1、“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例刘宗良一、教学过程1复习。反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。求出函数 yx 3的反函数。2新课。先让学生用几何画板画出 yx 3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象（图 1）：图 1教师在画出上述图象的学生中选定生 1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。生 2：这是 yx 3的反函数 y 的图象。师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。（学生展开讨论，但找不出原因。）师：我们请生 1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。（生 1将他
2、的制作过程重新重复了一次。）生 3：问题出在他选择的次序不对。师：哪个次序？生 3：作点前，选择 xA和 xA3为的坐标时，他先选择 xA3，后选择 xA，作出来的点的坐标为（ xA3， xA），而不是（ xA， xA3）。师：是这样吗？我们请生 1再做一次。（这次生 1在做的过程中，按 xA、 xA3的次序选择，果然得到函数 y x3的图象。）师：看来问题确实是出在这个地方，那么请同学再想想，为什么他采用了错误的次序后，恰好得到了 y x3的反函数 y 的图象呢？（学生再次陷入思考，一会儿有学生举手。）师：我们请生 4来告诉大家。生 4：因为他这样做，正好是将 y x3上的点（ x， y）的
3、横坐标 x 与纵坐标 y 交换，而 yx 3的反函数也正好是将 x 与 y 交换。师：完全正确。下面我们进一步研究 y x3的图象及其反函数 y 的图象的关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系？（多数学生回答可由 y x3的图象得到 y 的图象，于是教师进一步追问。）师：怎么由 y x3的图象得到 y 的图象？生 5：将 y x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到 y的图象。师：将横坐标与纵坐标互换？怎么换？（学生一时未能明白教师的意思，场面一下子冷了下来，教师不得不将问题进一步明确。）师：我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系，有的话，是什么样的对称关系？（学生重新
4、开始观察这两个函数的图象，一会儿有学生举手。）生 6：我发现这两个图象应是关于某条直线对称。师：能说说是关于哪条直线对称吗？生 6：我还没找出来。（接下来，教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴，画出如下图形，如图 2 所示：图 2学生通过移动点 A（点 B、 C 随之移动）后发现， BC 的中点 M 在同一条直线上，这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪 M 点后，发现中点的轨迹是直线 y x。生 7： y x3的图象及其反函数 y 的图象关于直线 y x 对称。师：这个结论有一般性吗？其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗？请同学们用其他函数来试一试。（学生纷纷画出其他函数与
5、其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：函数及其反函数的图象关于直线 y x 对称。）还是有部分学生举手，因为他们画出了如下图象（图 3）：图 3教师巡视全班时已经发现这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了问题所在：图中函数 y x2（ xR）没有反函数，也不是函数的图象。最后教师与学生一起总结：点（ x， y）与点（ y， x）关于直线 y x 对称；函数及其反函数的图象关于直线 y x 对称。二、反思与点评1在开学初，我就教学几何画板 4.0 的用法，在教函数图象画法的过程中，发现学生根据选定坐标作点时，不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序，本课设计起源于此。虽然几何画板
6、 4.04 中，能直接根据函数解析式画出图象，但这样反而不能揭示图象对称的本质，所以本节课教学中，我有意选择了几何画板 4.0 进行教学。2荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习过程中，可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程，但常常由于图形或想象的错误，使人们的思维误入歧途，因此我们既要借助直观，但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念，要注意过于直观的例子常常会影响学生正确理解比较抽象的概念。计算机作为一种现代信息技术工具，在直观化方面有很强的表现能力，如在函数的图象、图形变换等方面，利用计算机都可得到其他直观工具不可能有的效果；如果只是为了直观而使用计算机，但不能达到更好地理解抽象概
7、念，促进学生思维的目的的话，这样的教学中，计算机最多只是一种普通的直观工具而已。在本节课的教学中，计算机更多的是作为学生探索发现的工具，学生不但发现了函数与其反函数图象间的对称关系，而且在更深层次上理解了反函数的概念，对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。当前计算机用于中学数学的主要形式还是以辅助为主，更多的是把计算机作为一种直观工具，有时甚至只是作为电子黑板使用，今后的发展方向应是：将计算机作为学生的认知工具，让学生通过计算机发现探索，甚至利用计算机来做数学，在此过程中更好地理解数学概念，促进数学思维，发展数学创新能力。3在引出两个函数图象对称关系的时候，问题设计不甚妥当，本来是想要学生回答两个函数图象对称的关系，但学生误以为是问如何由 y x3的图象得到 y 的图象，以致将学生引入歧途。这样的问题在今后的教学中是必须力求避免的。（作者单位：浙江省衢州市第二中学）
