1、1高考数学专题复习讲座专题 1：函数与方程函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式 y = f (x)，那么这个解析表达式可以看成是一个方程，一个二元方程，两个变量间存在着对应关系，如果这个对应关系是函数的话，那么这个方程可以看成是一个函数；一个一元方程，它的两端可以分别看作函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决。函数思想，即先构造函数，把给定问题转化对辅助函数的性质研究，得出所需的结论。方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程和方程组的认识。对于函数
2、思想，应深刻理解一般函数 y=f(x)、 的性质（单调性、奇偶性、)(1xf周期性、最值和图像变换） 。熟练掌握基本初等函数的性质，是应用函数思想解题的基础。函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效。【例题解析】【例 1】 （1）已知集合 A=x|x2ax +a219=0，集合 B=x|log2(x25x+8)=1，集合C=x|m =1,m0，|m| 1 满足 AB ，AC= ，求实数 a 的值；82x (2)已知集合 P=x|x25x +40,Q=x| x22bx+b+20 满足 P Q，求实数 b 的取值范围。解 （1）由条件即可得 B=2，3 ，C=4
3、，2，由 AB ，AC= ，可知3A ， 2 A。将 x=3 代入集合 A 的条件得：a23a10=0a=2 或 a=5当 a=2 时，A=x|x 2+2x15=0=5,3,符合已知条件。当 a=5 时,A =x|x25x+6=0=2 ，3，不符合条件“AC”= ，故舍去。综上得：a=2。（2）显然 P=x|1x 4，记 f(x)=x22bx+b+22若 Q 为空集，则由 a，2114142 xa 满足条件。2a（2）当 12210124142 axaaa 满足条件，故xx1， 即。 aa2由 ，解得 a 02又当 a = 0 时，P、Q、R 三点重合，故 a 0 当 a 0 或 时，方程只有
4、一个实根，124所求 a 的范围是 a 0 或 。21【例 4】 已知函数 f(x)的定义域为 R，且对于一切实数 x 满足f(x+2)=f(2x),f(x +7)=f(7x )（1）若 f(5)=9,求：f(5);（2）已知 x 2,7时，f(x )=(x2) 2，求当 x16,20时，函数 g(x)=2xf(x )的表达式，并求出 g(x)的最大值和最小值；（3）若 f(x)=0 的一根是 0，记 f(x)=0 在区间 1000,1000上的根数为 N，求 N 的最小值。解：（1）由 f(x+2)=f(2x )及 f(x+7)=f(7x)得: f(x)的图像关于直线 x=2,x=7 对称。
5、 f(x)=f(x2)+2=f2(x2)=f(4x)=f7(3+x)=f(7+(3+x)=f(x+10)f(x)是以 10 为周期的周期函数。f(5)=f( 5+10)=f(5)=9（2）当 x16,17,x106,7f(x)=f( x10)=(x 102) 2=(x12) 2当 x(17,20 ,x20(3,0 ,4(x20)4,7)f(x)=f( x20)=f4( x20)=f(24x)=(x22) 2g(x)= 2)(10,17(6xx 16,17时，g(x )最大值为 16，最小值为 9；x （17，20 ，g(x )g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值为 36，最
6、小值为 9。（3）由 f(0)=0，及 f(0)=f(4)=0，知 f(0)在 上至少有两个解。)10,而在1000，1000 上有 200 个周期，至少有 400 个解。又 f(1000)=0)5所以最少有 401 个解。且这 401 个解的和为200。注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)= 2)120,17(6x一般地：当 x 3，2时， 4x 2,7f(x)=f(4x )=(x2) 2当 x3,7,f(x)=(x 2) 2故当 x3+10k,7+10k,x10k 3,7f(x)= ( x10k2) 2(kz)f(x)= ( x10k2) 2 x 3+1
