1、家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台巧思妙解 2011 年高考数学题（上海卷）1.（理 20,文 21）已知函数 f（x） = a2x + b3x,其中常数 a,b 满足 ab 0.（1）若 ab0，判断函数 f（x） 的单调性；（2）若 ab0，求 f（x + 1） f （x） 时 x 的取值范围.【参考答案】（1）当 a0，b0 时，任意 x1,x2R, x 1x 2,则f（x 1） - f（x 2） = a（2 x1 - 2x2）+ b（3 x1 - 3x2）. 2 x1 2x2，a 0 a（2 x1 - 2x2） 0，3x1 3x2，b 0 b（3 x1 - 3x2）
2、 0， f （x 1） - f（x 2） 0，函数 f（x ） 在 R 上是增函数.当 a0,b0 时,同理,函数 f（x） 在 R 上是减函数.（2）略巧思 利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况 1 的结论便显而易见。 利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况 2 的结论便显而易见。妙解若 a0，b0，则 a2x 和 b3x 在 R 上递增 f（x ） 在 R 上递增；若 a0，b0，则 a2x 和 b3x 在 R 上递减 f（x ） 在 R 上递减.【评注】 利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，则更显得轻松、方便。 上述单调
3、函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。“奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台2.（文 22）已知椭圆 C： （常数 m1），P 是曲线 C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点 A 的坐标为（2,0）.（1）若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标；（2）若 m = 3,求 PA的最大值和最小值；（3）若 PA的最小值为 MA，求实数 m 的取值范围 . 【参考答案】（1）略（2）m =
4、 3,椭圆方程为 .设 P（x，y），则 PA 2 = = （-3 x 3）.当 x = 时, PA min = ；当 x = - 3 时, PA max = 5.（3）设动点 P（x，y ），则 PA 2 = + 5（- m x m）.当 x = m 时， PA取最小值，且 0， m，且 m1，解得 1m1 + .巧思家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台 利用椭圆的参数方程设点 P 的坐标，则将“设 P（x，y）”与“代 入 ”两步合为一步，而利用余弦函数的有界性也可求出 PA的最值。 将 PA 2 含有 m 的表达式（关于 x 的二次函数）先化为“顶点式”，后再分别代入
5、m 的值进行运算，便避免了重复过程，而节省文字、减少篇幅。妙解设 P（mcos, sin） PA 2 =（mcos -2） 2 + sin2 =（m 2 -1） cos2 - 4mcos + 5 =（m 2 -1）（2）m = 3 cos = 时, PA min = ；cos = -1 时 , PA max = 5.（3） = 0 时, PA最小 1（m1） 1m 1 + .【评注】 椭圆 （ab0）的参数方程为 x = acos ，y = bbin ；双曲线= 1（a0, b0）的参数方程为 x = acsc ，y = btan ；抛物线 y2 = 2px 的参数方程为 x = 2 pt2,
6、y = 2pt ；这些将普通方程与参数方程 “互换”的手法，教师应当指导学生掌握。 正如将多项式分解因式并非只是解答“因式分解”的习题时才使用一样，将普通方程化为参数方程也并非只是解答“方程转化”的习题时才使用。由此及彼，其它亦然。家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台3.（理 22）已知数列a n 和b n的通项公式分别为 an = 3n + 6，b n = 2n + 7（nN ）. 将集合xx = an , nN x x = bn , nN 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求 c1 , c2 , c3 , c4 ；（2）求证：
7、在数列c n 中，但不在数列 bn中的项恰为 a2 , c4 , a2n, ；（3）求数列c n 的通项公式 .【参考答案】（1）略（2） 任意 nN ，设 a2n -1 = 3（2n -1） + 6 = 6n + 3 = bk = 2k + 7,则 k = 3n2,即 a2n -1 = b3n -2； 假设 a2n = 6n + 6 = bk = 2k + 7 k = 3n - N （矛盾）， a 2n b n， 在数列c n 中，但不在数列 bn中的项恰为 a2 , c4 , a2n ,.（3）b 3k -2 = 2（ 3k -2） + 7 = 6k + 3 = a2k + 1 ,b3k
8、-1 = 6k + 5，a 2k = 6k + 6，b 3k = 6k + 7. 6k + 3 6k + 5 6k + 6 6k + 7， 当 k = 1 时，依次有 b1 = a1 = c1，b 2 = c2，a 2 = c3，b 3 = c4 , c n = （ kN ）.巧思 由 6n + 6 = 2k + 7 便知矛盾（偶数不能等于奇数），而无须化为 k = 3n - 再判断。 由 an = 3n + 6 便知，a 2n -1 是奇数，a 2n 是偶数，而无须分别检验是否属于 b n。家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台 在c n 的首项前增加一项 7，得新数列d n
