1、第章 计算机的运算方法,6.1 无符号数和有符号数,6.3 定点运算,6.2 数的定点表示和浮点表示,6.4 浮点四则运算,6.5 算术逻辑单元,6.1 无符号数和有符号数,一、无符号数,8 位 0 255,16 位 0 65535,带符号的数 符号数字化的数,+ 0.1011,+ 1100, 1100, 0.1011,真值 机器数,1. 机器数与真值,二、有符号数,6.1,2. 原码表示法,带符号的绝对值表示,(1) 定义,整数,x 为真值,n 为整数的位数,如,x = +1110,x原 = 0 , 1110,x原 = 24 + 1110 = 1 , 1110,用 逗号 将符号位 和数值部分
2、隔开,6.1,小数,x 为真值,如,x = + 0.1101,x原 = 0 . 1101,x = + 0.1000000,x原 = 0 . 1000000,用 小数点 将符号 位和数值部分隔开,用 小数点 将符号 位和数值部分隔开,6.1,(2) 举例,例 6.1 已知 x原 = 1.0011 求 x,解:,例 6.2 已知 x原 = 1,1100 求 x,解:,0.0011,1100,由定义得,由定义得,6.1,例 6.4 求 x = 0 的原码,解:,设 x = + 0.0000,例 6.3 已知 x原 = 0.1101 求 x,解：, x = + 0.1101,同理，对于整数,+ 0 原
3、 = 0,0000,+ 0.0000原 = 0.0000,根据 定义 x原 = 0.1101,6.1,原码的特点：,简单、直观,但是用原码作加法时，会出现如下问题：,能否 只作加法 ?,加法 正 正,加,加法 正 负,加法 负 正,加法 负 负,减,减,加,正,可正可负,可正可负,负,6.1,(1) 补的概念,时钟,逆时针,顺时针,3. 补码表示法,时钟以12为模,6.1,结论,一个负数加上 “模” 即得该负数的补数,一个正数和一个负数互为补数时 它们绝对值之和即为 模 数,计数器（模 16）,1011,0000,1011,10000,6.1,（mod 23）, + 101,（mod 2）,
4、+ 1.0111,（mod24）,(2) 正数的补数即为其本身,两个互为补数的数,分别加上模,结果仍互为补数, + 0101 + 0101,+ 0101,24+1 1011,1,0101,用 逗号 将符号位 和数值部分隔开,（mod24）,可见,?,+ 0101,0101,0101,1011,0101,+,（mod24+1）,6.1,100000,=,(3) 补码定义,整数,x 为真值,n 为整数的位数,如,x = +1010,=,x补 = 0,1010,1,0101000,用 逗号 将符号位 和数值部分隔开,6.1,1011000,100000000,小数,x 为真值,x = + 0.111
5、0,如,x补 = 0.1110,1.0100000,=,6.1,(4) 求补码的快捷方式,= 100000,= 1,0110,10101 + 1,= 1,0110,又x原 = 1,1010,6.1,+ 1,(5) 举例,解：,x = + 0.0001,解：由定义得,x = x补 2,= 1.0001 10.0000,x原 = 1.1111,由定义得,6.1,例 6.7,解：,x = x补 24+1,= 1,1110 100000,x原 = 1,0010,由定义得,6.1,真值,0, 1000110,1, 0111010,0.1110,1.0010,0.0000,0.0000,1.0000,0,
6、1000110,1,1000110,0.1110,1.1110,0.0000,1.0000,不能表示,练习,求下列真值的补码,由小数补码定义,= 1000110,x补 x原,6.1,4. 反码表示法,(1) 定义,整数,如,x = +1101,x反 = 0,1101,= 1,0010,x 为真值,n 为整数的位数,6.1,小数,x = + 0.1101,x反 = 0.1101,= 1.0101,如,x 为真值,6.1,n 为小数的位数,(2) 举例,例 6.10 求 0 的反码,设 x = + 0.0000,+0.0000反= 0.0000,解：,同理，对于整数,+0反= 0,0000,例6.
