1、常 考 二 级 结 论 及 其 应 用 纵 观 中 学 数 学 教 材, 基 本 上 是 由 题 组 成 的( 除 了 部 分 概 念 的 介 绍), 而 高 考 试 题 大 部 分 都 源 于 教 材 . 编 教 材 离 不 开 题, 授 课 离 不 开 题, 学 数 学 离 不 开 题, 考 试 更 离 不 开 题 . 实 际 上 高 考 试 题 大 都 是 通 过 对 教 材 例 题 和 习 题 加 工、 改 造、 引 申、 推 广 而 成 的, 不 仅 如 此, 试 题 的 表 现 方 式 和 语 言 表 达 也 尽 可 能 与 教 材 保 持 一 致, 使 考 生 有 一 种 似 曾
2、 相 识 的 感 觉, 所 以 我 们 要 仔 细 琢 磨, 把 教 材 上 的 题 研 究 到 位 . 结 合 高 考 真 题, 最 终 我 们 独 创 了“ 题 型 + 模 型” 的 全 新 教 学 法, 本 篇 将 把 高 考 试 题 中 经 常 出 现 而 且 教 材 上 有 所 体 现 的 部 分 二 级 结 论 呈 现 给 大 家, 部 分 结 论 对 学 生 的 解 题 有 很 好 的 指 导 作 用, 同 时 对 演 算 结 果 有 精 准 的 验 证 作 用, 以 便 同 学 们 在 解 答 高 考 题 时 做 到 准 确、 快 捷 . 结 论 一 图 2 - 1 1 . 子
3、 集、 交 集、 并 集、 补 集 之 间 的 一 个 关 系 式: A B A B = A A B = B A I B = I A B = I , 其 中 I 为 全 集 . ( 1 ) 当 A = B 时, 显 然 成 立; ( 2 ) 当 A B 时, Venn 图 如 图 2 -1 所 示, 结 论 正 确 . 2 . 子 集 个 数 的 问 题: 若 一 个 集 合 A 含 有 n ( n N * ) 个 元 素, 则 集 合 A 的 子 集 有 2 n 个, 非 空 子 集 有 2 n -1 个 . 真 子 集 有 2 n -1 个, 非 空 真 子 集 有 2 n -2 个 .
4、理 解: A 的 子 集 有 2 n 个, 从 每 个 元 素 的 取 舍 来 理 解, 例 如 每 个 元 素 都 有 两 种 选 择, 则 n 个 元 素 共 有 2 n 种 选 择 . 该 结 论 需 要 掌 握 并 会 灵 活 应 用 . 例 1 设 集 合 A = ( x , y ) x 2 4 + y 2 16 =1 , B = ( x , y ) | y =3 x , 则 A B 的 子 集 的 个 数 是() . A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 变 式 1 已 知 集 合 A = x | x 2 -3 x +2 =0 , x R , B = x |0 x5 ,
5、x N , 则 满 足 条 件 A C B 的 集 合 C 的 个 数 为() . A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 例 2 已 知 M , N 为 集 合 I 的 非 空 子 集, 且 M , N 不 相 等, 若 N I M = , 则 M N = () . A. M B . N C . I D . 变 式 1 设 集 合 A = x | x 2 -6 x +5 =0 , B = x | a x -1 =0 , 若 A B = B , 则 由 实 数 a 的 所 有 可 能 取 值 组 成 的 集 合 C 为() . A.1 , 1 5 B . 1 2 , 1 3 C .0
6、, 1 , 1 5 D .0 , 1 2 , 1 3 2 结 论 二 交、 并、 补( 且、 或、 非) 之 间 的 关 系( 德 摩 根 定 律) . ( 1 ) 集 合 形 式: I ( A B ) = I A ( ) I B ( ), I ( A B ) = I A ( ) I B ( ); ( 2 ) 命 题 形 式: ( p q ) = ( p ) ( q ), ( p q ) = ( p ) ( q ) . 例 3 设 全 集 U = a , b , c , d , 集 合 A = a , b , B = b , c , d , 则 U A ( ) U B ( ) = . 变 式
7、1 已 知 全 集 U = A B 中 有 m 个 元 素, U A ( ) U B ( ) 中 有 n 个 元 素 . 若 A B 非 空, 则 A B 的 元 素 个 数 为() . A. m n B . m + n C . n - m D . m - n 变 式 2 写 出 下 列 命 题 的 否 定 . ( 1 ) 命 题 p q : A =0 或 B =0 ; ( 2 ) 命 题 p q : A =0 且 B =0 . 结 论 三 奇 函 数 的 最 值 性 质: 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 区 间 D 上 的 奇 函 数, 则 对 任 意 的 x D , 都 有
8、 f ( x ) + f ( - x ) =0 . 特 别 地, 若 奇 函 数 f ( x ) 在 定 义 域 D f 上 有 最 值, 则 f ( x ) max + f ( x ) mi n =0 , 且 若 0 D f , 则 f ( 0 ) =0 . 证 明: 因 为 f ( x ) 为 奇 函 数, 所 以 x D , - x D , 且 f ( - x ) = - f ( x ), 即 f ( x ) + f ( - x ) =0 . 若 0 D f , 令 x =0 , 则 有 f ( 0 ) + f ( -0 ) =0 , 即 f ( 0 ) =0 . 若 奇 函 数 f (
9、 x ) 在 D f 上 有 最 值, 设 f ( x ) max = f ( x0 ), 则 f ( x0 ) f ( x )( x D ), 所 以 f ( - x0 ) = - f ( x0 ) - f ( x ) = f ( - x )( - x D ), 即 f ( x ) mi n = f ( - x0 ) . 由 f ( x0 ) + f ( - x0 ) =0 , 得 f ( x ) max + f ( x ) mi n =0 . 例 4 设 函 数 f ( x ) = ( x +1 )( x -4 ) +t an x x 2 -4 的 最 大 值 为 M , 最 小 值 为
