1、第十章 随机过程II：鞅 1第十章 随机过程II：鞅基础微积分线性代数 概率论和数理统计 随机微积分 鞅偏微分方程 数值方法101概述1011离散时间1012连续时间1013鞅的例子1014鞅的子类102停时和鞅型序列1021停时定义1022最优停止定理1023鞅型序列103多布-迈耶分解1031多布分解定理1032多布-迈耶定理1033二次变差过程104再论随机积分1041鞅变换和随机积分1042简单过程随机积分1043再论伊藤积分105测度变换1051直观理解1052拉登-尼科迪姆导数1053哥萨诺夫定理1054鞅表示定理本章的学习目标为： 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式 明确鞅的
2、定义和连续时间情形下的一些技术性条件 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅的定义和轨道特征 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅 了解停时概念和最优停止定理 了解由停止一个鞅产生的其它鞅型随机过程 了解二次变差和协变差过程，多布-迈耶分解 复习伊藤积分的定义和主要性质 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理并熟练应用该定理进行测度变换 掌握鞅表示定理并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型中的作用鞅这个术语早在20世纪30年代首先由Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国概率学家列维(Levy，1934）。但是真正把鞅理论发扬光大的则是美
3、国数学家多布(Doob)，他于1953年的名著随机过程一书中介绍了（包括上鞅分解问题在内的）他对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。鞅在20世纪70年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程，最早出现在Pliska&Kreps相对于上一章随机微积分而言，由于较多地借助测度论，鞅显得更加抽象，但是令人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析（例如期权定价）变得更加简洁和优雅；第十章 随机过程II：鞅 2并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作
4、又是至关重要的。在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学期望等概念来严格地给出鞅的定义。然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念。介绍一些常见的鞅的例子。在讨论了鞅的两个重要子类之后，接下来我们考察多布-迈耶分解(Doob-Meyer decomposition)，停时(stopping time)接下来讨论对于现代金融分析至关重要的等鞅测度变换(equivalent martingaletransformation)和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理(Cameron-Martin-Girsanov theorem)。只有熟练掌握并且能够灵活运用这一方法，才能真
5、正领略到现代金融理论的精髓。101概述“鞅”一词来源于法文martingale的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。但这都没有说明它在金融学中的确切含义。鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fair game）的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢？假设一个人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备参加第n +1次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用nX表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有11)|(=nnnXXXE成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原有财富水平