7、9 已知 x反 = 1,1110 求 x,例6.8 已知 x反 = 0,1110 求 x,解：,由定义得 x = + 1110,解：,6.1,三种机器数的小结,对于正数，原码 = 补码 = 反码,6.1,例6.11,-0,-1,-128,-127,-127,-126,-3,-2,-1,6.1,设机器数字长为 8 位（其中位为符号位） 对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码和 反码时，对应的真值范围各为多少？,例6.12,解：,6.1,5. 移码表示法,补码表示很难直接判断其真值大小,如,十进制,x + 25,+10101 + 100000,+11111 + 100000,错,错,正确,正确
8、,0,10101,1,01011,0,11111,1,00001,+10101, 10101,+11111, 11111,= 110101,= 001011,= 111111,= 000001,二进制,补码,6.1,(1) 移码定义,x 为真值，n 为 整数的位数,移码在数轴上的表示,如,x = 10100,x移 = 25 + 10100,用 逗号 将符号位 和数值部分隔开,x = 10100,x移 = 25 10100,= 1,10100,= 0,01100,6.1,(2) 移码和补码的比较,设 x = +1100100,x移 = 27 + 1100100,x补 = 0,1100100,设
9、x = 1100100,x移 = 27 1100100,x补 = 1,0011100,补码与移码只差一个符号位,= 1,1100100,= 0,0011100,1,0,0,1,6.1,(3) 真值、补码和移码的对照表,- 1 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0,+ 1 1 1 1 1,0 0 0 0 0 0,1 1 1 1 1 1,0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0,6.1,当 x = 0 时,+0移 = 25 + 0,当 n = 5 时,可见，最小真值的移码为全 0,(4) 移码的特点,用移码表示浮点数的阶码,能方便地判断浮点数的阶码大小,= 1,00000,= 1,000
10、00,= 000000,6.1,6.2 数的定点表示和浮点表示,小数点按约定方式标出,一、定点表示,定点机,小数定点机,整数定点机,原码,补码,反码,(1 2-n) +(1 2-n),(2n 1) +( 2n 1), 1 +(1 2-n), 2n +( 2n 1),(1 2-n) +(1 2-n),(2n 1) +( 2n 1),二、浮点表示,计算机中 r 取 2、4、8、16 等,当 r = 2,N = 11.0101,= 0.110101210,= 1.1010121,= 1101.012-10,= 0.001101012100,计算机中 S 小数、可正可负,j 整数、可正可负,规格化数,
11、6.2,1. 浮点数的表示形式,Sf 代表浮点数的符号,n 其位数反映浮点数的精度,m 其位数反映浮点数的表示范围,jf 和 m 共同表示小数点的实际位置,6.2,2. 浮点数的表示范围,2( 2m1)( 1 2n),2( 2m1)2n,2( 2m1)( 1 2n),2( 2m1)2n,215 ( 1 2-10),2-15 2-10,215 ( 1 2-10),上溢 阶码 最大阶码 下溢 阶码 最小阶码 按 机器零 处理,6.2,2-15 2-10,练习,设机器数字长为 24 位，欲表示3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各 取1 位外，阶码、尾数各取几位？,满足 最大
