1、数学建模与 数学建模竞赛简介,1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)第一次组织中国大学生数学建模竞赛。,1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月),大学生数学建模（MCM）竞赛,全国高校规模最大的课外科技活动,1999年开始设立大专组的竞赛。,1985年美国大学生数学建模竞赛。由美国政府部门资助，由美国数学及其应用联合会（COMAP）主办，由美国工业与应用数学学会（SIAM）、运筹及工业和应用数学协会（INFORMS）及数学学会（MAA）协办。,1989年我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学共4个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛。,2004年开始全国研
2、究生数学建模竞赛。,数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质,竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。,竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。,评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度。,大学阶段难得的一次近似于“真刀真枪”的训练，模拟了毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。,运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实
3、际问题的能力,面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力,关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风,团结合作精神和进行协调的组织能力,勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志,查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力,数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质,数学建模竞赛的培训内容,1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）,2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路) ,组合数学,排
4、队论等。,只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。,3）合适的数学软件的基本用法。基本上能完成上述方法的软件，如 MATLAB ,LINGO等。,4）历届赛题的研讨。,5）撰写数学建模论文的练习。,1）2）以教师讲授为主，3）5）以学生实习为主，4）以学生讨论、教师辅导为主。,数学建模竞赛的培训内容,推荐参考书,叶其孝主编, 大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四、五、六), 湖南教育出版社，2001 CUMCM优秀论文汇编（1992-2000），中国物价出版社，2002 姜
5、启源等，数学模型(第三版)，高等教育出版社，2003 MATLAB HELP 谢金星 优化建模与LINDO/LINGO软件,数学建模竞赛网上资源,MCM和ICM网站: http:/ CUMCM网站: http:/ CUMCM优秀论文：滨州学院主页图书馆文献检索中文科技期刊数据库 国防科大 相关论坛： 资源发布：滨州学院数学建模：,数学建模简介,1.关于数学建模,2.数学建模实例,3.数学建模论文的撰写方法,A.包饺子问题,B. 椅子能在不平的地面上放稳吗？,C.人口预测问题,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 , 物理模型,地图、电路图、分子结构图 , 符号
6、模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x =20 y =5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x
7、=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几
8、乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）,今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？,问题,圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆, 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v,V和 nv 哪个大?,从包汤圆（饺子）说起,定性分析,V比 nv大多少?,定量分析,从包汤圆（饺子）说起,假设,1. 皮的厚度一样,2. 汤圆(饺子) 的形状一样,模型,应用,若100个汤圆（饺子
9、）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤馅,R 大皮 半径,V是 nv是 倍,1.4,r 小皮半径,椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两
10、个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ;对任意， f() g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/
11、2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无
12、限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型
13、参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2, , n,时间离散为时段，长度与年龄组区间
14、相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,人口预测和控制,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,生育率的分解,总和生育率,h生育模式,人口发展方程和生育率,总和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间,4）老龄化
15、指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制 (t)不过高,假设 与 建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi, bi+10, 则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布, 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。, 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率,3）=1时, 各年龄组种群数量不变, 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1,稳态分析,存活率 si
16、是同一时段的 xi+1与 xi之比,（与si 的定义 比较）,3）=1时,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,1.4 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作
17、出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实
18、际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,近几年全国大学生数学建模竞赛题,返回,写好数模论文的重要性1. 评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别， 数模论文是唯一依据.2. 论文是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。3. 写好论文的训练，是科技写作的一种基本训练。,怎样撰写数学建模的论文？,评阅原则： 假设的合理性； 建模的创造性；结果的合理性；表述的清晰程度。,1、摘要:问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,8、参考文献,9、附录,实例,3、模型假设,返回,摘要 问题提出和假设的合理性 模型的建立 模型的计算与分析
19、,1、摘要,字数尽量控制在500字内 语言精简，用词准确 阐述细致具体的方法 列出主要结论 写出三至五个关键词 主要模型（名称）、方法和结果，解决了什么问题，有何特色等；,2、问题提出和假设的合理性,简单地说明问题的情景，即要说清事情的来龙去脉。 列出必要数据，提出要解决的问题，并给出研究对象的关键信息的内容。 历届数学建模竞赛的试题可以看作是情景说明的范例。,模型假设,论文中的假设要以严格、确切的数学语言表达。 所提出的假设为建立数学模型所必需的，而不是与建立模型无关。 假设应验证其合理性：合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设；或者由观察所给数据的图象，得到
20、变量的函数形式；也可以参考其他资料由类推得到，但要指出参考文献的相关内容。 主要假设以35条为宜。,3、模型的建立,论文中引进变量及其记号，通过一定的数学方法，建立方程式或归纳为其他形式的数学问题。注意事项： 用分析和论证的方法，让读者了解得到模型的过程。 上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。 需要推理和论证的地方，应该有推导的过程而且力求严谨。 引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。 论文中用到的各种数学符号，须在第一次出现时加以说明。,4、模型的计算与分析,模型求解注意事项： 在数值求解时应对计算方法有所说明，并给出所使用软件的名称或者给出计算程序（通常以附录形式给出）。 可以用计算机软件绘制曲线和曲面示意图，来形象地表达数值计算结果。 一些模型（例如非线性微分方程）需要作稳定性或其他定性分析，应指出所依据的数学理论，并在推理或计算的基础上得出明确的结论。 在模型建立和分析的过程中，带有普遍意义的结论可以用清晰的定理或命题的形式陈述出来。定理和命题必须写清结论成立的条件 。,5.优缺点，改进方向等，附录（程序、更多的计算结果、复杂的推导、证明等）；,与您共勉,一次参赛、终身收益 公平竞争、重在参与,
