1、17 韩信点兵游戏内容老师说，我先给同学们讲一个韩信点兵的故事。相传韩信拜相时，问书记官：今天参加阅兵的共有多少兵士？ 书记官说：大概 9000 人。韩信问准确人数，书记官回答不出。于是韩信先让士兵 5 人一排从阅兵台前走过；再让士兵 6 人一排从阅兵台前走过；再让士兵 7 人一排从阅兵台前走过；最后让士兵 11 人一排从阅兵台前走过。韩信一边与汉高祖谈论着治国方略，一边记下了最后一排士兵的人数分别为 1、5、4、10。韩信对汉高祖说，今天参加检阅的兵士准确人数为 9041 个。老师说：你们知道韩信是如何计算出总人数的吗？为了弄清这个问题，先做一个简单的练习，计算一下我这里有多少粒粉笔头？老师
2、把粉笔盒中的粉笔头倒在桌面上，三三数之剩 2，五五数之剩 3，七七数之剩 2。老师于是在黑板上写出了如下题目：三三数之剩 2，五五数之剩 3，七七数之剩 2，问共有多少粒粉笔头？（粉笔头个数小于 105）分班讨论，看哪班取胜？规律总结列 4 元一次方程是无法求解的。因为根据条件，我们只有三个方程： 3257wxyz所以解不出 w 来。解 1：筛选法。第一遍筛子。三三数之剩 2 的数，有5，8，11，14，17，20，23，26，29，32、35、38，2第二遍筛子。从中找出五五数之剩 3 的数，有8，23，38，第三遍筛子。从中找出七七数之剩 2 的数，有23，解不是唯一的。考虑到小于 105
3、 的条件限制，则此数为23。这种筛选法，虽然不必再考察每一个自然数是否满足条件，也算是一种进步，但是求解还是相当繁琐的。上面所说的筛选法是“先细后粗” ，如果把筛子的顺序颠倒一下，变成“先粗后细” ，工作量将会大大减少。第一遍筛子。七七数之剩 2 的数，有9，16，23，30，37、44，51，58，第二遍筛子。从中找出五五数之剩 3 的数，有23，58，第三遍筛子。从中找出三三数之剩 2 的数，有23，解 2：公倍数法。设此数为 ，按题目条件 被 3 除余 2，被 5 除余 3，被xx7 除余 2。如果令 ，那末 被 3 和 7 都能整除，被 52yy除余 1，显然 。 所以 。1这种方法只
4、适合于求解余数有某些特殊规律的情况。本题就是满足其中 2 个余数相同。对于一些特殊情形：如被 3、5、7除的余数是 2、1、3，我们把此数加上 4 以后，则恰好能被3、5、7 整除，即 105，故所求的数为 101。再如，被 3、5、7除的余数是 1、2、3，我们把此数乘上 2 以后，余数则变为2、4、6，即为 104，故所求的数为 52。这种方法技巧性很强，不易掌握。解 3：单因子构件凑成法。使用如下口诀：三人同行七十稀，五支梅花二十一，七子团圆正半月，除百零五便得知（明朝数学家程大位算法统宗 ） 。即：把被 3 除的余数乘以 70，被 5 除的余数乘以 21，被 7除的余数乘以 15。3
5、个数之和除以 105，余数便为所求。对于此题则有(70212)103这里的 70、21、15 是如何得来的呢？仔细分析不难发现：70 是被 5 和 7 能够整除、被 3 除余 1 的最小整数；21 则是被 33和 7 能够整除、被 5 除余 1 的最小整数；15 是被 3 和 5 能够整除、被 7 除余 1 的最小整数。它们分别乘以各自对应的余数后，求和，当然也就满足原来的余数条件了。但是，这个解不是唯一的，每加上 105，余数不变。因此，要给出一个满足条件的最小整数，除以 105 所得的余数便是。这种方法民间称为“韩信点兵” ，现代数学界又称之为“单因子构件凑成法” 。为何称为单因子构件凑成
6、法呢？请看一个简单的问题：某数能被 5 和 7 整除，被 3 除余 1，求该数。设此数为 ，根据条件，有如下方程组：x1237n1230()47xn故： 10,5xkk所以 。这就是被 3 除余 1 的单因子构件。不管1放大多少倍，它永远不会改变被 5 和 7 整除的性质。同理，可以推出被 5 除余 1、被 7 除余 1 的单因子构件：230,0ykzk由单因子构件凑出的和 1312350sxrrrk 必然满足被 3、5、7 除余 的条件。12,中国剩余定理1247 年南宋的数学家秦九韶把孙子算经中的“物不知其数”问题推广到一般情况，得到“大衍求一术” ，写入数书九章中。600 年后，直到 1
