1、1导数与函数的单调性、极值、最值、应用班级 姓名_复习： ； ； ； ；C_()nx_(sin)x(cos)x； ； ； (ln)xloga e_a_知识点一：导数与函数的单调性一般地，设函数 在某个区间内有导数，若在该区间内 ，则函数 在该区()yfx 0y()yfx间内是增函数；若在该区间内 ，则函数 在该区间内是减函数0()yfx例 1判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1） ； （2） ；3()fx2()3fx（3） ； （4） sin,(0,)x241x要点：用导数求函数单调区间的三个步骤：求函数 的定义域与导数 ；()fx()fx令 ，解不等式得 的范围即为增区间；0令 ，解
2、不等式得 的范围即为减区间()f问题 1：若在某个区间内恒有 ，则函数 有什么特性？()0fx()fx例 2已知导函数有下列信息：当 时， ；14x()0fx当 ，或 时， ；1当 ，或 时， ；()f试画出函数 图像的大致形状()fx2例 3如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像ht练习 1判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1） ； （2） ；2()4fx()xfe（3） ； （4） ；3 32（5） ()cos, (0, )2fxx练习 2求证：函数 在 内是减函数32()67fx(0,
3、 )知识拓展一一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下） ；反之，函数的图像就“平缓”一些如图，函数 在()yfx(0,)b3或 内的图像“陡峭” ，在 或 内的图像“平缓” (,0)a(,)b(,)a知识点二：导数与函数的极值问题 2：如图，函数 在 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()yfx,abcdefgh在这些点的导数值是多少？在这些点附近， 的导数的符号有什么规律？()yfx ()yfx观察：函数 在点 的函数值 比它在点 附近其它点的函数值都 ，()yfxa()faxa_；且在点 附近的左
4、侧 0，右侧 0；()fa_xf_()fx类似地，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其它点的函数值都 ，()fb()bb；而且在点 附近的左侧 0，右侧 0()fb_x()fx_()fx_定义：我们把点 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值；点 叫做函a()yf ayb数的极大值点， 叫做函数 的极大值极大值点、极小值点统称为极值()yfx()fb()yfx点，极大值、极小值统称为极值极值反映函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的_注意：函数的极值 （填：是，不是）唯一的；_一个函数的极大值是否一定大于极小值 ；_极值点一定出现在区间的 （内，外）部，区间的端点 （能，不能）成为极值_点
5、极值点与导数为 0 的点的关系：导数为 0 的点是否一定是极值点？ _比如：函数 在 处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点3()fx=_即：导数为 0 是点为极值点的 条件例 4求函数 的极值314yx4要点：求可导函数 的极值的步骤：()fx确定函数的定义域；求导数 ；求方程 的根；()fx()0fx=用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格；检查 在方程根左右的值的符号，若左正右负，则 在这个根处取得极大值；()fx ()f若左负右正，则 取得极小值；若左右不改变符号，则 在这个根处无极值()fx ()fx例 5已知函数 ；32()91fx（1）写出函数
6、的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图像练习 3求下列函数的极值： ； ；2()6fx3()27fxx ； 3()612fxx3()fx5知识拓展二函数在某点处不可导，但有可能是该函数的极值点；由些可见：“有极值但不一定可导” 知识点三：导数与函数的最值一般地，在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值,ab()fx,ab观察：上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 _注意：1最值是比较整个定义域内的函数值得出的；极值是比较极值点附近函数值得出的2函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的 条件()fx,ab()
7、fx,ab_3 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而极值可能不止一个，可能一个没有例 6求函数 在 上的最大值与最小值31()4fxx0, 3例 7已知 ， ，是否存在实数 、 ，使 同时满足下列两23()logxabf(0,)x+ab()fx个条件： 在 上是减函数，在 上是增函数； 的最小值是 1；()fx0, 11, )()fx6若存在，求出 、 ，若不存在，说明理由ab例 8设 ，函数 在区间 上的最大值为 1，最小值为 ，213a32()fxaxb1, 62求函数的解析式要点：设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最值的步骤如下：()fx,ab(,)ab()fx
8、,ab求 在 内的极值；将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值()f()ff()f,练习 4设 为常数，求函数 的最大值a3() (01)fxax练习 5已知函数 ，32()9fxxa（1）求 的单调区间；（2）若 在区间 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值()f, 7知识拓展三利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因此我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通令 得到方程的根 ， ， ，直接求得函数值，然后去与端()0fx1x2L点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程故导数法与函数的单调性结合，也可以求最值知识点四：生活中优化问题举例例 9在边长为 60
9、 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为 的小正方形，再把它的边沿虚线折起x（如图） ，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ x xxx6060例 10班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 ，上、下两边各空 ，左、右两边各空 ；如何设计海报的218 dm2 dm1 dm尺寸，才能使四周空白面积最小？8练习 6如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ，为使所用材料最a2m省，底宽应为多少？要点：解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，
10、并确定函数的定义域；所得结果要符合问题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单练习 7某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子20.8rr的半径，单位是厘米已知每出售 1 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的mL瓶子的最大半径为 6 问：c瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？9练习 8已知某商品生产成本 与产量 的函数关系式为 ，价格 与产量 的函数关Cq104Cqpq系式为： ；求产量 为何值时，利润 最大？1258p=- L
