,B1,B2/;ROADS(CITIES, CITIES)/ A1,B1 A1,B2 A2,B1 A3,B2/
19、:D; ENDSETS,SETS:STUDENTS /S1S8/;PAIRS( STUDENTS, STUDENTS) | ENDSETS,集合元素的隐式列举,运算符的优先级,三类运算符：算术运算符 逻辑运算符 关系运算符,集合循环函数,四个集合循环函数：FOR、SUM 、 MAX、MIN function( setname ( set_index_list) | condition : expression_list);,objective MAX = SUM( PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J) * MATCH( I, J);FOR(STUDENTS( I): con
20、straintsSUM( PAIRS( J, K) | J #EQ# I #OR# K #EQ# I: MATCH( J, K) =1);FOR(PAIRS( I, J): BIN( MATCH( I, J);MAXB=MAX(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J);MINB=MIN(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J);,Example:,状态窗口,Solver Type: B-and-B Global Multistart,Model Class:LP， QP，ILP， IQP，PILP, PIQP，NLP，INLP，PINLP,State: Glob
21、al Optimum Local Optimum Feasible Infeasible Unbounded Interrupted Undetermined,7个选项卡(可设置80-90个控制参数),程序与数据分离,文 本 文 件,使用外部数据文件,Cut (or Copy) Paste 方法 FILE 输入数据、TEXT输出数据（文本文件） OLE函数与电子表格软件（如EXCEL）连接 ODBC函数与数据库连接 LINGO命令脚本文件,LG4 （LONGO模型文件） LNG （LONGO模型文件） LTF （LONGO脚本文件） LDT （LONGO数据文件） LRP （LONGO报告文件
22、）,常用文件后缀,FILE和TEXT：文本文件输入输出,MODEL: SETS:MYSET / FILE(myfile.txt) / : FILE(myfile.txt); ENDSETS MIN = SUM( MYSET( I):SHIP( I) * COST( I);FOR( MYSET( I): CON1 SHIP( I) NEED( I);CON2 SHIP( I) SUPPLY( I); DATA:COST = FILE(myfile.txt);NEED = FILE(myfile.txt);SUPPLY = FILE(myfile.txt);TEXT(result.txt)=SHI
23、P, DUAL(SHIP), DUAL(CON1); ENDDATA END,myfile.txt文件 的内容、格式：Seattle,Detroit,Chicago,Denver COST,NEED,SUPPLY,SHIP 12,28,15,20 1600,1800,1200,1000 1700,1900,1300,1100,演示 MyfileExample.lg4,OLE ：与EXCEL连接,MODEL: SETS:MYSET: COST,SHIP,NEED,SUPPLY; ENDSETS MIN = SUM( MYSET( I): SHIP( I) * COST( I);FOR( MYSE
24、T( I): CON1 SHIP( I) NEED( I);CON2 SHIP( I) SUPPLY( I); DATA:MYSET =OLE(D:JXIEBJ2004MCMmydata.xls,CITIES); COST,NEED,SUPPLY =OLE(mydata.xls); OLE(mydata.xls,SOLUTION)=SHIP; ENDDATA END,mydata.xls文件中必须有下列名称(及数据)：CITIES， COST，NEED，SUPPLY，SOLUTION,在EXCEL中还可以通过“宏”自动调用LINGO(略) 也可以将EXCEL表格嵌入到LINGO模型中(略),演
25、示 MydataExample.lg4,ODBC ：与数据库连接,输入基本集合元素： setname/ODBC(datasource , tablename , columnname)/ 输入派生集合元素： setname/ODBC(source,table , column1, column2)/,目前支持下列DBMS: (如为其他数据库，则需自行安装驱动) ACCESS， DBASE，EXCEL，FOXPRO，ORACLE， PARADOX，SQL SERVER， TEXE FILES,使用数据库之前，数据源需要在ODBC管理器注册,输入数据： Attr_list=ODBC(source,
26、table , column1, column2) 输出数据： ODBC(source,table , column1, column2)= Attr_list,具体例子略,建模实例与求解,最短路问题下料问题露天矿的运输问题钢管运输问题,最短路问题,求各点到T的最短路,露天矿里铲位已分成矿石和岩石: 平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多安置一台电铲，电铲平均装车时间5分钟,卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。,露天矿生产的车辆安排(CUMCM-2003B),矿石卸
27、点需要的铁含量要求都为29.5%1%(品位限制），搭配量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。卸点在一个班次内不变。卡车载重量为154吨，平均时速28km,平均卸车时间为3分钟。,问题：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次 ?,平面示意图,问题数据,问题分析,与典型的运输问题明显有以下不同： 这是运输矿石与岩石两种物资的问题； 属于产量大于销量的不平衡运输问题； 为了完成品位约束，矿石要搭配运输； 产地、销地均有单位时间的流量限制； 运输车辆只有一种，每次满载运输，154吨/车次； 铲位数多于铲车数意味着要最优的选择不多于7个产地作为最后结果中的产地；
28、最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。,近似处理： 先求出产位、卸点每条线路上的运输量(MIP模型) 然后求出各条路线上的派出车辆数及安排,模型假设,卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况； 在铲位或卸点处由两条路线以上造成的冲突问题面前，我们认为只要平均时间能完成任务，就认为不冲突。我们不排时地进行讨论； 空载与重载的速度都是28km/h，耗油相差很大； 卡车可提前退出系统，等等。,如理解为严格不等待，难以用数学规划模型来解 个别参数队找到了可行解 （略）,符号,xij ：从i铲位到j号卸点的石料运量 （车） 单位： 吨； cij ：从i号铲位到j号卸点的距离 公里； Tij :从
29、i号铲位到号j卸点路线上运行一个周期平均时间 分；Aij ：从i号铲位到j号卸点最多能同时运行的卡车数 辆； Bij ：从i号铲位到j号卸点路线上一辆车最多可运行的次数 次； pi：i号铲位的矿石铁含量 p=(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) % qj : j号卸点任务需求，q=(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000 吨 cki ：i号铲位的铁矿石储量 万吨 cyi ：i号铲位的岩石储量 万吨 fi :描述第i号铲位是否使用的0-1变量，取1为使用；0为关闭。,(近似),优化模型,（1）道路能力(卡车数)约束（2）电铲能力约束（3）卸点能力约束（4）
30、铲位储量约束（5）产量任务约束（6）铁含量约束（7）电铲数量约束（8）整数约束,.,xij为非负整数 fi 为0-1整数,计算结果（LINGO软件）,计算结果（派车）,结论： 铲位1、2、3、4、8、9、10处各放置一台电铲。 一共使用了13辆卡车；总运量为85628.62吨公里； 岩石产量为32186吨；矿石产量为38192吨。,此外：6辆联合派车（方案略）,最大化产量,结论： （略）,目标函数变化此外：车辆数量（20辆）限制（其实上面的模型也应该有）,铁路运价表,钢管运输问题（CUMCM-2000B),常用解法: 二次规划先计算最小运费矩阵 两种运输方式（铁路公路）混合最短路问题 是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法,钢管运输问题（CUMCM-2000B),
