1、 第 1 页高三数学单元练习题：函数的单调性【说明】本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（每小题 6 分，共 42 分）1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A.y=-x+1 B.y= xC.y=x2-4x+5 D.y= 2答案：B解析：A、C、D 函数在（0，2）均为减函数.2.设函数 f(x)在(-,+)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)0，a 2+1a.又 f(x)在 R 上递减，故 f(a2+1) B.k- D.k 21C.a D.a-21答案：C解析：f(x)=a+ 在(-2,+)递增，1-2a .2xa215.(2010 四川成都
2、一模，4)已知 f(x)是 R 上的增函数，若令 F（x）=f(1-x)-f(1+x)，则 F（x）是 R 上的（ ）A.增函数 B.减函数C.先减后增的函数 D.先增后减的函数答案：B解析：取 f(x)=x,则 F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x 为减函数，选 B.6.已知 f(x)是定义在(-,+)上的奇函数，且 f(x)在0，+）上是减函数，则下列关系式中正确的是（ ）第 2 页A.f(5)f(-5) B.f(4)f(3) C.f(-2)f(2) D.f(-8)0,即 f(-2)f(2).7.(2010 全国大联考，5)下列函数：（1）y=x 2;(2)y= ;(3)y=2 x;(
3、4)y=log2x.其中不是偶函数且在21x区间（0，+）上也不是减函数的有（ ）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个答案：D解析：（1）是偶函数， （2） （3） （4）都不是偶函数且在（0，+）上递增，故满足条件.二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）8.函数 y= 的递减区间是_.42)(x答案：2，+解析：y=( )t单调递减，t=x 2-4x+5 在2，+)上递增，递减区间为2，+).19.若函数 f(x)是定义在（0，+）上的增函数，则不等式 f(x)f(8x-16)的解集为_.答案：（2， ）76解析： ,168.71620,xx10.已知函数 f(x)满足：对任意
4、实数 x1,x2,当 x1f(x2),且 f(x1+x2)=f(x1)f(x2),则 f(x)=_(请写出一个满足这些条件的函数即可).答案：a x(00).xa(1)求函数在（0，+）上的单调区间，并证明之；（2）若函数 f(x)在a-2,+上递增，求 a 的取值范围.解析：（1）f(x)在(0,+)上的增区间为 ,+ ，减区间为（0， ）.a证明：f(x)=1- ,当 x ,+时，2xaf(x)0,当 x（0， ）时，f(x)b0)上是减函数且 f(-b)0,判断 F（x）=f(x) 2在b,a上的单调性并证明你的结论.解析：设 bx 1-x2-a.f(x)在-a,-b上是减函数,00,x
5、2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+ 0.32xmn令 f(x)=0,得 x= ，n当 xm, 时，f(x)0.第 4 页f(x)在m, 内为减函数，在 ，n）为内增函数.mnm解法二：由题设可得f(x)=（ -1） 2- +1.x令 t= .n1m2.xm令 t= =0,得 x= .21nmn当 xm, ,t0.t= 在m, 内是减函数，在xnm，n内是增函数.函数 y=(t-1)2- +1 在1，+上是增函数，函数 f(x)在m, n mn内是减函数，在 ，n内是增函数.m（2）证明：由（1）可知，f(x)在m,n上的最小值为 f( )=2( -1)2,最大值为 f(m)=( -1)2.mn对任意 x1、x 2m,n,|f(x 1)-f(x2)|( -1)2-2( -1)2=( )2-4 +4 -1.令 u= ,h(u)nmn=u4-4u2+4u-1.1m0,mn 215h(u)在(1, )上是增函数.h(u)h( )=4-8+4 -1=4 -51.22不等式|f(x 1)-f(x2)|1 恒成立.