6、不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的1。在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把X设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而nEX就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在20世纪80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。1011离散时间简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅；而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称之为上鞅(
7、supermartingale)。实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。我们循序渐进地分成4个步骤来正式定义鞅：1)首先，描述概率空间。存在一概率空间, PF，要求-代数F是P-完备的，即对于任何FA且0)( =AP，对一切AN 都有FN成立2。接下来，2)描述滤波(filtration)。设想我们在一些时点上观察一种股票的价格+ZnnS )(3随时间的波动情况。令+Znn)(F代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间的推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。当onm ZnSSEnnn
8、n,)|(1F，则称随机过程+ZnnS )(为下鞅；2“)+=),(),(lim b)存在左极限：tssXtXtst，都有：Ituut= FF成立，其中ItuuF表示对于tu 时的所有uF中最大的-域，这个条件说明滤波包含了-域的所有不可数集合。接下来我们深入考察随机过程的联合可测性（joint measurability）问题。假定,0 T是R中的某个区间，),0( TB是,0 T中全体Borel集构成的-代数；用),0( TBF 表示乘积-代数12。给定任意随机过程,0)(TttS，R ,0: TS，如果：1）,0)(TttS在乘积-域),0( TBF 上是可测的，就称它为可测的。2）,0
9、)(TttS是tF可测的就称,0)(TttS为),0=ttFF适应的。3）,0)(TttS对于任何,0 Tt ，是在乘积-域),0( ttBF 上是可测的，就称之为循序可测的(progressively measurable)13。容易知道任何循序可测随机过程均是可测过程，并适应于F。一个可测、适应过程有一个循序可测的修正14。我们定义使得所有适应于F的随机过程路径为循序可测的最小-域为循序-域PM (progressive-field)。实际上每个有着左（右）连续样本路径的适应过程都是循序可测的，由此我们还可以有以下子-域和相应的随机过程。4）可选-域Op (optional -field)
10、使得所有适应于F的右连续路径为可测的最小-域，如果一个过程是Op可测的就被称为可选过程。5）可料-域Pr (predictable-field)是使得所有适应于F的左连续路径为可测的最小-域，如果一个过程是Pr可测的就被称为可料过程。实际上就是指在t时刻的值是严格依赖于t时刻以前的信息的。*因为：连续适应过程 RCLL过程循序可测过程可测过程因此可料过程和可选过程必然是循序可测过程，所以上面的-域之间有以下嵌套关系：,0 TBFPMOpPr *nielsen17 543定义1013 假定),0)(ttS是滤波空间 F, PF上的一个适应过程，如果：1) ),0,)( 。则称tS为连续时间鞅或者
11、简称鞅。可以证明如果滤波满足常规条件，每一个上(下)鞅都存在一个tF适应的右连左极的修12一个,0 T可测的长方形是一个BA集合，FA，),0( TB B。乘积-域),0( TBF 是包含所有可测长方形和概率测度P勒贝格测度 -0集的最小-域。13这个重要术语最早来自Chung&Doob(1965)。14证明见Meyer（1966），p68。第十章 随机过程II：鞅 9正15。因此当我们谈到连续时间鞅的时候，指的均是它们的RCLL版本16。1013鞅的例子离散鞅的例子是很普遍的，以下是微观金融分析中经常会见到的两个例子。仍然启用我们在上一章中用来模拟股票价格路径的二项树模型。现在假定n时刻的股
