1、1函数的图象及函数图象的变换一、基本的知识体系：1、常见函数的图象：、一次函数 y= kx+b (k0)； 、二次函数 y= ax2+bx+c (a0)；、反比例函数 y= (k0)； 、指数函数 y= ax (a0,a1)； kx、对数函数 y=logax (a0,a1) ； 、三角函数 y= sinx、y= cosx、y=tanx；2、基本的图象变换：、平移变化：y= （x) 左移 m：_ ；y= （x)右移m：_ ；y= （x)上移 h：_ ；y= （x) 下移 h：_ ；、伸缩变化：y= （x)的横坐标变为原来的 倍得到：_；y= （x)的横坐标变为原来的1aa 倍得到：_；y= （x
2、)的纵坐标变为原来的 倍得到： _；y= （x) 的纵坐标变为原1A来的 A 倍得到：_；、对称变化：y= -1（x)的图象为_；y= （-x)的图象为： _；y=- （x) 的图象为：_； y= - （-x)的图象为：_； y= （|x|)的图象为：_ ；y=| （x)|的图象为：_；3、几个常用结论：、若函数 y= （x) 满足 （x+a)= （b-x) 恒成立，则函数 y= （x) 的对称轴为直线 x= ；、若两个函数 y= （a+x) 与函数 y= （b-x)，则它们的图象关于直线a+b2x= 对称。b-a2二、典例剖析：【题 1】 、函数 yf(x)的图像与函数 g(x)log 2x
3、(x0)的图像关于原点对称，则 f(x)的表达式为（D）(A)f(x) (x0) (B)f(x)log 2(x)(x0)1log 2x(C)f(x)log 2x(x0) (D)f(x)log 2(x)(x0)【题 2】 、如图所示，单位圆中 的长为 ， 与弦 AB 所围成ABx)f表 示 弧 AB的弓形面积的 2 倍，则函数 的图像是（ ）()yf解：如图所示，单位圆中 的长为 ， 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍，当ABx()f表 示 弧 AB的长小于半圆时，函数 的值增加的越来越快，当 的长大于半AB()yf yxo21图 232圆时，函数 的值增加的越来越慢，所以函数 的图像是 D
4、. ()yfx()yfx【题 3】 、在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像关于直线 对称现将)(fgxy图像沿 x 轴向左平移个单位，再沿 y 轴向上平移个单位，所得的图像是由两条线段)(gy组成的折线（如图所示） ，则函数 的表达式为)(xfA B20,21)(xf 20,21)(xxfC D4,1)(xxf 4,36)(xxf解：将图象沿 y 轴向下平移个单位，再沿 x轴向右平移个单位得下图 A，从而可以得到的图象，故 ，函数 和 的图像关于直线)(xg32,40)(xg )(xfy)(g对称，y ，故选 A(也可以用特殊点检验获得答案)20,21)(xxf【题 4】 、已知函数 ，下
5、面四个图象)()( xffy其 中的 图 象 如 右 图 所 示 )(的 导 函 数是 函 数 xf中 的图象大致是（ ）)(xf【思路点拨】本题考查导函数的图象及其性质,由图象得 ，从而导出 是函(1)0f1x数 f(x)极值点是解本题的关健 .【正确解答】由图象知， ，所以 是函数 的极值点，又因为在(1)0fx()fxyxo2132图 A3上， ，在 上， ，因此在 上， 单调递减，故选 C.(1,0)()0fx(,1)()0fx(1,)()fx【解后反思】要注意,若 是函数 y=f(x)的极值点,则有 ,但是若 ,则是py 0f0不一定是函数 y=f(x)极值点,所以要判断一个点是否为
6、极值点,还要检验点 的两侧的单0()pxy P调性是否不同.【题 5】 、设定义域为 R 的函数 ，则关于 的方程1,0|lg)(xxf x有 7 个不同实数解的充要条件是（ ）0)(2cxbffA 且 B 且 C 且 D 且bcbc0bc解答： 有 7 个不同实数解的充要条没 有 实 数 解 个不 同 实 数 解 有 个不 同 实 数 解 有,0)3(324,1(af )(2xff件是方程 有两个根，一个等于 0，一个大于 0。此时应 且 。选 C2cbx 0bc【题 6】 、一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式)(xfy )1,(a)(1nnaf得到的数列 满足 ，则该函数
7、的图象是n )N(*1nan（） （） （） （）【解答】由 ， ，得 ，即 ，故选 A )(1nnafn1naf)(xf)(【题 7】 、若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a0,且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_. )2,0(【题 8】 、设奇函数 f(x)的定义域为5,5.若当 x0,5时,f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)2, 1b-1 1b-1 1b-1 bb-1a=1+ 21b-1【题 10】 、 （4）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上Rxy),63sin( Rxy,sin2所有的点（A）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