12、精度 可取 m = 4，n = 18,解：,6.2,3. 浮点数的规格化形式,r = 2,尾数最高位为 1,r = 4,尾数最高 2 位不全为 0,r = 8,尾数最高 3 位不全为 0,4. 浮点数的规格化,r = 2,左规 尾数左移 1 位，阶码减 1,右规 尾数右移 1 位，阶码加 1,r = 4,左规 尾数左移 2 位，阶码减 1,右规 尾数右移 2 位，阶码加 1,r = 8,左规 尾数左移 3 位，阶码减 1,右规 尾数右移 3 位，阶码加 1,基数 r 越大，可表示的浮点数的范围越大,基数不同，浮点数的 规格化形式不同,基数 r 越大，浮点数的精度降低,6.2,例如：,最大正数,
13、= 215( 1210 ),最小正数,最大负数,最小负数,= 21521,= 215( 12 10 ),= 216,= 21521,= 216,设 m = 4，n = 10，r = 2,尾数规格化后的浮点数表示范围,6.2,三、举例,解：,二进制形式,定点表示,浮点规格化形式,x原 = 1, 0010; 0. 1001100000,x补 = 1, 1110; 0. 1001100000,x反 = 1, 1101; 0. 1001100000,定点机中,浮点机中,000,x = 0.0010011,x = 0.0010011,x = 0.10011000002-10,x原 = x补 = x反 =
14、 0.0010011000,6.2,x = 111010,0000,例 6.14,将 58 表示成二进制定点数和浮点数， 并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码 为移码、尾数为补码的形式（其他要求同上例）。,解：,设 x = 58,二进制形式,定点表示,浮点规格化形式,x原 = 1, 0000111010,x补 = 1, 1111000110,x反 = 1, 1111000101,x原 = 0, 0110; 1. 1110100000,x补 = 0, 0110; 1. 0001100000,x反 = 0, 0110; 1. 0001011111,定点机中,浮点机中,x阶移、尾补 = 1,
15、 0110; 1. 0001100000,x = 111010,x = (0.1110100000) 2110,6.2,例6.15,写出对应下图所示的浮点数的补码形式。 设 n = 10，m = 4， 阶符、数符各取 1位。,解：,真值,最大正数,最小正数,最大负数,最小负数,215(1 210),215 210,215 210,215(1 210),0,1111; 0.1111111111,1,0001; 0.0000000001,1,0001; 1.1111111111,0,1111; 1.0000000001,补码,6.2,当浮点数 尾数为 0 时，不论其阶码为何值按机器零处理,机器零,
16、当浮点数 阶码等于或小于它所表示的最小数 时，不论尾数为何值，按机器零处理,如 m = 4 n = 10,当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零为,有利于机器中“ 判 0 ” 电路的实现,当阶码和尾数都用补码表示时，机器零为,6.2,四、IEEE 754 标准,符号位 S 阶码 尾数 总位数,1 8 23 32,1 11 52 64,1 15 64 80,尾数为规格化表示,非 “0” 的有效位最高位为 “1”（隐含）,6.2,6.3 定 点 运 算,一、移位运算,1. 移位的意义,15 m = 1500 cm,小数点右移 2 位,机器用语,左移 绝对值扩大,右移 绝对值缩小,在计算机中，移位与
17、加减配合，能够实现乘除运算,2. 算术移位规则,1,右移 添 1,左移 添 0,0,反 码,补 码,原 码,负数,0,原码、补码、反码,正数,符号位不变,6.3,例6.16,设机器数字长为 8 位（含位符号位），写出 A = +26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。,解：,A = +26,则 A原 = A补 = A反 = 0,0011010,+ 6,0,0000110,+13,0,0001101,+104,0,1101000,+ 52,0,0110100,+26,0,0011010,移位前,= +11010,6.3,左移一位,左移两位,右移一位,右移