12、票价格为nS，而在1+n时刻，股票价格将以：)/()1( dudp =的概率上涨到nuS；或者以p1的概率下降到ndS，即：1015 =+duudSduduSSnnn111概率为概率为，ud ,)(显然这是一个下鞅。类似的，股票通常会有一个正的预期收益，也就是说：NnSSEnnNpLp-有界的，则它必定是一致可积的。我们加上一致可第十章 随机过程II：鞅 13积性的要求目的是控制鞅的尾部行为（tail behavior），它将保证上述的两个收敛结果成立。实际上如果M是一个一致可积鞅，则19：1）在1L中 MMn。2）存在1LM 使得nnMME =)|( F。这时我们也称M被M封闭了（close
13、d）。kopp105现在我们前往最终目标平方可积鞅。如果一个鞅具有有限的二阶矩，即 pXEppXEpppt102停时和鞅型序列在本节中我们要引入停时(stopping time)概念22，这个概念在随机过程理论研究中非常重要，它提供了“驯服时间这一连续统”（tame the continuum of time）的有效工具（Chung，1982），而且停时的引入将把鞅的性质拓展到其它鞅型序列上去23。1021停时定义那么什么是停时呢？记住t是时间，tF代表积累到t时刻的信息。停时可以理解为某一随机事件第一次发生的时刻。不妨假想我们对某些特定现象的发生感兴趣：例如某个“黑色星期五”的出现，我们对这
14、些特定现象第一次出现的时刻)(T给予特别的注视。很明显事件)(, t T的发生，当且仅当这一现象出现在t时刻上或者t时刻之前。应当是积累到那个时刻的信息集的一部分。例如一个赌徒决定在他赌赢100次后就收手，那么他停止赌博的时刻就是一个随机变量n=T，就是说当他赌到n次时，他才赢足100次，nF是他赌到第n次的所能掌握的全部信息。故T是否等于n是依赖他赌到第n次才能知道的。从这里体会它似乎有点“你到那就知道了”那种无奈的意味。正式的，停时是一个定义在滤波空间 F, PF上的随机变量),0: T对于任何+Rt，它满足24：（数学手册543总合）1021 ttt FTT = )(, 19这被称为鞅收
15、敛定理kopp83-85（martingale convergence）证明参考Williams。Rogers&Williams。20引入平方可积的目的是为了实现随机积分，2L是一赋泛（完备）线性空间。Hunt39因为在构造随机积分的时候，我们要考察一系列鞅的极限，我们要求这个极限也是一个鞅，因此我们需要有一个完备的鞅空间。21或者称Doobs pL不等式，证明见#22有时也称马(尔科夫)时(Markvo time)。23停时可能是整个随机过程分析中最具有技术特征的部分之一，在直观意义上停时提供了一个试图最大化赌博收益的赌博策略，因为鞅代表公平赌博，这样一种策略不会涉及到预见性。24如果该严格
16、不等式成立，则称之为可选时(optional time)。如果滤波是右连续的，则可选时和停时是相同第十章 随机过程II：鞅 14显然任意非负的常值随机变量t=T是一个停时，而且)0(, + ssT也是停时。容易知道：1）如果21,TT是停时，则21TT +，21TT ，21TT 也都是停时25；2）如果1)(nnT是一个停时序列，则nnnnTT sup=、nnnnTT inf=、nnTsuplim、nnTinflim也都是停时。我们同时定义Hunt42ttAtA FTFFT= ,注意此时集合TF被称为停时前的-代数。补一个Elliott101黄22如果21,TT是停时，而且21TT ，则有：1
17、）21TTFF 。2）如果1TFA，则221 TFTT A。1022最优停止定理我们可以把停时看成是对普通时间变量t的随机化，那么停时在随机序列中的出现会对随机序列的运动特征产生什么样的影响呢？不妨更直接的说出我们的想法：现在既有停时概念又有鞅的概念，把它们放在一起会怎么样呢？直观上理解：一个鞅在停止时刻基于现在时刻的均值就应当是它的当前值。假设tW代表一个赌徒在t时刻的财富，他连续的参加“公平”的赌博，现在的问题是：他能不能通过精心的选择停止赌博的次数来最大化他的个人财富呢？答案是否定的。这就是著名的多布有界停时定理(Doobs bounded stopping time theorem)2
18、6。定理1021 如果+ZnnM )(是在随机基, FPF上的一个nF -适应的离散鞅；+=+)12()|(1但是我们可以定义一个中心化过程(centered process)nM：)1)(21()21()21(10+=+=npSpSpSMnninn注意上式最后一个等号右侧的第二项是一个随着时间推移而同时增加（或者减少）的确定性时间的函数：如果2/1p，则它是递减的；如果2/1p时)分解成为了两个部分：1031 )1)(21( += npMSnn上式右侧第一项，也就是第一个部分，是一个P测度下的鞅，第二项也就是第二部分是一个递增的确定性函数。这个结论可以一般化，我们先给一个定义：如果对于任何+
