1、2.1.2 向量的加法,1.掌握向量加法的运算,并理解其几何意义. 2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围,并能应用向量加法的运算律进行相关运算.,1,2,3,4,名师点拨应用向量加法的三角形法则,关键是要做到“首尾相接”,即将向量b平移,使其始点与另一向量a的终点重合,则以向量a的始点为始点,以向量b的终点为终点的向量就是向量a与b的和.,1,2,3,4,答案:C,1,2,3,4,【做一做2】 在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD是( ) A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 答案:D,1,2,3,4,3.向量求和的多边形法则 已知n个向量,依次把这
2、n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.,1,2,3,4,名师点拨1.多边形法则适用于两个或两个以上的向量和的计算,三角形法则是多边形法则的特殊情形; 2.n个向量的和仍是一个向量; 3.多边形法则的要领是“首尾相连,首是首,尾是尾”,与向量加法的三角形法则相同.,1,2,3,4,4.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).答案:D 【做一做4-2】 下列等式不正确的是( ) A.c+d=d+cD.a+(a+b)=(a+a)+b 答案:C,1.对向量
3、加法的理解 剖析(1)两个向量的和仍是一个向量.(2)当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且|a+b|a|+|b|,这是三角形两边之和大于第三边的向量表示. (3)特殊位置关系的两个向量的和. 当向量a与b共线且方向相同时,a+b的方向与a(或b)的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|,如图所示:当向量a与b反向且|a|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a的方向相反),且|a+b|=|b|-|a|,如图所示:,名师点拨1.三角形法则和平行四边形法则是求向量和的基本方法.但在应用上也有区别,求两个向量的和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三
4、角形法则;而当它们的始点相同时,则用向量加法的平行四边形法则. 2.当两个向量不共线时,求和的三角形法则和平行四边形法则是一致的.当两个向量共线时,平行四边形法则就不适用了.,2.向量加法与实数加法的异同 剖析讨论两种运算的异同,主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析. (1)运算法则:向量加法法则是三角形法则或平行四边形法则,可以用有向线段的连接来表示;实数的加法法则是数的运算. (2)运算结果:向量的和还是向量,实数的和还是实数. (3)运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律;向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证;向量加法的结合律可以用三角形法则来验证:
5、,(a+b)+c=a+(b+c). (4)运算的几何意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.,3.教材中的“思考与讨论” 在求作两个向量和时,你可能选择不同的始点求和,你有没有想过,选择不同的始点作出的向量和都相等吗?你可能认为,显然,作出的向量和都是相等的.当然,这里你的“显然”是对的.你能根据下图逻辑地证明这个结论吗?,题型一,题型二,题型三,分析按照向量加法的运算法则进行分析判断.,题型一,题型二,题型三,解析:答案:B,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 若向量a,b,c满足a+b+c=0,则a,b,c( ) A.一定能构成一
6、个三角形 B.一定不能构成一个三角形 C.都是非零向量时,一定能构成三角形 D.都是非零向量时,也可能无法构成三角形 解析:当a+b+c=0时,a,b,c可以共线(如图所示),因此a,b,c不一定能构成三角形.答案:D,题型一,题型二,题型三,分析多个向量相加,可以利用向量加法的三角形法则,也可以观察向量的字母表示直接运算(必要时,注意利用向量加法的运算律).,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 若向量a,b满足|a|=7,|b|=13,则|a+b|的最大值是 ,最小值是 . 分析根据向量模的不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|求解. 解析:由
7、于对任意向量a,b,均有|a|-|b|a+b|a|+|b|, 即|7-13|a+b|7+13, 因此6|a+b|20, 故|a+b|的最大值是20,最小值是6. 答案:20 6 反思在公式|a|-|b|a+b|a|+|b|中,当a与b方向相反,且|a|b|时,|a|-|b|=|a+b|;当a与b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 (1)在矩形ABCD中,若AB=2,BC=1,(2)若向量a,b不共线,且|a|=2,|b|=3,则|a+b|的取值范围是 . (2)由于a,b不共线,所以|a|-|b|a+b|a|+|b|,即1|a+b|5.,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,A.0 B.1 C.2 D.3 解析:假命题,当a+b=0时,命题不成立;真命题;假命题,当A,B,C三点共线时,也可以有 假命题,只有当a与b方向相同时,|a+b|与|a|+|b|才相等. 答案:B,1,2,3,4,5,答案:1,1,2,3,4,5,答案:120,
