1、抽象函数解题方法与技巧所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。1. 换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例 1. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0u2),则 f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故 f(x)=-x2+3x+1 (0u2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函
2、数的问题。例 2. .23|)x(f:|,)x1(f2),x(f,)x(fy 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设解: 03 ,1)2,1 与 已 知 得得代 换用 .2|x(f|,04)x(9f 02得由例 3. f(x).1, ,1求且已 知 解: ),x0( )x(f)且,1)x1(f)(f:1- 得代 换用 :x)(- (2).)x1(f)-f( 得中 的代 换再 以即 (3) .12)(fx-1f( ,)x1(f)x(f 即 )0( 2)(f:2)3(3且得由3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 4.已知 f(x)是多项式函数，且
3、 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:由已知得 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1) 0,则 f(2001)=_.解:令 x=y=0,得： f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2,21)n(f12)n(f1(f,ynx.21)(f,0)1(f 得令.0)2,)
4、(f,n- 故即例 6.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数 a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0)， f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若 f(2)=2,un=f(2n) (nN*),求证:u n+1un (nN*).解:(1)令 a=b=0,得 f(0)=0,令 a=b=1,得 f(1)=0.(2)f(x)是奇函数.因为:令 a=b=-1,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数
5、.(3)先用数学归纳法证明:u n=f(2n)0 (nN*)( 略)5.转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例 7.设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,由已知得 f(x2-x1)0,nN;f(n 1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4 同时成立 ?若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件,得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=22,f(3)=23
6、,由此猜想:f(x)=2 x (xN*) (数学归纳证明 略）例 10.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1, 且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1.所以 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1 g(x)+(x-1)+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x).所以 g(x)g(x+5) g(x+4)g(x+3)g(x+2) g(x+1),故 g(x)=g(x+1)又 g
7、(1)=1,故 g(2002)=1.7.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。应掌握下面常见的特殊模型:特殊模型 抽象函数正比例函数 f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) 或 )y(fx指数函数 f(x)=ax (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) )(f或对数函数 f(x)=logax (a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) yx)y(f或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx
8、 f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y(fx1)yx(f余切函数 f(x)=cotx )(f)(f例 11.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x0 时,f(x)1, 且对任意 x,yR, 有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 .1)2(f3x(f21)(f)2(;,4x3(f)1( 解 方 程解 不 等 式解:(1)先证 f(x)0,且单调递增，因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0 时 f(x)1,所以 f(0)=1.则使假 设 存 在 某 个又 ,0)(f,R,0)(f2(f)x oo2f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(
9、xo)=0,与已知矛盾，故 f(x)0任取 x1,x2R 且 x10,f(x2-x1)1,所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10.所以 xR 时,f(x)为增函数. 解得:x|11 时,f(x)f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数 .能力训练1. 的 值 是则且如 果 )201(f)5(f634)1(f2,)(f,y)x(f(f A.1999 B.2000 C.2001 D.20022.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x,y 都满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+f(y)
10、,则 f(x)是A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数3. )20(f)3(f1,)x(f1)x(f)(f 则满 足定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 的值为_.4. ,ba,c,ba,c)x1(bfa)x(f 且是 不 为 零 的 常 数其 中满 足已 知 函 数则 f(x)=_. .)(a25. )xy1(f)x(f),1(y,x1:)xf)1,( 都 有对 任 意满 足上 的 函 数定 义 在(2)当 x(-1,0)时,有 f(x)0.求证:()f(x)是奇函数；（） ).3(f5n(f)19(f2解:(1)易证f(x)是奇函数。（2）易证f(x)在(-1
11、,0),(0,1)上是单调递减函数. )3n(21f)3n(21f)5n1(f2又 )3n1(f)2(f)3n1(2f )(f)5(f4f)5(f)19(f2 命 题 成 立又 .31(fn3,0n6.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立 .(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x) 6成立，试确定f(1) 应满足的条件； )0a,n(),afx(fn1)(fax(fn1x)( 22 是 一 个 给 定 的 自 然 数的 不 等 式解 关
12、于解:（1）由已知对于任意xR，yR ，f （x+y）=f（x） + f（y）恒成立令x=y=0 ，得f（0+0 ）= f（0）+ f （0） ，f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f (-x)= - f(x)f (x)是奇函数.（2）设任意x 1，x 2R且x 1 x2，则x 2-x10，由已知f（x 2-x1）0（1）又f（x 2-x1）= f（x 2）+ f（-x 1）= f（x 2）- f （x 1） （2）由（1） （2）得f(x 1)f(x 2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(
13、-3 ).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3 )6，又f（-3 ）= - f（3）= - f （2+1）=- f （2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1） ，f（1）-2.（3） f（ax 2）- f（x） f（a 2x）- f （a）nn1f（ax 2）- f（a 2x）nf（x）- f （a ）f（ax 2-a2x）nf （x-a ） （10分）由已知得：fn（x-a ）=nf（x-a）f（ax 2-a2x） fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数ax 2-a2xn（x-a）.即（x-a） （ax-n）0，a0，（x-a ） （x- ）0， （
