1、等比数列一、学习目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力二、自主学习：【课前检测】1.（2010 年海淀二模 12）已知数列 满足 ， （ N ） ，na112nna*则 的值为 . 答案：48。910a2首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是（ D ）A.d B.d0)，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前 n 项中数值最大项为 27，求首项、公比及项数 n解：（1）a n是等比数列，a 1ana 2an1 ， 286na， 解得 6421na或若 a12，a n6
2、4，则 2qn1 64 q n32q，由 Sn 126)3(21)(qan，q2，于是 n6若 a164，a n2，则 64qn1 2 q n q321 由 Sn 126)3(641)(qqanq ，n6（2）若 q1，则 na140，2na 13280 矛盾， q1 32801)(4qan两式相除得：q n81，q12a 1 又q0， q1，a 10 a n是递增数列 a n27a 1qn1 28解得 a 11，q3，n4变式训练 1 已知等比数列a n中，a 1a964，a 3a 720，则 a11 答案：64 或1解：由 206739a20647341或 q 2 1或 q22， a 11
3、a 7 q2， a 1164 或 a111小结与拓展：1）方程的思想：等比数列中五个元素 a1、a n、n、q、S n 可以“知三求二” 。a1 与 q 是等比数列a n中最活跃的两个基本量2）在等比数列中，若公比 q0 且 q1 时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3）在等比数列的求和公式中，当公比 q1 时，使用公式 Sn qan1)(；当 q1 时，使用公式 Snna 1。若 q 的范围未确定时，应对 q1 和 q1 讨论求和题型 2 等比数列的性质例 2 （1）在等比数列 中，若 ， , 则公比 2na123a23416q（2）在等比数列 中,若 是方程 的两根，则92,
4、 0x=_ 。510921loga（3）若等比数列 的前 项和为 ，则常数 的值等于（ D ）n a3S1nA B C D3（4）已知等比数列 na中， 12340， 5620，则前 9 项之和等于（ B ）A50 B70 C80 D90（5）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 =( B )nanS6396SA2 B C D3738（6）已知数列 132152, nn aaaa 则是 等 比 数 列 432n 。（7）若数列 成等比数列，则 的值为_2_1,4bcb题型 3 等比数列的判断与证明例 3 （2010 年东城二模 19）已知数列 na的前 项和为 nS， 1a， 14nSa，设
5、12nnba证明数列 nb是等比数列；证明：由于 4S， 当 2时， 1n 得 11nna 所以 1()naa又 2ba，所以 12nb因为 1，且 14，所以 2134所以 2 故数列 n是首项为 ，公比为 2的等比数列变式训练 2 已知数列 na的前 项和为 S，且 1a， nnS1.（1）求 43,a的值；（2）求数列 n的通项公式 ；解：（1） 1， 21，623S， 834， （2） nn1， 1nSa，() nna1， 2又 21，数列 n自第 项起是公比为 3的等比数列. 21()3nna小结与拓展： an为等比数列 ）（ ）（ 0,0/221aqbaqScnn题型 4 等比数列
6、的综合应用例 4 数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n中，b 1=a1，b n=ana n1 （n2） ，若 an+Sn=n.（1）设 cn=an1，求证：数列c n是等比数列；（2）求数列b n的通项公式.证明：（1）a 1=S1，a n+Sn=n，a 1+S1=1，得 a1= .2又 an+1+Sn+1=n+1，两式相减得 2（a n+11）=a n1，即 = ，也即 = ，故数列c n是等比数列.1n2nc1解：（2）c 1=a11= ，c n= ，a n=cn+1=1 ，a n1 =1 .212n故当 n2 时，b n=ana n1 = = .又 b1=a1= ，即 bn= （
7、nN *）.21变式训练 3 在数列 中， ， .（）求3n()， 且 ， 的值；（）证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式。2ana解：（） ， ，1 a12na *()N， 且 ， . 246361证明：（） ，111() )nnnaaa数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. n14， 即 ，4()n 1()nn的通项公式为 . naa*)N小结与拓展：可以构造等比数列来求非等比数列的通项公式。四、课堂总结：1解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素 a1、 an、 n、 q、 Sn可以“知三求二” ，有时灵活地运用性质，可使运算简便。 ；（2）分 类 讨
8、 论 的 思 想 ： 分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意 q=1 和 q1 两种情况等等.2证明数列 an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明 （ n2）为常数；1（2）利用等比中项，即证明 an2=an1 an+1（ n2）.3通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力五、检测巩固：1若数列 （ *）是等差数列，则有数列 （ *）也naN12nnab N为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列 是等比数列，且 （ *） ，则cnc0有 （ *）也是等比数列nd12nC2设 和 分别为两个等差数列的前 项和，若对任意 ，都有 ，nSTn*nN7142nST则第一个数列的第 项与第二个数列的第 项的比是 1143说明： 21naSbT六、学习反思：