18、两位,例6.17,设机器数字长为 8 位（含位符号位），写出 A = 26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。,解：,A = 26, 6,1,0000110, 13,1,0001101, 104,1,1101000, 52,1,0110100, 26,1,0011010,移位前,原码,= 11010,6.3,左移一位,左移两位,右移一位,右移两位, 6,1,1111001, 13,1,1110010, 104,1,0010111, 52,1,1001011, 26,1,1100101,移位前, 7,1,1111001, 13,1,1110011, 10
19、4,1,0011000, 52,1,1001100, 26,1,1100110,移位前,补码,反码,6.3,左移一位,左移两位,右移一位,右移两位,左移一位,左移两位,右移一位,右移两位,3. 算术移位的硬件实现,（a）真值为正,（b）负数的原码,（c）负数的补码,（d）负数的反码,出错,影响精度,出错,影响精度,正确,影响精度,正确,正确,6.3,4. 算术移位和逻辑移位的区别,算术移位,有符号数的移位,逻辑移位,无符号数的移位,逻辑左移,逻辑右移,低位添 0，高位移丢,高位添 0，低位移丢,例如 01010011,逻辑左移,10100110,逻辑右移,01011001,算术左移,算术右移,
20、00100110,11011001（补码）,高位 1 移丢,10110010,6.3,二、加减法运算,1. 补码加减运算公式,(1) 加法,(2) 减法,整数,A补 + B补,= A+B补（mod 2n+1）,小数,A补 + B补,= A+B补（mod 2）,整数,A B补,= A+(B )补,= A补 + B补,(mod 2n+1),小数,A B补,= A+(B )补,(mod 2),连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉,= A补 + B补,6.3,2. 举例,解：,A补,B补,A补 + B补,+,= 0 . 1 0 1 1,= 1 . 1 0 1 1,= 1 0 . 0 1 1 0
21、,= A + B补,验证,0.1011, 0.0101,0.0110, A + B = 0 . 0 1 1 0,A补,B补,A补 + B补,+,= 1 , 0 1 1 1,= 1 , 1 0 1 1,= 1 1 , 0 0 1 0,= A + B补,验证, 1001, 1110,解：, A + B = 1110,6.3,例 6.20,设机器数字长为 8 位（含 1 位符号位） 且 A = 15， B = 24，用补码求 A B,解：,A补 + B补,+,= 1, 1110111,= A B补,B补 = 0, 0011000,练习 2 设机器数字长为 8 位（含 1 位符号位）且 A = 97，
22、B = +41，用补码求 A B,A B = + 1110110 = + 118, A B = 1001 = 9,错,错,6.3,3. 溢出判断,(1) 一位符号位判溢出,参加操作的 两个数（减法时即为被减数和“求补” 以后的减数）符号相同，其结果的符号与原操作 数的符号不同，即为溢出,硬件实现,如,有 溢出,无 溢出,6.3,溢出,(2) 两位符号位判溢出,x补 + y补 = x + y 补 （mod 4）,x y补 = x补 + y补 （mod 4）,结果的双符号位 相同 未溢出,结果的双符号位 不同 溢出,最高符号位 代表其 真正的符号,6.3,4. 补码加减法的硬件配置,6.3,三、乘
23、法运算,1. 分析笔算乘法,A = 0.1101 B = 0.1011,AB = 0.10001111,0 . 1 1 0 1,0 . 1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 0 1,0 0 0 0,1 1 0 1,0 . 1 0 0 0 1 1 1 1,符号位单独处理,乘数的某一位决定是否加被乘数,4个位积一起相加,乘积的位数扩大一倍,乘积的符号心算求得,？,6.3,2. 笔算乘法改进,A B = A 0.1011,= 0.1A + 0.00A + 0.001A +0.0001A,= 0.1A + 0.00A + 0.001( A +0.1A),= 0.1A + 0.010 A + 0. 1
