1、函数与导数 1 单调性.最值1设函数 ln2(0)fxxa。（1）当a= 1 时，求 f的单调区间。（2）若 f在 01， 上的最大值为 1，求a的值。解：对函数求导得： ()2xx，定义域为（0，2）当 a=1 时，令21+=0xf 得 （ ）当 (0,2)(0,xfx为增区间；当 (),(,f， 为减函数。当 1， 有最大值，则必不为减函数，且 12fxax0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。 max(1)2f。2. 已知函数 ln,f其中实数 1a。（I） 若 a= 2，求曲线 yfx在点 0,f处的切线方程；（II） 若 fx在 x=1 处取得极值，试讨论 x的单调性。3. 已知函
2、数 ()(1)ln5,afxxa其中 a0),由已知得 =alnx，12x= a， 解德 a= 2e,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e 2,e） 切线的斜率为 k=f(e2)= 12e,切线的方程为 y-e=1e(x- ). （2）由条件知 当 a.0 时，令 h (x)=0,解得 x= 24a,所以当 0 2时， h (x)0， h(x)在（0， 2）上递增。所以 x 是 h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的 最小值点。所以 （a）=h( 24)= 2a-aln 24a=2a(1-ln2a)当 a 0 时， h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x
3、)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 则 1（ a ）=-2ln2a，令 1（ a ）=0 解得 a =1/2当 00，所以 （ a ） 在(0,1/2) 上递增当 a1/2 时， 1（ a ）0，所以 （ a ） 在 (1/2, +)上递减。所以 （ a ）在(0, +)处取得极大值 （ 1/2 ）=1因为 （ a ）在(0, +)上有且只有一个极致点，所以 （ 1/2）=1 也是 （ a）的最大值所当 a 属于 (0, +)时，总有 （ a） 15. 已知函数 ， (,bRab)
4、。2()(fxx（I）当 a=1，b=2 时，求曲线 )yf在点（2， ()fx）处的切线方程。（II）设 12,x是 ()f的两个极值点， 3x是 ()f的一个零点，且 31x， 32x证明：存在实数 4，使得 124,x 按某种顺序排列后的等差数列，并求 4（2010 浙江理数）已知 a是给定的实常数，设函数 22()(fxaxbe， R，xa是 ()f的一个极大值点() 求 b的取值范围；()设 123,x是 ()f的 3 个极值点，问是否存在实数 b，可找到 4xR，使得1234,x的某种排列 1234,iix(其中 1234,i= ,)依次成等差数列?若存在，求所有的 b及相应的 4
5、；若不存在，说明理由（）解：f(x)=e x(x-a) 2(),abxa令2 2()(3),=-a+b4(1)80,gx则于是，假设 12,()0.gxx是 的 两 个 实 根 ， 且（1） 当 x1=a 或 x2=a 时，则 x=a 不是 f(x)的极值点，此时不合题意。（2） 当 x1 a 且 x2 a 时，由于 x=a 是 f(x)的极大值点，故 x1ax2.即 ()0g 即 (3)20ba所以 b-a 所以 b 的取值范围是（-，-a）此时 423xab2(1)826aa或（2）当 21x时，则 21()xx或 12()()xa于是 1ab932此时 42(3)()1342axabba
6、综上所述，存在 b 满足题意，当 b=-a-3 时， 46x7132ba时， 4132xa , 7132ba时， 4132xa6. 已知函数 ()lnf .（1）讨论函数 x的单调性；（2）设 a，证明：对任意 12,(0,)x， 1212|()|4|fxfx.（3）设 1.如果对任意 ， | ，求 a的取值范围。解：() f(x)的定义域为(0,+ )，211(aaxfx.当 a0 时， f0，故 f(x)在(0,+ )单调增加；当 a1 时， ()0, 故 f(x)在(0,+ )单调减少；当1a0 时，令 f0,解得 x= 12a.当 x(0, 12a)时, (fx0；x( 2，+ )时，
7、 ()f0, 故 f(x)在（0, ）单调增加，在（ 1a，+ ）单调减少.()不妨假设 x1x 2.由于 a2,故 f(x)在（0，+ ）单调减少.所以 12)(4ff等价于 12)(fx4x 14x 2,即 f(x2)+ 4x2f(x 1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则)ag+42a.于是 ()x241x2()x0.从而 g(x)在（0，+ ）单调减少，故 g(x1) g(x 2)，即 f(x 1)+ 4x1f(x 2)+ 4x2，故对任意 x1,x2(0,+ ) ， 1212()4ffxx. ）不妨假设 ，而 a-1，由（）知在（0，+ ）单调减少，从而12,(,)x，
8、1212()4fxfx等价于 12,(0,)x， 21(4()4fxfx 令 )gf，则 )2ag等价于 (x在（0，+）单调减少，即 0ax.从而22241)4(1)1xa故 a 的取值范围为（-，-2. 7. 已知函数 ()ln()afxRx（I）当 1时，求曲线 yf在点 2,(f处的切线方程；（II）当 2a时，讨论 ()的单调性.8. 已知函数 f( x)=In(1+ )- x+，( k0)。2()当 k=2 时，求曲线 y= f( )在点(1 ， f(1)处的切线方程；()求 f( x)的单调区间。解：（I）当 2k时， 2()ln1)fxx， 1()2fx由于 1)lf， 3，所
9、以曲线 (yfx在点 ,()f处的切线方程为 3ln(1)2yx即 32ln30（II） (1)kfx， (,)x.当 0时， f.所以，在区间 (1,)上， ()0fx；在区间 (,)上， ()0fx.故 ()fx得单调递增区间是 ,，单调递减区间是 .当 0k时，由 (1)kfx，得 1x， 2k所以，在区间 (1,0和 ,上， (0f；在区间 (,)上，()fx故 ()f得单调递增区间是 (,)和 1(,)k，单调递减区间是 1(0,)k.当 1k时，2()1xf故 ()fx得单调递增区间是 (,).当 1k时， 01kx，得 1(,0)kx， 2x.所以没在区间 (,)和 (,)上， ()f；在区间 1k上，()0fx故 得单调递增区间是 1(,)k和 (0,)，单调递减区间是 (,0)k