8、的 倍（纵坐标不变）6 31（B）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）（C）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）6（D）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）【题 11】 、已知函数 ， 。 （I）当函数 取得最大值时，求自变1cosin23cos1xxy Ry量 的集合；（II）该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？x y练习一、选择题1(2010 年江西南昌)已知 ab1，函数 f(x)a x与函数 g(x)log bx 的图象可能是( )【解析】 因为 ab1
9、，所以Error!故选 B.【答案】 B2设函数 f(x)Error!，若 f(4)f(0)，f (2)2，则关于 x 的方程 f(x)x 的解的个数为( )A1 B2 C3 D453函数 yf(x)的图象如图所示，则 ylog 0.2f(x)的图象大致是下图中的( )【解析】 00.21，ylog 0.2x 是减函数，而 f(x)在(0,1上是减函数，在1,2)上是增函数，ylog 0.2f(x)在 (0,1上是增函数，在1,2上是减函数【答案】 C4方程 x|log 3x|的解的个数是( )(13)A0 B1 C 2 D 3【解析】 如图画出函数 y x与 y|log 3x|的图象，两图象
10、的交点个数为(13)2.【答案】 C5若函数 yf( x)(xR)满足 f(x2)f(x)，当 x( 1,1时，f(x)|x|，则函数 yf(x) 的图象与函数 ylog 3|x|的图象的交点个数是 ( )A2 B3 C4 D多于 4【解析】 y=f(x) 的周期 T=2，y=log3|x|是偶函数，在(0，+) 上单调递增，则画出图象(如图)可知，两图象共有 4 个交点【答案】 C6如果某点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”在五个点 M(1,1)，N(1， 2)，P(2,1)，Q (2,2)，G 中，好点有( )(2，12)A0 个 B1 个 C 2 个
11、 D 3 个【解析】 设指数函数 ya x(a0 且 a1)，M(1,1)，N(1， 2)，P(2,1)不在 ya x上，则只需验证 Q(2,2)，G 即可(2，12)Q(2,2)是 y( )x上的点，也是 ylog x 上的点，所以是好点2 2G(2， )在 y x上，也在 ylog 4x 上，所以也是好点12 ( 22)6综上，好点有 2 个【答案】 C二、填空题7log 2(x)x1 成立的 x 的取值范围是_【解析】 分别作出函数 ylog 2(x )和 yx 1 的图象如下图所示，数形结合即可，有x( 1,0)【答案】 (-1,0)8若直线 y2a 与函数 y|a x1|(a0 且
12、a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_【解析】 作 y1|a x1|，y 22a 的图象如图由图可知：(1)当 a1 时，2a 2，不成立；(2)当 0a1 时，02a 1 0a.【答案】 0a 9已知函数 f(x)(xa)( xb) 2(ab)，m ，n(mn)是方程 f(x)0 的两个根，则实数a，b，m，n 的大小关系是_ 【解析】 如图所示，设函数 g(x)(xa)(xb)(ab) ，那么函数 g(x)(xa)(xb) 的图象与 x轴的交点的横坐标分别为 a，b(ab)，而 f(x)(xa)(xb )2 的图象是由函数 g(x)(xa)(xb) 的图象向下平移 2 个单位得到
13、的，由于 m，n(mn) 是方程 f(x)0 的两个根，所以函数 f(x)( xa)(xb)2 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为 m，n(m n)，结合图形可知 mabn.【答案】 mabn三、解答题10作出下列函数的图象：(1)y|x2|( x1)；(2)y |x|.(12)【解析】 (1)yError!.(2)yError! ，图象如下图所示711若不等式 2xlog ax0 在 x 时恒成立，求实数 a 的取值范围(0，12)【解析】 要使不等式 2xlog ax 在 x 时恒成立，即函数 ylog ax 的图象在 内恒在(0，12) (0，12)函数 y2 x的图象的上方，则 只须 y2 x的图象过点 .(12，2)