24、( A +0.1A),= 0.1A +0.1 0 A+0.1(A + 0.1A),= 2-1A +2-1 0 A+2-1(A + 2-1(A+0),第一步 被乘数A + 0,第二步 右移 一 位，得新的部分积,第八步 右移 一 位，得结果,第三步 部分积 + 被乘数,6.3,3. 改进后的笔算乘法过程（竖式）,0 . 0 0 0 0,0 . 1 1 0 1,0 . 1 1 0 1,0 . 1 1 0 1,0 . 0 0 0 0,0 . 1 1 0 1,初态，部分积 = 0,乘数为 1，加被乘数,乘数为 1，加被乘数,乘数为 0，加 0,乘数为 1，加 被乘数,6.3,小结,被乘数只与部分积的高
25、位相加,硬件,3 个寄存器，具有移位功能,1 个全加器,6.3,乘法 运算可用 加和移位实现n = 4，加 4 次，移 4 次,4. 原码乘法,(1) 原码一位乘运算规则,以小数为例,数值部分为绝对值相乘 x* y*,6.3,(2) 原码一位乘递推公式,z0,6.3,例6.21,已知 x = 0.1110 y = 0.1101 求x y原,解：,6.3,数值部分的运算,0 . 0 0 0 0,0 . 1 1 1 0,0 . 1 1 1 0,0 . 0 0 0 0,0 . 1 1 1 0,0 . 1 1 1 0,部分积 初态 z0 = 0,逻辑右移,1 1 0 1,=,=,=,=,逻辑右移,逻辑
26、右移,逻辑右移,+,+,+,+,+ x*,+ 0,+ x*,+ x*, 数值部分按绝对值相乘,x* y* = 0. 1 0 1 1 0 1 1 0,则 x y原 = 1. 1 0 1 1 0 1 1 0,特点,绝对值运算,逻辑移位,例6.21 结果,用移位的次数判断乘法是否结束,6.3,(3) 原码一位乘的硬件配置,6.3,(4) 原码两位乘,原码乘,符号位 和 数值位 部分 分开运算,两位乘,每次用 乘数的 2 位判断 原部分积 是否加 和 如何加 被乘数,1 1,1 0,0 1,0 0,3 ？,先 减 1 倍 的被乘数 再 加 4 倍 的被乘数,6.3,(5) 原码两位乘运算规则,6.3,
27、例6.22,已知 x = 0.111111 y = 0.111001 求xy原,0 0 0 . 0 0 0 0 0 0,0 0 0 . 1 1 1 1 1 1,0 0 0 . 1 1 1 1 1 1,0 0 . 1 1 1 0 0 1,0,初态 z0 = 0,+ x*， Cj = 0,0 0 1 . 1 1 1 1 1 0,+ 2x*，Cj = 0,1 1 1 . 0 0 0 0 0 1, x*， Cj = 1,0 0 0 . 1 1 1 1 1 1,+ x*， Cj = 0,0,0,1,补码右移,补码右移,6.3,解：,数值部分的运算,补码右移,+,+,+,+, 数值部分的运算,x* y*
28、= 0. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1,则 x y原 = 1. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1,例6.22 结果,特点,绝对值的补码运算,算术移位,用移位的次数判断乘法是否结束,6.3,(6) 原码两位乘和原码一位乘比较,绝对值,绝对值的补码,逻辑右移,算术右移,n,n,思考 n 为奇数时，原码两位乘 移 ？次,最多加 ？次,6.3,5. 补码乘法,设 被乘数,乘数, 被乘数任意，乘数为正,同原码乘,但 加 和 移位 按 补码规则 运算,乘积的符号自然形成, 被乘数任意，乘数为负,乘数y补，去掉符号位，操作同 ,最后 加x补，校正,(1) 补码一位乘运算规则,
