1、1.设有随机过程 ， ，其中 为常数，且 ，cosintttt00和 是随机变量，且相互统计独立，他们的概率密度为21exp,f x2,yfy即 和 是正态分布 随机变量。若把 写成 的形式。0,1NtsintVt（1） 求 ，问 V 和 是否统计独立；,vvff（2） 画出 的典型样本函数；t（3） 求 的一维概率密度函数 。fz解：由题意（1） sincosinitVtttt其中 sin,由于 相互独立，故其联合概率密度为, ,fxyfyA随机变量变换概率密度公式，可得到 的联合概率密度：,V,sincos,vffvfJA其中210tan2Vsicosincos,nivvJ VVxV则 2
2、,vvffJxyJfxyveA21exp,f x2,yfy220,vVvffde2001,vvff d,VvffA所以可知二者统计独立。（3）高斯随机过程变量 的特征函数为2expu高斯随机变量 的特征函数2eu因此 得特征函数cos,intt分别为 2cossexputut 2inintt又因为 ，故 得特征函数为cosittt2inexpuutut A所以 的概率密度为其特征函数的傅里叶反变换：21expzfz2.设随机过程 ，其中 V 是在（0,1）是均匀分布的随机变量，求过程 的X*t Xt均值和自相关函数。解：由已知，随机变量 V 的概率密度函数为1,0,vf其 他则 10X2tEt
3、xtfvdv121221012,V3Rtvfdt3.设随机过程 ，式中 A，B 为两个互不相关的随机变量，且有2Xt+，求过程 的均值，相关函数，协方差EA4B7D0.12， ， ， Xt函数和方差。解：由已知，得均值 22t+47ttEt方差： 244XAtBB0.1DttDt相关函数 121222 211112 22 22121 121,t+tABttABDDB6.85XRtEttEt tEtt协方差函数： 121212,XXXCtRtEtt4.论述正交，不相关，独立的条件及关系。解：独立： 12121212,;,;,;,XYmnmnmYFxyttttFy 正交： 12,0XYRt不相关：
4、 C（A）独立则必定不相关，而不相关却不一定互相独立，只有是高斯时独立和不相关才等价。（B）正交和不相关没有必然关系，只有当一个随机变量的统计平均等于零时，正交和不相关等价。独立独立 不相关不相关正交正交5.设随机信号 ，式中 a， 均为正的常数， 为正态随机变量，0cosXtat0其概率密度为 21fe讨论 的平稳性。Xt解：根据宽平稳的条件，因为 200sinsi2Etatfdte相关函数：-1221212200212202012,sinsincoscosXRtEtXattedaat ted 6.用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机 ，Xt1nXt第 次 投 掷 出 现 正 面第 次
5、投 掷 出 现 反 面称为半二元传输信号，求此信号的均值和自相关函数。此题不很会Xt解：由题意，设 Y 为服从两点分布的随机变量； g(t) 如图所示，周期为 T 的矩形波。g(t)t2T 3T T1则半二元传输信号可表示为： ，则根据数字特征的定义有XtYgt0XmtEt E12122112,RtYggtYgt7.设两个连续时间的随机相位信号 0sincoXttY其中 为常数， 在 上均匀分布，求互协方差函数。0,解：由题意知1,20f其 他X 的均值： 0sin102mtEtdY 的均值： 0cos102ttd互协方差函数：因为 ，则121212,XYXYXYCtRtmt120021020
6、211sincossi sin4nEttt dtdt8.设随机过程 的均值与相关函数为 ，试求X20.55sin,3stXXmttRe的均值和协方差。Ytt解：由题意得Y 的均值： 5cosY dmtEtXtEttY 的自相关函数： 22220.5, ,3Y stXRtststsRtstett 则 Y 的协方差函数： 220.5,3cosYYYstCtstmet9.设有正弦波过程 ，其中振幅 A，角频率 为常数，相位 是在cosXtAt上服从均匀分布的随机变量，求 的均值与相关函数，确定,Xt是平稳过程。tT解：由题意知 1,20f其 他均值： cos120XmtEtAtd相关函数： 1212
7、2212221,coscs1csoXRtEtXAtt dAt由平稳过程的定义可知， 是平稳过程。,XtT10.设 使一周期为 T 的函数， 是在 内服从均匀分布的随机变量，则称St 0,是随机相位周期过程，是一个平稳过程，证明：随机相位周期过程是X各态历经的。证明：由题意，此随机相位周期过程的周期为 ，则TX 的均值： 011TTtEtSstdsd0121TTXtxtdsdEXt自相关函数： 00, 11XTTRttsdTttsd而 0121,TTXXtxttsdRt11.讨论遍历和平稳之间的关系解：遍历过程必须是平稳的，但只有在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。12.设随机过程 ，其中
