1、初探“数的整除性”在数列中的应用王军成江苏省淮阴中学摘要 本文主要以例题的形式探讨数的整除性在数列中的典型应用.关键词整除, 数列, 美列.数学是培养人类逻辑思维最好的一门学科, 数学的最基础概念就是针对数的一些认识 . 整除是数学研究的一部分, 这一方面的研究延伸出“数论”这一分支学科 . 由于一个人对数的认识与理解的深度也可以反应出他对数学的领悟能力与理解能力, 所以近年来在高校选拔考试中, 就有很多出题专家热衷于对“ 数的整除性”认识的初步考察. 下面作者用例题的形式初步探讨“数的整除性”的在数列中的典型应用. 1 数的同余问题例 1 已知数列b n的通项公式为 , 判断数列b n中是否
2、存在三项成等差数列？2()3nb若存在写出一组满足条件的三项, 若不存在说明理由. 分析: 首先我们要尝试, 假设存在三项 （不妨设 rst）成等差数列, 则有等,rsta式： 即 , 化为+=2rtsa2()()3rts, +23trtst（I）显然（I）等式的右端可以被 3 整除, 而等式的左端不能被 3 整除, 所以数列 不存nb在三项成等差数列. 例 2 已知数列a n为等差数列 , 首项为 , 公差为 , 数列 为等比数列, 首项为 , abn公比为 , 其中 , 且 , （1）求 的值；（2）若存在a*,bN123ba满足 , 试求 的值. mn1n解（1）由 可得23a, 2ba
3、b将不等式的每一部分同乘以 可得1b, 12aab显然由 可知 . 13a=2(2) 由 可得mnb, 13+()2nmb即, 1n因为 且 , 所以 , 又因为 , 所以 不符合*bN1*2nN3b或1ab1条件, 舍去. 因此 , 此时 . 31=2nm点评：不难看出这两小题经整除性分析就可以得到结果, 属于较典型的“整除性问题”. 例 3 数列 满足： , , , 如果在 2010 项之前恰na1*2axN21|nna好出现 666 个 0, 求 的值. x解 由观察可知 1, 1, 0 在这个数列中必成周期出现. 设 , 出现第一个 1, 1, *2xN0 之前的项为 项, 写出数列
4、的前几项： , 由观察可得： tna1,31x或当 为奇数时, 出现第一个 1, 1, 0 之前的两项必为 3, 2, 且出现 1 的个数为 , 于x 12x是 ；此时 可以被 3 整除；13()2txt当 为偶数时, 出现第一个 1, 1, 0 之前的两项必为 1, 2, 且出现 1 的个数为 , x x, 此时 可以被 3 整除. 1t +1t由出现 666 个 0 并以 1, 1, 0 为周期的项数为 666*3=1998 项. 下面分情况讨论：如果第 2010 项恰为 0, 则 =2010-1998=12, 由 12+1 不可以被 3 整除, 而 12 可以被 3t整除可得 , 于是
5、是奇数, 满足条件. 3()2x9x如果第 2010 项为 1, 2009 项为 0, 则 t=2009-1998=11, 由 11 不可以被 3 整除, 而 11+1可以被 3 整除可得 , 于是 是偶数, 满足条件. 12x8x如果第 2010 项为 1, 2009 项为 1, 则 =2008-1998=10, 由 10 不可以被 3 整除, 而 10+1t也不可以被 3 整除可知这种情况不可能出现. 综上可得满足条件的 的值为 8 或 9点评：本题关键在于找到 的属性, 通过适当讨论解决问题, 过程虽然有点复杂, 但x是体现了整除思想的重要应用. 2 利用式子的变形处理问题例 4 已知
6、是等差数列, 是公比为 的等比数列, , 记nanbq121,aba为数列 的前 项和, 若 是某一正整数 , 求证：（ 1） 是整数；（2）数nSb3(ia)q列 中每一项都是数列 中的项. n解 （1）设 的公差为 , 由 是公比为 的等比数列, 可nadnbq121,aba知 且 （ ）, . 0,dq1q10a231iaiq因为 , 所以3ib2i（II）且2120,qii（III）由（II）式和（III ）式解得 或 , 注意到 , 所以 , 因为 是正1q2ii整数, 所以 是整数, 即 是整数. 2i（2）我们用两种方法证明数列 中每一项都是数列 中的项. nbna方法一 设数列
7、 中任意一项为 . 由（1）的证明可知我们可nb1naN以设数列 中的任意一项为 = . nam1qm现在只要证明存在正整数 , 使得 , 即证明在 的方程nm111q中, 有正整数解. 显然 , 于是m0,nq即, 122nqm因此. 22nmq若 , 由（1）的证明知 , 于是 , 从而 , . ii111nba22nba当 时, 由于 , 我们只需考虑 的情况. 因为 , 所以312,ab33i, 由 可知 是正整数 , 因此 是正整数 , 于是数列 中的任意一项iqi 与数列 的第 项相等 , 从而结论成立. 1nbaNn22nq方法二 因为 , 所以i, 111()()3maami于
8、是 -1-1(2)3)nnnbaii 2213()nnniCCi= . 2121()Ci当 时, 取 = , 于是3i2121nnni= +13i *N即数列 中的第 项为数列 的第 = +1 项；nbnam23211()()nnnii当 , 则 , 那么 . 1iq211,bba综上 中每一项都是数列 中的项. nn例 5 已知数列 的通项为 , 若 可以写成 的nn*(,)bab形式, 则称 为 “美列”, 问数列 中是否存在“美列 ”, 若存在求出所有的“美列”, nana不存在说明理由. 分析：列举前几项易发现 , 但再列举就很难发现满足要求的“美列”了. 怎32+1=么办？我们再从数
9、的奇偶性方向考察一下, 发现 为奇数, 则推出1na*(,)bNb也为奇数, 则 必为奇数, 再考虑 , 对 分奇数与偶数讨论一下. a当 b 为偶数时, 由 和 可知 , 于是 , 从而bn21na=nba12bn, 因此 , 由 整除 可令21n或 2+1-=或 22+-或（IV）21bsa且, （V ）2-br=由（IV ）式减去（ V）式可以得到 , 于是2sr, 11r（VII）观察（VII）式 , 发现等式左边是偶数 , 所以 且 , 从而 , 则 且 . 2s23ba2b当 为奇数时, 由 和 可知 , 于是 , 因此bbna21nbna1bn. 1()2（VIII）于是 整除（
10、VIII ）式的左边 . 因为 中的每一项都是奇数, 且总项数2n 121baa或也是奇数, 所以 为奇数, 因此 整除 , 于是 , 矛盾于假b12ba n1b设 , 因此当 b 为奇数时不存在“美列”. 1综上只有 为“美列”. 3点评：上面的解题过程都用到了分类思想, 特别是对式子的变形, 如)1)(12qqqnn 在两题中都是重要变形步骤, 这正是解决此题的难点所在, 所以平时对于式子的变形要多加重视. 数的整除性应用是比较困难的一个考察点, 以前在数学竞赛中常常出现, 在一般考试当中较少出现, 属于比较“冷门”的知识点, 但近年来在一些高考试题和一些高校自主招生考试中有所体现, 所以有必要对此知识点进行,以期待对读者有所启发与启蒙 . 作者简介：王军成, 1974 年出生，性别：男，民族：汉族,籍贯：江苏淮安，专业职务：中学一级，学历：本科，工作单位：江苏省淮阴中学.联系地址：江苏省淮安市解放东路 99 号淮阴中学，邮编：223002， 手机：13951266176（手机） ， 0517-83787731（宅电） ，电子邮箱: .
