1、2008 年高考数学第二轮复习讲稿（老人教大纲版湖南卷）湖南省汉寿县第三中学 艾镇南 第 1 页/共 4 页第三讲（补充） 抽象函数解题方法与技巧所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。1. 换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例 1. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0u2),则 f(u)=-u2
2、+3u+1 (0u2)故 f(x)=-x2+3x+1 (0u2)2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例 2. .23|)x(f:|,)x1(f),x(f,)x(fy 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设解: 023 ,1)2,1 2与 已 知 得得代 换用 .|x(f|,04)x(9f 02得由例 3. f(x).1, ,1求且已 知 解: ),x0( )x(f)且,1)x1(f)(f:1- 得代 换用 :x)(- (2).)x1(f)-f( 得中 的代 换再 以即 (3) .12)(fx-1f( ,)x1(f)x(f 即 )0( 2)(f:2)3(3
3、且得由3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 4.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:由已知得 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1) 0,则 f(2001)=_.解:令 x=y=0,得： f(0)=0,令 x=0,
4、y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, ,21)n(f1)n(f1(f,ynx.21)(f,0)1(f 得令.20),)(f,n- 故即例 6.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数 a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0)， f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若 f(2)=2,un=f(2n) (nN*),求证:u n+1un (nN*).2008 年高考数学第二轮复习讲稿（老人教大纲版湖南卷）湖南省汉寿县第三中学 艾镇南 第 2 页/共 4 页解:(1)令 a=b=0,得 f(0)=0,令
5、 a=b=1,得 f(1)=0.(2)f(x)是奇函数.因为:令 a=b=-1,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:u n=f(2n)0 (nN*)( 略)5.转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例 7.设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,由已知得 f(x2-x1)0,nN;f(n 1+n2)=f(n1)
6、f(n2),n1,n2N*;f(2)=4 同时成立 ?若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件,得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2 x (xN*) (数学归纳证明 略）例 10.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1, 且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1.所以 g(x+5)+(x+5)-
7、1g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1 g(x)+(x-1)+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x).所以 g(x)g(x+5) g(x+4)g(x+3)g(x+2) g(x+1),故 g(x)=g(x+1)又 g(1)=1,故 g(2002)=1.7.模型法 模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。应掌握下面常见的特殊模型:特殊模型 抽象函数正比例函数 f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) 或
8、)y(fx2008 年高考数学第二轮复习讲稿（老人教大纲版湖南卷）湖南省汉寿县第三中学 艾镇南 第 3 页/共 4 页指数函数 f(x)=ax (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) )y(fx(f或对数函数 f(x)=logax (a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) )(f或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y(fx1)yx(f余切函数 f(x)=cotx )(f)(f例 11.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x0 时,f(x)1, 且对任意 x,yR, 有 f(x+y)=f(x)f
9、(y),f(1)=2.1)2(f3x(f21)(f)2(;,4x3(f)1( 解 方 程解 不 等 式解:(1)先证 f(x)0,且单调递增，因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0 时 f(x)1,所以 f(0)=1.则使假 设 存 在 某 个又 ,0)(f,R,0)(f2(f)x oo2f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故 f(x)0任取 x1,x2R 且 x10,f(x2-x1)1,所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10.所以 xR 时,
10、f(x)为增函数. 解得:x|11 时,f(x)f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数.)x(f)(fx)(fx)(f 12121212 能力训练1. 的 值 是则且如 果 )201(f)5(f634)1(f2,)(f,y)x(f(f A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 B.2.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x,y 都满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+f(y),则 f(x)是A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 A3. 的值为_.)20(f)3(f1,)x(f1)x(f)(f 则满 足定 义 在 实 数 集 上 的 函
11、 数 2008 年高考数学第二轮复习讲稿（老人教大纲版湖南卷）湖南省汉寿县第三中学 艾镇南 第 4 页/共 4 页4. 则 f(x)=_.,ba,c,ba,cx)1(bfxa)(f 且是 不 为 零 的 常 数其 中满 足已 知 函 数 .)ba(xc)f25. (2)当 x(-1,0)时,有 f(x)y1(f)x(f),1(y,x)1(:)x(f1, 都 有对 任 意满 足上 的 函 数定 义 在0. 求证:()f(x)是奇函数；（ ） ).3(f5n(f)9(f2解:(1)易证f(x)是奇函数。 （2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. )3n(21f)13n)(f)
12、5n1(f2又 )3n1(f)2(f)3n1(21f )(f)5(f4)f()5(f)19(f2 命 题 成 立又 .31fn3,0n6.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x) 0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x) 6成立，试确定f(1) 应满足的条件； )a,n(),afx(fn1)(fa(fn1)( 22 是 一 个 给 定 的 自 然 数的 不 等 式解 关 于解:（1）由已知对于任意xR，yR ，f （x+y）=f（x） +
13、f（y）恒成立令x=y=0 ，得f（0+0 ）= f（0）+ f （0） ，f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f (-x)= - f(x)f (x)是奇函数.（2）设任意x 1，x 2R且x 1 x2，则x 2-x10，由已知f（x 2-x1）0（1）又f（x 2-x1）= f（x 2）+ f（-x 1）= f（x 2）- f （x 1） （2）由（1） （2）得f(x 1)f(x 2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3 ).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3 )6，又f（-3 ）
14、= - f（3）= - f （2+1）=- f （2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1） ，f（1）-2.（3） f（ax 2）- f（x） f（a 2x）- f （a） f（ax 2）- f（a 2x）nf （x）- f（a）nn1f（ax 2-a2x）nf （x-a ） （10分） 由已知得：fn（x-a ）=nf（x-a ）f（ax 2-a2x） fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数 ax 2-a2xn（ x-a）.即（x-a） （ax-n ）0，a0，（x-a） （x- ）0， （11分）an讨论：（1）当a 0，即a- 时，原不等式解集为 x | x 或xa；n（2）当a= 0即a=- 时，原不等式的解集为 ；nn（3）当 a0时，即- a0时，原不等式的解集为 x | xa或x n