8、 A， B 是均值为零，方差为 的相互独立sincosXtAtBt 2的正态随机变量。问： 的均值和均方值是否具有各态历经性？若， 是在 内服从均匀分布的随机变量，此时2si,2A0,2是否是各态历经的？Et解：由题意 sincosXttBt1l.imi2sin.cosl.mTTTTtAttd因为 2222sinsili0l0TTEBEB则 均方收敛于 0。sinTB2sincosincos0EXtAtBtAtBt 2221l.im. cossin2TTT dttAB 没完！13.已知平稳过程 的谱密度为Xt243XS求 的均方值。t解：由题意 242213XS因为 XRS则 211XFe则
9、20XEt15.已经平稳过程 的相关函数为t4cos3XRett求谱密度 。XS解：由题意因为 21coset则根据卷积定理的逆定理得22214 31XS 16.设随机过程 ，其中 A 为常数， 和 事相互独立的随机变量，costAt且 在区间 内服从均匀分布， 的一维概率密度为偶函数，及0,，证明： 的谱密度是 。ffXt2XSaf解：由题意的概率密度函数为： 1,022f 其 他220coscos21cscs2oXREtAtt fdAfd 则谱密度为 222cosjXX jjSReAfdeefdAff 故命题得正。17.设 是一个马尔可夫链，其状态空间 ，转移概率矩阵为,nXT,Iabc1
10、24305P求：（1） ； 1234670,PXbcaXcacXbc（2） 。nn解：由题意根据全概率公式和马尔可夫链的性质 123456700213243546576,21520PXbcaXcacXbcPbPabcAAA二步转移概率 2141417309452302308165570P则 216nnXcb18.一维随机游动19.设 是具有三个状态 0,1,2 的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵为,0n34102P初始分布 。01,0,3ipXii试求：（1） 24,P（2） 2450（3） 1,解：由题意先求出两步转移概率2341034105816223394P02400242,1, 115
11、369XXPPXAA245004254,1,101516XXPPPX AA2450204254,1, 101159364iIXPiXiPXPXAAA20.已知 ，如果 ，求 。2XReYttYR解： 22stX st2 2,34YXXXXst stXRstEtsEstEstEsXtRRteet21.设随机微分方程为 10,0atXtYt其中 是常数， 是均值为零的均方连续的二阶矩过程，求解的均值函数和协方差10,aYt函数。解：由题意的给方程两边求均值，方程改写为 10,0daEXtatEYtt解此微分方程得: 01attce代入初始条件 ，则EX00ct由题意在求协方差函数之前，现要求 X，
12、 Y 得协方差函数，对方程两边同乘 ，方程改Yt写为 10,0XYXYYdaRstastRt解此微分方程的 0101,sasXYYRtRteda10,0XXXYdstststt解此微分方程得 0101010101010101 01012 01,tatXXYtssattsatsaYstst aRstedRedetRed22.设有随机起点的自由落体运动方程 0,dXtgtx其中 表示时刻 t 的物体位置， 是服从 的随机变量。求解微分方程并Xt 2,N讨论解的概率特性。解：由题意，得解此微分方程得 201Xtgt故均值： 22200111XmtEtgtXgtEXgt相关函数： 2200202222
13、0,114144XRststEgtXgtssDgts所以协方差函数： 222,114XXXCstRtmtgsgsA23.RC 积分电路的输出电压 与输入电压 的关系由方程YtXta描述。其中 的均值 ，相关函数 ，已知初始条件Xt0Xmt2XRe，求输出电压 及其均方值函数 和相关函数 。0YYYmt,Yst解：由题意微分方程的解是 0tatsXed则其均值函数为 000t tats atsYmtEtedEXed 相关函数为20020220,Ys tasuatvtasttst auvtuvatstt aatRstEYtXedXedeEeed 2211stastststasatststtseeet 24.研究线性振动，其运动方程为 20Xttt有随机初始条件 0,圆频率 假定是确定的常数，已知 与 的联合密度函数为 ，分析随机线0 0,fx性振动的统计特性。解：由题意令 2,YXttXt则故 201Yt令 0201,ttAYX0,XtXA0 0cos1sininctt【其实就是解微分方程，然后将 与 两式合成一个矩阵表示】1cssiicottt， 10,XtftfJ 10Xt0,;cossin,sicosftftttt