29、6.3,以小数为例, Booth 算法,（被乘数、乘数符号任意）,x y补,2-1,2-2,6.3,附加位 yn+1, Booth 算法递推公式,z0补= 0,z1补= 2-1(yn+1yn)x补+z0补 yn+1 = 0,zn补= 2-1(y2y1)x补+zn-1补,x y补= zn补+(y1y0)x补,最后一步不移位,如何实现 yi+1yi ?,0 0,0 1,1 0,1 1,0,1,-1,0,6.3,例6.23,已知 x = +0.0011 y = 0.1011 求xy补,解：,0 0 . 0 0 0 0,1 1 . 1 1 0 1,1 1 . 1 1 0 1,0 0 . 0 0 1 1
30、,1 1 . 1 1 0 1,0 0 . 0 0 1 1,1 1 . 1 1 0 1,1 . 0 1 0 1,0,x补 = 0.0011,y补 = 1.0101,x补 = 1.1101,+x补,+x补,+x补,+x补,+x补, xy补=1.11011111,最后一步不移位,6.3,补码右移,补码右移,补码右移,补码右移,+,+,+,+,+,(2) Booth 算法的硬件配置,6.3,乘法小结,原码乘 符号位 单独处理补码乘 符号位 自然形成,原码乘去掉符号位运算 即为无符号数乘法,不同的乘法运算需有不同的硬件支持,整数乘法与小数乘法完全相同可用 逗号 代替小数点,6.3,四、除法运算,1. 分
31、析笔算除法,x = 0.1011 y = 0.1101 求 xy,0 . 1 0 1 1,0 . 1 1 0 1,0 . 0 1 1 0 1,0 . 0 1 0 0 1,0 . 0 0 1 1 0 1,0 . 0 0 0 1 0 1,0 . 0 0 0 0 1 1 0 1,0 . 0 0 0 0 0 1 1 1,1,商符单独处理,心算上商,余数不动低位补“0” 减右移一位的除数,上商位置不固定,商符心算求得,0,0 .,1,0,1,0,0,0,？,？,？,6.3,2. 笔算除法和机器除法的比较,商符单独处理,心算上商,符号位异或形成,| x | | y | 0 上商 1,| x | | y |
32、 0 上商 0,2 倍字长加法器,上商位置 不固定,1 倍字长加法器,在寄存器 最末位上商,6.3,3. 原码除法,以小数为例,被除数不等于 0,除数不能为 0,约定,6.3,(1) 恢复余数法,0 . 1 0 1 1,1 . 0 0 1 1,1 . 0 0 1 1,1 . 0 0 1 1,0 . 0 0 0 0,+ y*补,0,0 . 1 1 0 1,恢复余数,+ y*补,+y*补,解：,x原 = 1.1011 y原 = 1.1101,1,+y*补,y*补 = 0.1101 y*补 = 1.0011,逻辑左移,逻辑左移,6.3,+,+,+,+,1 . 0 0 1 1,0 . 1 1 0 1,
33、1 . 0 0 1 1,+ y*补,恢复余数,+ y*补,上商 5 次,第一次上商判溢出,余数为正 上商 1,余数为负 上商 0，恢复余数,移 4 次,1,0,1,+y*补,逻辑左移,6.3,逻辑左移,+,+,+,(2) 不恢复余数法,余数 Ri0 上商 “1”，2Ri y*,余数 Ri0 上商 “0”， Ri + y* 恢复余数,2( Ri+y*) y* = 2Ri + y*,加减交替,恢复余数法运算规则,不恢复余数法运算规则,上商“1” 2Ri y*,上商“0” 2Ri + y*,（加减交替法）,6.3,解：,例6.25,0 . 1 0 1 1,1 . 0 0 1 1,0 . 1 1 0
34、1,1 . 0 0 1 1,1 . 0 0 1 1,0 . 1 1 0 1,0 . 0 0 0 0,+ y*补,0,+y*补,+ y*补,+ y*补,+y*补,x原 = 1.1011,y*补 = 0.1101,y*补 = 1.0011,y原 = 1.1101,1,1,0,1,逻辑左移,6.3,x*补 = 0.1011,逻辑左移,逻辑左移,逻辑左移,上商 n+1 次,例6.25 结果,特点,用移位的次数判断除法是否结束,第一次上商判溢出,移 n 次，加 n+1 次,6.3,(3) 原码加减交替除法硬件配置,A、X、Q 均 n +1 位,用 Qn 控制加减交替,6.3,Ri补= 0.1000,4.
