1、第九章 平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式) ，了解斜截式与一次函数的关系能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离(2)圆与方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系能用直线和圆的方程解决
2、一些简单的问题初步了解用代数方法处理几何问题的思想2圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质( 范围、对称性、顶点、离心率)(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质( 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(4)了解曲线与方程的对应关系(5)理解数形结合的思想(6)了解圆锥曲线的简单应用91 直线与方程1平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上 A，B 两点的距离：数轴上点 A 的坐标为 x1，点 B 的坐标为 x2，则 A，B 两点间的距离|AB|_ (2)平面直角
3、坐标系中的基本公式：两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点 A(x1， y1)，B(x 2，y 2)之间的距离公式为d(A，B) |AB| _线段的中点坐标公式：若点 P1，P 2 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x ，y)，则x ，y . )2直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴_与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴_或_时，我们规定它的倾斜角为 0.因此，直线的倾斜角 的取值范围为_ (2)斜率：一条直线的倾斜角 的_叫做这条直
4、线的斜率，常用小写字母 k 表示，即k_( _)当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时， k_0；当直线的倾斜角为锐角时，k_0；当直线的倾斜角为钝角时， k_0；倾斜角为_的直线没有斜率倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度(3)经过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)(x1x 2)的直线的斜率公式为 kError! 3直线方程的几种形式(1)截距：直线 l 与 x 轴交点(a，0)的_叫做直线 l 在 x 轴上的截距，直线 l 与 y 轴交点(0，b)的_叫做直线 l 在 y 轴上的截距注：截距_距离(填“是”或“不是”) (2)直线方程的五种形
5、式：名称 方程 适用范围点斜式 k 存在斜截式 k 存在两点式 截距式 a0 且 b0一般式 平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是_的特例；截距式是_的特例(3)过点 P1(x1， y1)，P 2(x2，y 2)的直线方程若 x1x 2，且 y1y 2 时，直线垂直于 x 轴，方程为_；若 x1x 2，且 y1y 2 时，直线垂直于 y 轴，方程为_；若 x1x 20，且 y1y 2 时，直线即为 y 轴，方程为_；若 x1x 2，且 y1y 20，直线即为 x 轴，方程为_自查自纠1(1)| x2x 1| (2) (x2 x1)2 (y2 y1)2 x1 x22 y1 y222(1)正向
6、平行 重合 0 0 且 bc0 Bab0 且 bc0解：显然 b0，所以 y x ，因为直线过一、二、三象限，所以 0， 0，所以 ab0)，当此直线在 x，y 轴上的截距和最小时，a 的值为_解：方程可化为 1，因为 a0，所以截距之和 ta 2，当且仅当 a ，即 a1 时取等号，故 a 的xa y1a 1a 1a值为 1.故填 1.类型一 直线的倾斜角和斜率(1)设直线 2xmy 1 的倾斜角为 ，若 m(，2 )2，)，则角 的取值范围是3_解：据题意知 tan ，因为 m0，1 2k0)SAOB |OA|OB| (12k)12 122k 1k 4.12(4 1k 4k) 124 2(
7、 1k)（ 4k）当且仅当 4k，即 k 时，AOB 面积有最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 y1 (x2) ，即1k 12 12x2y40.方法二：设所求直线 l 的方程为 1(a0，b0)，则 1.xa yb 2a 1b又因为 2 ab4，当且仅当 ，即 a4，b2 时，AOB 面积 S ab 有最小值为 4.此时，2a 1b 2ab 12 2a 1b 12 12直线 l 的方程是 1.x4 y2(2)方法一：因为 A ，B(0，12k)( k0) ，(2k 1k ，0)所以截距之和为 12k2k 1k32k 32 32 .1k （ 2k）( 1k) 2此时2k k .1k 22故截
8、距之和最小值为 32 ，此时 l 的方程为 y1 (x2)即 x y2 0.222 2 2方法二：因为 1，2a 1b所以截距之和 ab(ab) 3 32 32 .(2a 1b) 2ba ab 2baab 2当 b 1，a2 时取“” 2 2此时，直线 l 的方程为 1.x2 2 y2 1即 x y2 0.2 2(3)因为 A ，B(0，12k)( k0) ，(2k 1k ，0)所以|PA|PB| 1k2 1 4 4k22 4.1 k （ k）当且仅当k ，即 k1 时上式等号成立1k故|PA|PB|的最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 xy30.1直线的倾斜角和斜率的关系，可借助 kta
9、n 的图象( 如图)来解决这里， 0，)，k 的范围是两个不连续的区间这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论2直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为 0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为 0 的情况3在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单4对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求