9、 ， 就使得排列更加“整齐”，观察更加方便；规律更加“明显”，归纳更加容易。妙解（2）题设 an7，a 2n - 1 是奇数，a 2n 是偶数，b n 是全体大于 7 的奇数 命题得证.（3）令 d1 = 7，d n + 1 = cn（nN ） , 则d n： 7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知 d 4k -3 = 6k + 1, d4k -2 = 6k + 3, d4k -1 = 6k + 5, d4k = 6k + 6cn = （k N ）.【评注】 认为“k = 3 n - N （矛盾） ”的依据是“整数 - 分数 = 分数，而分数 整数”，认为“
10、6n + 6 2k + 7”的依据是“偶数 + 偶数 = 偶数，偶数 + 奇数 = 奇数，而偶数 奇数”。二者的依据都是显然的事实、浅显的道理，所以没有必要利用前者说明后者。 将数列 c n 的首项“扩充 ”为易于分析的新数列 d n ，此法可以推广使用。4.（文 23）已知数列a n 和b n的通项公式分别为 an = 3n + 6，b n = 2n + 7（nN ）. 将集合xx = an , nN x x = bn , nN 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求三个最小的数，使它们既是数列a n 中的项，又是数列b n中的项；（2）数列 c1
11、, c2 , c3 , c40 中有多少项不是数列b n中的项？请说明理由；（3）求数列c n 的前 4n 项和 S4n.【参考答案】（1）设 am= bn（m,nN ），即 3m + 6 = 2n + 7, n = , m 应该是奇数，家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台 当 m = 1,3,5 时，对应xx = a n , nN x x = bn , nN 中 的三个最小的数依次为 a1 = 9, a3 = 15, a5 = 21,即三项分别为 9,15,21.（2）列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 an 9 12 15 18 21 24 2
12、7 30 33 36 39 42 bn 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 可知 6 是数列c n在自然数中的截取周期，即在从 9 开始连续的 6 个自然数中，第一个一定是a n 与 b n的公共项，第二个不存在于c n中，第三个一定是b n中的项，第四个一定是a n中的项，第五个一定是b n中的项，第六个不存在于c n中.这样的话，c n是以 4 为截取周期的，故 cn的通项公式为cn = （k N ）.故不是b n中的项只占了 ，这样在 c1 到 c40 中只有 10 项不在b n中.（3） b 3k -2 = 2（3k - 2） + 7 = 6k + 3
13、，b 3k -1 = 6k + 5，a 2k = 6k + 6，b 3k = 6k + 7， c n = （ kN ）. c 4k -3 + c4k -2 + c4k -1 + c4k = 24k + 21，S4n =（c 1 + c2 + c3 + c4）+ +（c 4n -3 + c4n-2 + c4n -1 + c4n）= 24 + 21nk = 12n2 + 33n.巧思 由 3m + 6 = 2n + 7 便知 m 应是奇数，而无须化为 n = 后再予判断。家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台 在c n 的首项前增加一项 7，得新数列d n ， 就使得排列更加“整齐
14、”，观察更加方便；规律更加“明显”，归纳更加容易。 将“ c n 的前 4n 项和”看成“d n 的前 4n + 1 项和与首项之差”，便可利用d n 的 “整齐”排列和“明显”规律进行计算。 将 （1） （2 ） （3 ） 合并解答，则既避免了含义重复的叙述，从而节省文字、缩减篇幅，又显得前后连贯、联系密切、节奏紧凑。妙解令 d1 = 7,dn + 1 = cn（nN ） ,则 d n： 7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知：（1）所求三个数为 9,15,21.（2）数列 c1, c2 , c3 , c40 中共有 10 项不是数列b n中的项.（3）d
15、 4k -3 = 6k + 1, d4k -2 = 6k + 3, d4k -1 = 6k + 5, d4k = 6k + 6S4n = = = 12n2 + 33n.【评注】 “n = m 应该是奇数”的依据是“奇数奇数 = 偶数”，“3m + 6 = 2n + 7m 是奇数”的依据也是“ 奇数奇数 = 偶数”，所以没有必要利用前者说明后者。 原解法是列出表格“看出”规律来的，新解法也可写出数列“看出”规律来。【小结】 数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当力求简明、简便、简洁、简单，力求创优创新、尽善尽美。亦即：应当探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。 如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？ “很好”吗？ “极好”吗？还能够“改变”吗？ “改造”吗？ “改进”吗？亦即：教师传给学生的知识，不仅应当是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台 如同长跑比赛不仅是比耐力、而且是比速度一样，数学高考不仅测验“会不会”，而且测验“好不好”、“快不快”：看你能否在很短的时间内顺利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要，而且更是实际的需要、迫切的需要。