35、 补码除法,(1) 商值的确定,x补 = 0.1011,y补 = 1.1101,Ri补= 0.1000,x补 = 1.1101,y补 = 0.1011,x*y*,Ri补与y补同号,“够减”,x*y*,Ri补与y补异号,“不够减”,+,+, 比较被除数和除数绝对值的大小,x 与 y 同号,6.3,小结,x补 = 0.1011,y补 = 1.1101,Ri补= 0.1000,x补 = 1.1101,y补 = 0.1011,Ri补= 0.1000,x*y*,Ri补与y补异号,“够减”,x*y*,Ri补与y补同号,“不够减”,+,+,x 与 y 异号,6.3, 商值的确定,x补与 y补同号,正商,按原
36、码上商,x补与 y补异号,负商,按反码上商,末位恒置“1”法,小 结,简 化 为,（同号）,（异号）,（异号）,（同号）,6.3,. 1,(2) 商符的形成,除法过程中自然形成,x补和y补同号,x补y补,比较Ri补和y补,同号(够)“1”,异号(不够)“0”,原码上商,小数除法 第一次“不够”上“0”,正商,x补和y补异号,x补+y补,比较Ri补和y补,异号(够)“0”,同号(不够)“1”,反码上商,小数除法 第一次“不够”上“1”,负商,6.3,(3) 新余数的获得,加减交替,6.3,例6.26,解：,x补 = 1.0101 y补 = 0.1101 y补 = 1.0011,1 . 0 1 0
37、 1,0 . 1 1 0 1,1 . 0 0 1 1,0 . 1 1 0 1,0 . 1 1 0 1,0 . 0 0 0 0,异号做加法,1,0 . 0 0 1 0,同号上“1”,异号上“0”,+y补,异号上“0”,+y补,同号上“1”,末位恒置“1”,0,0,1,1,+y补,逻辑左移,6.3,逻辑左移,逻辑左移,逻辑左移,(4) 小结,补码除法共上商 n +1 次（末位恒置 1）第一次为商符,第一次商可判溢出,加 n 次 移 n 次,用移位的次数判断除法是否结束,6.3,精度误差最大为 2-n,(5) 补码除和原码除（加减交替法）比较,自然形成,绝对值补码,补码,余数的正负,比较余数和除数的
38、符号,n +1,n +1,6.3,x*补 y*补,n,逻辑左移,n,n +1,逻辑左移,n,6.4 浮点四则运算,一、浮点加减运算,x = Sx 2jx,y = Sy 2jy,1. 对阶,(1) 求阶差,(2) 对阶原则,j = jx jy =,jx= jy 已对齐,jx jy,jx jy,x 向 y 看齐,y 向 x 看齐,x 向 y 看齐,y 向 x 看齐,小阶向大阶看齐,jx1,jy+1,jx+1,jy1,例如,解：,x补 = 00, 01; 00.1101 y补 = 00, 11; 11.0110,1. 对阶,j补 = jx补 jy补,= 00, 01,11, 01,11, 10,阶差
39、为负（ 2）,11.1001, x+y补 = 00, 11; 11. 1001, 对阶,x补 = 00, 11; 00.0011,+,+,对阶后的Sx补,6.4, 求阶差,2. 尾数求和,3. 规格化,(1) 规格化数的定义,(2) 规格化数的判断,S0,真值,原码,补码,反码,规格化形式,S 0,规格化形式,真值,原码,补码,反码,原码 不论正数、负数，第一数位为1,补码 符号位和第 一数位不同,6.4,特例,S = 1, 1补 是规格化的数,6.4,(3) 左规,(4) 右规,尾数左移一位，阶码减 1，直到数符和第一数位不同为止,上例 x+y补 = 00, 11; 11. 1001,左规后
40、 x+y补 = 00, 10; 11. 0010, x + y = ( 0.1110)210,当 尾数溢出（ 1）时，需 右规,尾数右移一位，阶码加 1,6.4,例6.27,解：,x补 = 00, 010; 00. 110100,y补 = 00, 001; 00. 101100, 对阶, 尾数求和,j补 = jx补 jy补,= 00, 010,11, 111,100, 001,阶差为 +1, y补 = 00, 010; 00. 010110,Sx补 = 00. 110100,Sy补 = 00. 010110,对阶后的Sy补,01. 001010,+,+,尾数溢出需右规,6.4, 右规,x +y
