1、四年级数学 A 班奥数专题-“韩信点兵”出新招（韩信点兵）有兵 3 万多，若均分成 5 营，则余 1 人；均分成 6 营，则余 5 人；均分成 7 营，则余 4 人；均分成 11 营，则余 10 人；均分成 13 营，则余 5 人。求兵数。 这是我国古代的一道著名算题，用有关同余的理论来解答此题比较简便，但用整除的知识来解答确也是一个好方法。解 设兵数为 x，由题目可知：30000x40000“均分成 5 营，则余 1 人”使我们知道：x 的末尾数字是 1或 6，然后又均分成 6 营，余 5 人，因 5 是奇数，6 是偶数，所以 x末尾数字不可能为 6，只可能为 1。抓住“均分成 6 营，则余
2、 5 人”和“均分成 13 营，则余 5 人”就得到：13|（x-5）、6|（x-5），因（13，6）=1，所以 78|（x-5），且经计算商的范围在 385 和 512 之间，若设商为 n，那么兵数x 可以表示为 78n5（385n512），x 的末尾数字是 1，那么 x-5 的末尾数字一定是 6，（x-5）78 的商 n 的末尾数字也只能是 2或 7，这就是说 x 可能为：30191、30581、30971、31361、31751、3214139941（相邻两数之差是 390）。但由于“均分成 7 营，则余 4 人；均分成 11 营，则余 10 人”，因此还得将以上的数检验一下，为了方便起见，可用数的整除特征来检验。当检验得知 32141 符合题意时，还得继续往下检验，因为有可能不止这一个数，但不必重复前面的步骤。具体做法如下：32141-10=32131，又 32131390m40000，则 m20，已知 11|32131，如 11|390m，就有 11|32131390m，仅当 m=11 时。则从中可知 36431 除以 11 余 10，但用来除以 7 时并不余 4，而是余3，表明 x=36431 是不符合题意的。由此就可确定此题有唯一解，即x=32141。
