1、圆的标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力(三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育二、教材分析1重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程(
2、解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解)2难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题 1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)问题 2：图 2-9 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心 C 是定点，圆周上的
3、点 M 是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小问题 3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点 M 的坐标，简称建系设点；图 2-9(2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P=M|P(M)|，简称写点集；(3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程 f(x，y)=0 为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明其中步骤(1)(3)(4)必不可少下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准
4、方程(二)建立圆的标准方程1建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导因为 C 是定点，可设 C(a，b)、半径 r，且设圆上任一点 M 坐标为(x，y)2写点集根据定义，圆就是集合 P=M|MC|=r3列方程由两点间的距离公式得：4化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是 C(a，b)、半径是 r 的圆的方程我们把它叫做圆的标准方程这时，请大家思考下面一个问题问题 5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展
5、开后没有 xy 项，括号内变数 x，y 的系数都是 1点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径当圆心在原点即 C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r 三个量确定了且 r0，圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件注意，确定 a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决(三)圆的标准方程的应用例 1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是 3；(3)经过点 P(5，1)，圆心在点 C(8，-3)；(4)圆心在点 C(1，3)，并且和直线 3x-4y-7=0 相切
6、教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程例 2 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径例 3 (1)已知两点 P1(4，9)和 P2(6，3)，求以 P1P2 为直径的圆的方程；(2)试判断点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决
7、解法一：(学生口答)设圆心 C(a，b)、半径 r，则由 C 为 P1P2 的中点得：又由两点间的距离公式得：所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点 P 性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决解法二：(给出板书)直径上的四周角是直角，对于圆上任一点 P(x，y)，有 PP1PP2化简得：x2+y2-10x-12y+51=0即(x-5)2+(y-6)2=10 为所求圆的方程解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点 M 在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内这时，教师小结本题：1求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定 a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方
8、程的一般方法2点与圆的位置关系设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3)点在圆内 dr3以 A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例 4 图 2-10 是某圆拱桥的孔圆拱的示意图该圆拱跨度 AB=20m，拱高 OP=4m，在建造时每隔 4m 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2 的长度(精确到0.01m)此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意 P2
9、的横坐标 x=-20，纵坐标 y0，所以 A2P2 的长度只有一解(四)本课小结1圆的方程的推导步骤；2圆的方程的特点：点(a，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径；3求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法五、布置作业1求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线 x-7y+2=0 相切；(2)过点 A(3，2)，圆心在直线 y=2x 上，且与直线 y=2x+5 相切2已知：一个圆的直径端点是 A(x1，y1)、B(x2，y2)证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=03一个等腰三角形底边上的高等于 5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程4赵州桥的跨度是 37.4m，圆拱高约为 7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程作业答案：1(1)(x-3)2+(y+5)2= 322因为直径的端点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04如图 2-11 建立坐标系，得拱圆的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2y0)六、板书设计