41、补 = 00, 010; 01. 001010,x +y补 = 00, 011; 00. 100101,右规后, x +y = 0. 100101 211,4. 舍入,在 对阶 和 右规 过程中，可能出现 尾数末位丢失 引起误差，需考虑舍入,(1) 0 舍 1 入法,(2) 恒置 “1” 法,6.4,例 6.28,解：,x补 = 11, 011; 11. 011000,y补 = 11, 100; 00. 111000, 对阶,j补 = jx补 jy补,= 11, 011,00, 100,11, 111,阶差为 1, x补 = 11, 100; 11. 101100,x = ( 0.101000
42、)2-101,y = ( 0.111000)2-100,+,6.4, 尾数求和,Sx补 = 11. 101100,Sy补 = 11. 001000,+,110. 110100, 右规,x y补 = 11, 100; 10. 110100,x y补 = 11, 101; 11. 011010,右规后, x y = (0.100110)2-11,6.4,5. 溢出判断,设机器数为补码，尾数为 规格化形式，并假 设阶符取 2 位，阶码的数值部分取 7 位，数符取 2 位，尾数取 n 位，则该 补码 在数轴上的表示为,2127(1), 2-128(2-1+ 2-n),2-1282-1,2127(12-
43、n),阶码 01, ,阶码 01, ,阶码 10, ,按机器零处理,6.4,二、浮点乘除运算,x = Sx 2jx,y = Sy 2jy,1. 乘法,x y = (Sx Sy)2jx+jy,2. 除法,(1) 阶码采用 补码定点加（乘法）减（除法）运算,(2) 尾数乘除同 定点 运算,4. 浮点运算部件,阶码运算部件，尾数运算部件,3. 步骤,(3) 规格化,6.4,6.5 算术逻辑单元,一、ALU 电路,组合逻辑电路Ki 不同取值Fi 不同,四位 ALU 74181,M = 0 算术运算,M = 1 逻辑运算,S3 S0 不同取值，可做不同运算,二、快速进位链,1. 并行加法器,= Ai B
44、i + (Ai+Bi)Ci-1,di = Ai Bi 本地进位,ti = Ai + Bi 传送条件,则 Ci = di + tiCi-1,6.5,2. 串行进位链,进位链,传送进位的电路,串行进位链,进位串行传送,以 4 位全加器为例，每一位的进位表达式为,C0 = d0 + t0C-1,C1 = d1 + t1C0,C2 = d2 + t2C1,C3 = d3 + t3C2,4 位 全加器产生进位的全部时间为 8ty,n 位全加器产生进位的全部时间为 2nty,设与非门的级延迟时间为ty,6.5,3. 并行进位链,n 位加法器的进位同时产生,以 4 位加法器为例,C0 = d0 + t0C-
45、1,C1 = d1 + t1C0,C2 = d2 + t2C1,C3 = d3 + t3C2,= d1 + t1d0 + t1t0C-1,= d2 + t2d1 + t2t1d0 + t2t1t0C-1,= d3 + t3d2 + t3t2d1 + t3t2t1d0 + t3t2t1t0C-1,（先行进位，跳跃进位）,当 di ti 形成后，只需 2.5ty 产生全部进位,设与或非门的延迟时间为 1.5ty,6.5,n 位全加器分若干小组，小组中的进位同时产生，小组与小组之间采用串行进位,当 di ti 形成后,经 2.5 ty,5 ty,7.5 ty,1 0 ty,(1) 单重分组跳跃进位链,产生 C3 C0,