7、0k,7+10k,（kZ）【例 5】 设 a 是正数，ax+ y=2(x0,y0)，记 y+3x x2 的最大值是 M(a)，试求：1（1）M(a)的表达式；（2）M(a) 的最小值。解：将代数式 y+3x x2 表示为一个字母，由 ax+y=2 解出 y 后代入消元，建立关于1x 的二次函数，逐步进行分类求 M(a)。（1）设 S(x)=y+3x x2,将 y=2ax 代入消去 y，得：1S(x)=2ax+3 x x2= x2+(3a)x+21= x(3a) 2+ (3a) 2+2(x0)1y0 2ax 0而 a0 0x a下面分三种情况求 M(a)(i)当 00)，即2时0230解得 00
8、)，即 时，032a解得：1a2，这时M(a)=S( )=2 a +3 21)(a= +26(iii)当 3a0 ；即 a3 时M(a)=S(0)=2综上所述得：M（a）= )3(22)3(1)1(620)3(1aaaa （2）下面分情况探讨 M(a)的最小值。当 021当 1a2 时M(a)= + =2( )2+6a1391a2 12当 = 时，M(a)取小值，即M(a)M（2）= 5当 a3 时，M(a)=2经过比较上述各类中 M(a)的最小者，可得 M(a)的最小值是 2。注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数 a 的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标 3a 是否在定义域区间0
9、， 内，这样就引出三种状态，找出解题的方案。a27【例 6】 设函数 f(x)定义域为 R，当 x0 时，f(x)1，且对任意 x,yR，有 f(x+y)=f(x)f(y)。（1）证明：f(0)=1;（2）证明：f(x )在 R 上是增函数；（3）设集合 A=(x,y)|f(x2)f(y2)0 时，f(x)1。则设x=0,y=1 得：f(0+1)=f(0)f(1)，即 f(1)=f(0)f(1)f(1)1 f(0)=1（2）证明 f(x)在 R 上是增函数，即证明当 x10f(x 2)=f(x1+x2 x1)=f(x1)f(x2x 1)中有 f(x2x 1)1故要证明 f(x2)f(x1)，只
10、要证明 f(x1)0 即可。事实上，当 x10 时，f(x 1)10当 x1=0 时，f( x1)=10当 x11 00f(x 2)=f(x1)f(x2x 1)f(x1)，故命题得证。（3）解 A：f(x 2+y2)0 ，得 f( x)= ，证得 f(x)0 恒成立。)(1f且 =f(x2)f(x 1)=f(x2 x1)11ff(x 2)f(x1)【例 7】 已知 a b c，且 a + b + c = 0，证明：方程 的两实根axbc20x1、x 2 总有 。3231|x分析：根据方程中的已知条件，这就要将欲证的|x 1x 2|中用已知 a、b、c 的关系来表示，即求|x 1x 2|的函数解
11、析表达式，然后利用函数的有关性加以解决。 x 1、x 2 是方程 的两个实根，abxc2014442|0,22121211acacb acbxxxca 于是转化为关于 的二次函数的值域为(3, 12)142acacf 的对称轴方程为f 2200acabcb acfacac21,21932|312341221xacff 【例 8】 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)= bx，其中 a、b、c 满足abc,a+b+c=0(a,b,cR)。（1）求证：两函数的图像交于不同的两点 A、B；（2）求线段 AB 在 x 轴上的投影 A1B1 的长度的取值范围。解：（1）证：由
12、消去 y，得 ax2+2bx+c=0byca2=4b 24ac=4(ac) 24a c=4(a2+ac+c2)=4(a+ )2+ c243abc ，c 不同时为 00，即两函数的图像交于不同的两点。（2）设方程 ax2+2bx+c=0 的两根为 x1 和 x2，则x1+x2= ,x1x2=abc|A1B1|2=( x1x 2)2=( x1+x2)24 x1x2=( )2 =abcacb= =4( )2+ +12(=4( + )2+ ac143abc，a+ b+c=0，a0,c 0，由（1）知 ，于是只需证明 f (0)和 f (1)中有一个大于零即可。0f010, cbafcff 由已知条件式可求得