19、Zn，一个nF -适应的随机序列+ZnnA )(，都有：01=nnnAAA成立，就称它为是递增随机序列。定理1031 (多布分解) 令+ZnnX )(为一个nF -适应的下鞅，则它可以唯一的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：1032 += ZnAMXnnn,一个简单的证明可以参考Melnikov10令*=+=10110)|(nkkkknXEXMM F，00XM =+=101)|(nkkkknXXEA F，00=A显然M和A有分解要求中的特性。至于唯一性，不妨假定存在另外的分解M和A，则11111+=nnnnnnMMAAAA因为A和A是可料的，而M和M是鞅，1111)|()|(+=nnnnnn
20、AAEAEA FF因此对于任何+Zn，有nnAA =和nnMM =多布分解(Doob decomposition)定理(又称为下鞅分解定理)就显示了下鞅、鞅和可料增量过程相互之间的关系。它是后面我们将接触的连续时间的多布-迈耶分解(Doob-Meyer第十章 随机过程II：鞅 17decomposition)定理的离散形式。1032多布-迈耶定理本节中我们讨论多布分解的连续形式和它的应用。多布-迈耶分解定理把多布分解定理一般化了，它表明在一些很一般的前提下，任意一个连续时间随机过程都可以分解成为一个鞅和一个可以预料的趋势。定理1032 (多布-迈耶分解) 如果),0)(ttS是一个tF -适应
21、的右连续的下鞅，tSEt|)(FP这就是说trtSe是一个下鞅。但是根据多布-迈耶分解定理我们可以从trtSe中减去一个可以预测的趋势，即抵消股票价格运动中向上的单边趋势，而使得剩下的部分获得鞅性，即：ttrttASeM =其中tM是tF下的鞅，tA则是一个tF可测的递增的随机变量。如果可以显式地得到tA，我们就减去这个量来得到具有鞅性的股票价格，进而股票期权的公平市场价格了。这里的tA实际上相当于一个风险溢价，这个风险溢价是由投资者的主观偏好决定的，因而是很难首先决定的。所以尽管这种方法很直观，在实际中却很少用到。1033二次变差过程根据1011节中的简单推论3），我们知道如果+ZnnM )
22、(是鞅，则+ZnnM )(2是一个下鞅。而根据上面的下鞅分解定理，就有：1036 nnnnnMmAmM +s，令nA F，让0,11=+ nAs，则对sn ，我们有：1044 )(1)(01 ssAnMMEME =+因为这对于所有sA F，这就是说0)|(1=+ ssME F，因此M确实是一个鞅。*如果把设想为资产组合（过程），而把M设想为资产价格，则鞅变换nM )( 就代表了金融投资的收获过程(gain process)。29类似的，如果+ZnnM )(是一个上鞅，则+ZnnM )(也是一个上鞅。30一个简单的证明可以参见Elliott&Kopp(1999)，p32。第十章 随机过程II：鞅
23、 21例子1041 假定+ZnnS )(为一个+Znn)(F -适应的随机过程，它是某种股票的收盘价格。如果在n日，投资者拥有+Znn)(股该种股票，则这一天的总收获就是)(1nnnSS。如果该投资者在0时刻以0W初始财富起家，到n日他积累的财富就是：1045 nnnnnnSWSWW )(010+=+=这里的nS)( 就是收获过程31。显然+Znn)(是可料的，如果股票价格过程是鞅，则期末财富nW也是一个鞅。这是因为：1046 0)|(|11111=+nnnnnnnnnnnnnnnnSSESESEWWEWWEFFFFF1042简单过程随机积分实际上把鞅变换（收益过程）推广到连续时间环境下就有随
24、机积分：tssdW0为了便于讨论，我们把时间区间,0 T做一个等分32：Tttttnn=。既然lii,.,1, =和srr： 0)(|)()()()()(|)()()()()()()()(11111111=iiiijjjijjiijijjiijitttEttEEtttttEEttttEFWWWWFWWWWWWWW对于ji ,)|( FP)(PtE是概率分布P下的条件期望算子，显然),0)(TttS是一个下鞅。我们希望可以找到另一个与P“等价”的概率分布Q，使得TtSSEttTt= ,)|( FQ这样我们就可以改变一个随机过程的均值，它使得有着正的风险溢价的资产看上去是无风险的，从而把),0)(