7、8 世纪，高斯和欧拉才发现了这个规律。所以称之为中国剩余定理。 （韩信点兵发生在公元前 200多年前，比秦九韶又早了 1400 多年。 ）该定理表述如下：设 两两互素，设 分别被 除 所得的余12,nd x12,nd数为 ，则 可表示为r x12nkrkrD其中 D 是 的最小公倍数； 是,d ik的公倍数，且被 除余数为 1； 是任意整数，11,iind i可以取负值。4请注意“ 两两互素”的条件。如果知道分别被12,nd3、4、5 除的余数，可以使用此方法。如果知道分别被 4、6、7除的余数，则不能用此方法求得该数。应用举例：某单位有 100 个房间，编号从 1 到 100，每个房间的门上
8、配了一把三个数字的号码锁，为防止遗忘，又要保密，使外来人看不懂，就采用了中国剩余定理。把房间号分别被3、5、7 除，所得的余数作为锁的号码。如：8 号房间的号码为231，25 号房间的号码为 104，52 号房间的号码为 123。本单位的人只需把房间号作 3 次求余除法，就知道该房间号码锁的编号了。思考 韩信算法为(13865304210)31904请问式中的单因子 1386、385、330、210 是如何来的？为什么要加 2310？这个数的意义何在？ 粉笔头若干，三三取之余 2，五五取之余 4，七七取之余 6，问共有多少个粉笔头？ 粉笔头若干，三三数之余 2，四四数之余 1，五五数之余 3，
9、问共有多少个粉笔头？请找出计算此题的单因子？并用来计算此题。 请编辑一段程序，随机产生被 3、5、7 除所得的余数，让用户求出该数，并判断正确与否？5题：单因子 1386 是能被 6、7、11 整除被 5 除余 1 的最小整数；单因子 385 是能被 5、7、11 整除被 6 除余 1 的最小整数；单因子 330 是能被 5、6、11 整除被 7 除余 1 的最小整数；单因子210 是能被 5、6、7 整除被 11 除余 1 的最小整数。题： 045mod)1420( 题：被 3、4、5 整除问题的单因子为 40、45、36。63题：“韩信点兵”程序设计一、窗体设计窗体设计很简单，只有 3 个
10、按键：出题按键、回答按键和退出按键。二、程序设计 出题部分：主要功能是生成 3 个随机数，分别小于3、5、7。把它们作为某数被 3、5、7 除所得的余数。而后把题目显示在屏幕上。Dim n1 As Integer, n2 As Integer, n3 As Integer, m As IntegerPrivate Sub Command1_Click()n1 = 0: n2 = 0: n3 = 0: ClsRandomize (Timer)n1 = Int(3 * Rnd(1)n2 = Int(5 * Rnd(1)n3 = Int(7 * Rnd(1)FontBold = True :Font
11、Size = 16 ForeColor = QBColor(12)CurrentX = 3800: CurrentY = 300FontSize = 20: Print “题 目“FontSize = 14: ForeColor = QBColor(0)CurrentX = 3100: CurrentY = 700Print “今有小球若干(小于 105） 。“CurrentX = 2500Print “三三数之余“; n1; “,五五数之余“; n2; “,“6CurrentX = 2500Print “七七数之余“; n3; “,问共有多少个“CurrentX = 2500Print “小
12、球？“End Sub 判断对错：由用户回答小球的个数，电脑算出正确结果与用户的回答进行比较，如果相等，则显示“真聪明。回答正确！”；否则显示“很遗憾,回答错误！” ，并告诉用户实际上是多少个。Private Sub Command3_Click()FontSize = 16: ForeColor = QBColor(12)CurrentX = 3800: CurrentY = 2000FontSize = 20: Print “回 答“n = InputBox(“您算出有多少小球？“, “输入“, 20, 5220, 1600)FontSize = 14: ForeColor = QBColor(0)CurrentX = 2500: CurrentY = 2400Print “您的回答是，有“; n; “小球。“m = (70 * n1 + 21 * n2 + 15 * n3) Mod 105CurrentX = 2500: ForeColor = QBColor(2)If n = m ThenPrint “真聪明。回答正确！“ElsePrint “很遗憾,回答错误！实际有“; m; “个.“End IfEnd Sub3、运行结果显示图 1-10 回答正确时的显示7图 1-11 回答错误时的显示