14、11分）a讨论：（1）当a 0，即a- 时，nn原不等式解集为x | x 或 xa ；（2）当a= 0即a=- 时，原不等式的解集为 ；ann（3）当 a0时，即- a0时，原不等式的解集为x | xa 或x 一、抽象函数的定义域例1已知函数f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a0）的定义域。解析：由由a0知只有当0a1 时，不等式组才有解，具体为x|1+ax3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0a1 时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a。点评：1. 已知f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域由ag(x)b，解出x即
15、可得解；2.已知fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域即是g(x)在xa,b上的值域。二、抽象函数的值域解决抽象函数的值域问题由定义域与对应法则决定。例2若函数y=f(x+1)的值域为-1 ，1求y=(3x+2)的值域。解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为-1，1。三、抽象函数的奇偶性四、抽象函数的对称性例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则 g(x)+ g(-x)的值为（ ）A、 2 B、 0 C、 1 D、
16、不能确定解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=， y=f(2x+1) 是奇函数，y= 也是奇函数，。 ， ，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x) 的图像关于 y=x对称，g(x)+ g(-x)=故选A 。五、抽象函数的周期性例4、 （2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数解: 与都是奇函数， ，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数. ， ，即是奇函数。故选D定理1.若函数 y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (xa)=f (xb)，则y=f (x) 是以T=ab为周期的周期函数。定理2
17、.若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x a)= f (xb)，则y=f (x) 是以T=2（ab）为周期的周期函数。定理3.若函数 y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b （ab) 对称，则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数。定理4.若函数 y=f (x)的图像关于点（ a,0)与点(b,0) , (ab)对称，则y=f (x) 是以 T=2(ba)为周期的周期函数。定理5.若函数 y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(ab) 对称，则y=f (x) 是以 T=4(ba)为周期的周期函数。性质1：若函数f(x) 满足f(a x)=f(
18、ax)及f(bx)=f(bx) (ab,ab0),则函数f(x) 有周期2(a b)；性质2：若函数f(x) 满足f(a x)= f(ax)及f(bx)= f(bx) ，(ab,ab0), 则函数有周期2(ab).特别：若函数f(x) 满足f(ax)=f(ax) （a0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.性质3：若函数f(x) 满足f(a x)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (ab,ab0)， 则函数有周期4(ab).特别：若函数f(x) 满足f(ax)=f(ax) （a0）且 f(x)是奇函数，则函数f(x) 有周期4a。从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要
19、求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。二、抽象函数周期的求法 由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决,大致分为以下几个类型: 1.型如f(x+a)=f(x+b)(ab) 分析:用替换思想将条件等式化成定义形式 .将原等式中的x用x-a( 或x-b) 来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即f(x)=fx+(b-a)所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a 是其一个周期.若用x-b替换x得f(x)=fx+(a-b)所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期。 2.型如f(x)=-f(x+a)(a0) 分析:条件与
20、定义相比多了一个负号 ,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换得f(x+a)=-f(x+2a),则所以f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期。 3.型如f(x)= (a0) 分析:与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x用x+a替换得f(x+a)= ,则f(x+2a)= =f(x) 所以f(x) 是周期函数 ,2a是其一个周期. 从以上可发现求周期,主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期. 三、抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系 2001年全国高考的第22题第2问
21、就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用。 1.设条件A:定义在R上的函数 f(x)是一个偶函数。条件 B:f(x)关于x=a 对称条件C:f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个。证明:已知A、BC(2001年高考第22题第二问)f(x)是R上的偶函数f(-x)=f(x)又f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a) f(x)是周期函数,且2a是其一个周期已知A、CB定义在R上的函数f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又2a 是f(x)一个周期 f(x)=f(x+2a)f(-x)=f
22、(x+2a)f(x)关于 x=a对称已知C、BAf(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a)又2a 是f(x) 一个周期f(x)=f(x+2a)f(-x)=f(x)f(x)是R 上的偶函数看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢?经分析可得: 2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称,则f(x)是周期函数,4a是其一个周期。证明:定义在R上的奇函数f(x)f(-x)=-f(x)又f(x)关于x=a对称 f(-x)=f(x+2a)f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a)(替换+代入) 故f(x)是周期函数,4a是其一个周期。奇
23、函数本身是一个中心对称图形,关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称,再加对称性是否也可推出周期性吗?经分析可得: 3.f(x) 关于 (a、0) 成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称(ab),则f(x) 是周期函数且4(b-a)是其一个周期。若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢 ? 4.定义在R上的f(x)关于(a、0) 和(b、0) 都成中心对称则f(x) 是周期函数且2(b-a)是一个周期。证明:定义在R上的f(x)关于(a、0)成中心对称f(-x)=-f(x+2a)又定义在R上的f(x)关于(b、0)成中心对称f(-x)=-f(x+2b)f(x)是周期函数且2(b-a
24、)是其一个周期将原条件换成关于x=a,x=b对也行,结论成立。综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密,灵活运用可简化题目难度。 例1.f(x) 是 R上的奇函数f(x)=-f(x+3),x0,3/2时f(x)=x,则f(2003)=?解: 方法一f(x)=-f(x+3)(替换、代入 )f(x)=f(x+6)6是f(x)的一个周期f(x) f(2003)=f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1方法二f(x)=-f(x+3),f(x)是奇函数 f(-x)=f(x+3)f(x) 关于 x=3/2对称又f(x)是奇函数6是f(x)的一个周期,以下与方法一相同。 例2.f(x
25、) 是 R上的偶函数,f(1-x)=f(x+1),x-1,0时f(x)=Log0.5(-x)则f(2003)=?解:f(x) 是偶函数,f(1-x)=f(x+1)(即f(x)关于x=1对称) 根据结论1得2是f(x)的一个周期f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)=Log0.5(1)=0 例3.f(x) 满足 f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a5,9 且f(x) 在5,9 上单调。求a的值。解:f(x)=-f(6-x) f(x) 关于(3,0) 对称f(x)=f(2-x)f(x)关于x=1对称根据结论3得8是f(x)的一个周期f(2000)=f(0) 又f(a)=-f(2000)f(a)=-f(0) 又f(x)=-f(6-x)f(0)=-f(6)f(a)=f(6)a=6