25、TttS变成为一个鞅。能够实现这种转换的概率分布Q被称为等鞅测度(equivalent martingale measure)。如何实现这种变换在金融理论和实际工作中非常重要，在微观金融学中有一系列重要的定理说明在无套利市场条件下（见第3章和第11章），所有资产的贴现价格都是Q测度下的鞅。利用这样一个原理，原则上我们可以为具有任何未来或有收益形态的资产制定合理的市场价格，而这只需要求出Q下资产的期望收益然后用无风险利率贴回到现在时刻就可以了，这便不奇怪，为什么说鞅是现代金融理论的核心工具了。尽管这种测度变换的功能非常强大，但是实现起来也比较复杂。我们将先对一般随机变量而不是随机过程进行测度变换
26、来提供直观理解。在第8章中我们已经知道概率是一种测度，那么什么是所谓的测度变换呢？下面的例子可以提供一些直觉。考虑一个服从正态分布的随机变量，当提到正态分布时，我们脑海中总是会出现一个钟型的密度曲线。我们知道对于正态分布而言，只有头两阶矩是有用的：一阶矩数学期望表示集中度，二阶矩方差则反映离中趋势。这两个数值特征就足以刻画正态分布（概率测度）的所有信息，我们38这里的材料主要来自Neftci(1996,2000)、Nielsen(2000)、Hunt&Kennedy(2000)以及Rebonato(1996)。特别是其中的许多直观理解均来自Neftci(1996,2000)和Nielsen(2
27、000)。39这里的材料主要来自Dothan(1990)、Hunt&Kennedy(2000)、Baxter&Rennie(1996)以及MR(1998)。第十章 随机过程II：鞅 27可以令这两个数值特征产生变化进而使这样一个正态分布（概率测度）产生两种形式的变换：1)保持分布形状不变，把它的分布中心移动到另一个位置（location）。这只要改变该分布的数学期望就可以了，如下图所示。图10-3 改变正态分布的中心位置2)改变分布的形状（shape），这可以通过改变方差来实现。钟形曲线会因此变得瘦一些或者胖一些，但是集中指标保持不变，如下图所示。图10-4 改变正态分布的形状我们对第一种形式
28、的变换，即保持方差不变而改变均值比较感兴趣。这是因为在可以获得的金融资产价格信息中，最重要的就是期望收益和波动率，而这种变换可以在保留原来分布的“波动”特征的同时，而又对期望收益进行调整。如本节一开始时所提到的：如果可以把风险资产的期望收益（带有风险溢价）调整为无风险收益率，那么这种变换所具有的性质是非常具有吸引力的。这样我们手头的问题简化为：如何变换一个随机变量的数学期望而又保持它的其它分布特征不变。有两种方法可以实现我们的目标。第一种方法的思路很直观，它经常出现在统计和计量工作中。它是通过直接变换随机变量本身的取值来实现的，具体的做法就是在每一个随机变量可能取到的值X上加任一常数，这样就得
29、到一个新的随机变量X，它等于：)(常数+= XX而根据数学期望性质，就有：+= )()( XEXE例子1051 假定在掷骰子的试验中，随机变量X定义为40：=3/1 ,65 13/1 ,43 33/1 ,21 01pppX点时、当出现点时、当出现点时、当出现在当前概率分布P下，X的数学期望为：2)1(31)3(31)10(31)( =+=XE第十章 随机过程II：鞅 28不妨假定等于1，则新变量为)1( X，因为概率分布P没有变化，所以还是在P下计算新的随机变量X的数学期望，它等于：1)12()11(31)13(31)110(31)( =+=XE而由于：)()( XVarXVar =+所以它的
30、方差不会变化，这些事实实际上都是数学期望性质的体现。第二种方法第一眼看上去是反直觉的。它保持随机变量本身不变，通过变换概率分布（测度）P，来获得新的数学期望，而同时又保持随机变量的其它分布特征（例如方差）不变。这种方法可以说是20世纪80年代以来现代微观金融分析中的核心技术，它试图把随机过程变换为容易处理和在计算上容易实现的形式，这在为衍生产品定价中是至关重要的，我们需要对这个方法进行透彻地考察。先用一个例子来提供直观理解。例子1052 仍然假定在掷骰子的试验中，把随机变量X定义为41：=3/1,65 13/1,43 33/1,21 10pppX点时、当出现点时、当出现点时、出现当在上例中我们
31、已经知道它的数学期望为2，方差则是：398)21(31)23(31)210(31)(22222=+= XEXE现在我们要做的是：保持方差不变，把均值变成1。考虑下面这种从P到Q的概率测度变换：335)65(31)65(3922)43(31)43(429122)21(31)21 (=点、出现点、出现点、出现点、出现点、出现点、出现qpqpqp注意到0q，而且：13353922429122=+=q因此Q的确是一种概率测度。现在我们在新的概率测度Q下，计算X的均值和方差：1)1(335)3(392210429122)( =+=XEQ398)11(335)13(3922)110(429122)(222