10、解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件 A2B 20 而出现增解1直线 x ya0(a 为常数) 的倾斜角为( )3A30 B60C120 D150解：直线的斜率为 ktan ，又因为 0 180，所以 60.故选 B.32直线 l：xsin30y cos15010 的斜率是( )A. B.33 3C D333解：由题意得直线 l 的斜率 k tan30 ，所以直线 l 的斜率为 .故选 A.sin30cos150 3
11、3 333直线 2xcos y30 的倾斜角的取值范围是( )( 6， 3)A. B. 6， 3 4， 3C. D. 4， 2 4， 23解：直线 2xcosy 30 的斜率 k2cos ，因为 ，6，3所以 cos ，12 32因此 k2cos 1， 3设直线的倾斜角为 ，则有 tan1， 3又 0， )，所以 ，4，3即倾斜角的取值范围是 .故选 B.4，34若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 P，Q ，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为( )A. B C D.13 13 32 23解：依题意，设点 P(a，1) ， Q(7，b)，则有 解得 a5，b3，从
12、而可知直线 l 的斜率为a 7 2，b 1 2，) .故选 B. 3 17 5 135(2016银川月考)在等腰三角形 AOB 中，AO AB，点 O(0，0)，A(1，3) ，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A3xy80 B3x y100C3x y0 D3x y60解：因为 AOAB ，所以AOBABO，即 kABk OA3.所以直线 AB 的方程为 y33(x1) ，即3xy60.故选 D.6已知两点 M(2，3) ，N (3，2) ，直线 l 过点 P(1， 1)且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )A(，4 B.34， ) 4， 34C
13、. D.34， 4 34， 4解：如图所示，因为 kPN ，1 （ 2）1 （ 3） 34kPM 4.1 （ 3）1 2所以要使直线 l 与线段 MN 相交，当 l 的倾斜角小于 90时，kk PN；当 l 的倾斜角大于 90时，kk PM，由已知得 k 或 k4.故选 A.347过点( ，2)的直线 l 经过圆 x2y 22y0 的圆心，则直线 l 倾斜角的大小为_3解：依题意可知圆心坐标为(0，1) ，则斜率 ktan ，所以倾斜角 120.故填 120. 2 13 0 38(2016郑州一模)若直线 l： 1( a0，b0)经过点(1，2)，则直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的
14、最小xa yb值是_解：由直线 l： 1(a0，b0)可知直线在 x 轴上的截距为 a，直线在 y 轴上的截距为 b，即求 ab 的最xa yb小值由直线经过点(1，2)得 1.因此 ab(ab) 3 ，因为 2 2 (当且仅1a 2b (1a 2b) ba 2ab ba 2ab ba2ab 2当 时取等号)，所以 ab32 .故填 32 .ba 2ab 2 29已知在第一象限的ABC 中，A(1 ，1)，B(5，1) ，A ，B .求： 3 4(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 和 BC 边所在直线的方程解：(1)AB 边所在直线的方程为 y1.(2)因为A ，ABx 轴，3所以直线
15、AC 的倾斜角为 ，斜率为 ，所以 AC 所在直线的方程为 xy1 0，3 3 3 3因为B ，所以直线 BC 的倾斜角为 ，所以斜率为 1，所以 BC 所在直线的方程为 xy60.4 3410设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围解：(1)当直线过原点时，在 x 轴和 y 轴上的截距为零所以 a2，方程即为 3xy 0.当直线不过原点时，a2，由截距存在且均不为 0，所以 a2，即 a11.a 2a 1所以 a0，方程即为 xy 20.因此直线 l 的方程为 3xy0 或 xy2
16、0.(2)将 l 的方程化为 y(a1)xa2，所以 所以 a1. （a 1） 0，a 2 0. )综上可知 a 的取值范围是( ，1 11已知直线 l：kxy 1 2k0(kR)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B， AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程解：(1)证明：将直线 l 的方程变形得 k(x2)(1y) 0，令 解得x 2 0，1 y 0，) x 2，y 1，)所以无论 k 取何值，直线 l 过定点( 2，1)(2)当直线
17、l 的倾斜角 0，90 时，直线 l 不经过第四象限，所以 k0.(3)由 l 的方程，得 A ，B(0，12k)( 1 2kk ，0)依题意得 解得 k0. 1 2kk 0，)因为 S |OA|OB| |12k|12 12|1 2kk | 12（1 2k）2k 12(4k 1k 4) (224)4，12当且仅当 4k 且 k0，即 k 时等号成立，1k 12所以 Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.已知两直线的方程分别为 l1：x ayb0，l 2：x cyd0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么( )Ab0，d0 ，ac Bb0，d0，acCb0，d0 ，ac Db0，d0，ac解：由题意知 l1：y x ，则 所以1a ba 1a0， ba0， dc0，) c0.)由 得(ac)ydb.x ay b 0，x cy d 0，)因为直线 l1 与 l2 的交点在第一象限，所以 y 0，又 db0 ，所以 ac 0，即 ac，故选 C.d ba c