32、22=+= XEXEQ可以看到，我们的要求确实达到了。需要注意的是这种新的概率测度Q看上去与随机试验的真实概率分布P毫无关系，但是它们之间确实存在某种联系，这种联系是下一节的主要内容。现在让我们进一步看一下更为复杂的连续正态分布情形。例子1053 假定随机变量X服从标准正态分布：)1,0( NX用)(xd表示X的密度函数，那么隐含的概率测度（实际上也是它的分布函数)(xdD）40本例来自Neftci（2000），p317。41本例来自Neftci（2000），p321。第十章 随机过程II：鞅 29可以用它的微分形式表示为：dxedxxxdxdPx22121)()()(=dD不妨“制造”一个X
33、的函数)(x：221)(=xex其中是任意常数，用)(x乘以)(xdP，可以得到一个新的概率测度Q：dxedxexdPxxdQxxx222)(2121212121)()()(+=观察上式我们知道)(xdQ是均值为，方差为1的概率分布(函数)，因此Q确实是一个新的概率测度。这样我们就成功的进行了测度变换，新的概率分布的形状仍然是一个钟形曲线。但是)(xQ和)(xP是完全不同的测度，它们有着不同的均值，而且对于X轴上的同一区间指定不同大小的概率。需要指出的是，完全可以对上述测度变换进行方向相反的操作，即把测度Q乘以)(x的反函数变成测度P，即：dPdQ =1以上我们处理的一个普通随机变量而不是一个
34、随机过程，不过我们知道对于一个随机过程来说，如果固定时间点，一个随机过程就退化成为了一个普通随机变量。不妨想象我们上面处理正是这种简化的情形。接下来我们要考察测度变换是怎样推广到随机向量上去的，讨论的重点在两维情形，不过向更高的有限维的推广在原则上是类似的。例子1054 假定二维随机变量),(21XX服从联合正态分布，它们的联合密度函数为：|2)()(21exp),(22111221121VV=xxxxxxd这里的V代表协方差矩阵：=22121221V| V代表V的行列式：2122221| =V相应的二维联合概率分布函数定义为：21212121),(),(),( dxdxxxxxdxxdP d
35、D =现在我们要变换这个分布的均值，把它们从),(21变换成)0,0(，但是又不能影响它们的方差。同上例中的分析类似，定义一个随机向量函数),(21xx为：+=21121211212121exp),( VVxxxx用它乘以),(21xxdP，就得到了新的测度Q：第十章 随机过程II：鞅 302121121212121|221exp),(),(),( dxdxxxxxxxdPxxxxdQVV=根据在概率基础一章中学习的内容，我们知道这是一个有着0均值和V方差的二维联合正态分布，测度变换的目标实现了。不妨小结一下改变随机变量分布特征的两种方法，记住我们的目标是要改变随机变量的数学期望，而保留它的方
36、差特征：1)改变随机变量本身。假定随机变量X服从正态分布：)1,( NX。通过直接在X上减去一个量，可以定义一个新的随机变量：)1,0(1 N=XX它服从标准正态分布。2)测度变换。假定随机变量X服从P测度下的正态分布：)1,( NPX。通过在dP上乘上，得到一个新的测度dQ，在此测度下，随机变量X服从标准正态分布：)1,0( NQX这种变换被称为等测度变换，是因为变换前后的两个测度有着相同的0概率集合。因此尽管它们是不同的，一个总可以覆盖另一个的测度，这样我们完全可以在计算中采用那个比较容易计算的概率分布，如果需要也可以把它转换回原来那个分布。例如如果要计算某种数学期望时，我们可以选择比较容
37、易计算的等价概率分布，尽管这种概率分布与实际发生的真实情况无关，但是我们需要的仅仅是计算能力，即用最简便的方法计算某个数量。但是这种简便做法总归要在经济上得到合理的解释，这种解释出现在第3章和第11章的资产定价基本定理中。1052拉登-尼科迪姆导数在上面的分析中，我们发现(.)在进行测度变换时，起到了关键的作用，它是连接两个测度P和Q的纽带，但立即就有这样的问题：为什么(.)要采用下面的形式呢？1051 +=22221exp)(xx或者更一般的：1052 +=VVxx1T1T21exp)(这是因为在正态分布中，均值参数仅仅作为e的指数出现，而且具有平方形式：22)(21x为了把这种形式中的去掉，转换为0均值的22)(21x我们需要加上一个22221+x