10、m , 则 M + m = . 变 式 1 已 知 函 数 f ( x ) =l n 1 +9 x 2 -3 x ( ) +1 , 则 f ( l g2 ) + fl g 1 2 = () . A. -1 B .0 C .1 D .2 变 式 2 对 于 函 数 f ( x ) = as i n x + b x + c ( 其 中 a , b R , c Z ), 选 取 a , b , c 的 一 组 值 计 算 f ( 1 ) 和 f ( -1 ), 所 得 出 的 正 确 结 果 一 定 不 可 能是() . A.4 和 6 B .3 和 1 C .2 和 4 D .1 和 2临 门 一
11、 脚 ( 含 密 押 三 套 卷 ) ( 理 科 版 )3 结 论 四 若 函 数 y = f ( x ) 是 定 义 在 非 空 数 集 D 上 的 单 调 函 数, 则 存 在 反 函 数 y = f -1 ( x ) . 特 别 地, y = a x 与 y =l og a x ( a0 且 a1 ) 互 为 反 函 数, 两 函 数 图 像 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 关 于 直 线 y = x 对 称, 即 ( x0 , f ( x0 ) 与( f ( x0 ), x0 ) 分 别 在 函 数 y = f ( x ) 与 反 函 数 y = f -1 ( x ) 的 图 像
12、上 . 例 5 设 点 P 在 曲 线 y = 1 2 e x 上, 点 Q 在 曲 线 y =l n ( 2 x ) 上, 则 | P Q | 的 最 小 值 为() . A.1 -l n2 B .2 ( 1 -l n2 ) C . 1 +l n2 D .2 ( 1 +l n2 ) 变 式 1 若 x1 满 足 2 x +2 x =5 , x2 满 足 2 x +2 l og 2 ( x -1 ) =5 , 则 x1 + x2 = () . A . 5 2 B .3 C . 7 2 D . 4 结 论 五 函 数 周 期 性 问 题: 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ),
13、 若 对 任 意 的 x R , 总 存 在 非 零 常 数 T , 使 得 f ( x + T ) = f ( x ), 则 称 f ( x ) 是 周 期 函 数, T 为 其 一 个 周 期 . 除 周 期 函 数 的 定 义 外, 还 有 一 些 常 见 的 与 周 期 函 数 有 关 的 结 论 如 下: ( 1 ) 如 果 f ( x + a ) = - f ( x )( a0 ), 那 么 f ( x ) 是 周 期 函 数, 其 中 的 一 个 周 期 T =2 a ; ( 2 ) 如 果 f ( x + a ) = 1 f ( x ) ( a0 ), 那 么 f ( x )
14、是 周 期 函 数, 其 中 的 一 个 周 期 T =2 a ; ( 3 ) 如 果 f ( x + a ) + f ( x ) = c ( a0 ), 那 么 f ( x ) 是 周 期 函 数, 其 中 的 一 个 周 期 T =2 a ; ( 4 ) 如 果 f ( x ) = f ( x + a ) + f ( x - a )( a0 ), 那 么 f ( x ) 是 周 期 函 数, 其 中 的 一 个 周 期 T =6 a . 证 明:( 1 ),( 2 ),( 3 ) 略 . ( 4 ) 若 f ( x ) = f ( x + a ) + f ( x - a ) 则 f ( x
15、 + a ) = f ( x +2 a ) + f ( x ) + 得, f ( x ) + f ( x + a ) = f ( x + a ) + f ( x - a ) + f ( x +2 a ) + f ( x ), 即 f ( x - a ) + f ( x +2 a ) =0 , f ( x +2 a ) = - f ( x - a ), 所 以 f ( x +6 a ) = f ( x +4 a ) +2 a = - f ( x +4 a ) - a = - f ( x +3 a ) = - f ( x + a ) +2 a = f ( x + a ) - a = f ( x )
16、 . 故 f ( x ) 是 周 期 函 数, 其 中 的 一 个 周 期 T =6 a . 例 6 已 知 函 数 f ( x ) 满 足: f ( 5 ) = 1 4 , 4 f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x - y )( x , y R ), 则 f ( 2015 ) = . 变 式 1 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) = l og 2 ( 1 - x )( x0 ) f ( x -1 ) - f ( x -2 )( x0 ) , 则 f ( 2017 ) = () . A . -1 B .0 C . 1
17、D . 2 变 式 2 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f x + 3 2 = - f ( x ), 且 f ( -2 ) = f ( -1 ) = -1 , f ( 0 ) = 2 , 则 f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + + f ( 2016 ) + f ( 2017 ) = () . A . -2 B . -1 C . 0 D . 1 常 考 二 级 结 论 及 其 应 用 4 结 论 六复 合 函 数 单 调 性: 已 知 函 数 y = f g ( x ) 是 定 义 在 D 上 的 函 数, 若 f ( x ) 与 g (
18、x ) 的 单 调 性 相 同, 则 y = f g ( x ) 在 D 上 是 增 函 数; 若 f ( x ) 与 g ( x ) 的 单 调 性 相 反, 则 y = f g ( x ) 在 D 上 是 减 函 数, 即“ 同 增 异 减” . 特 别 地, 若 f ( x ) 是 定 义 域 D 上 的 单 调 函 数, 且 方 程 f f ( x ) = x 在 D 上 有 解 为 x0 , 则 f ( x0 ) = x0 . 例 7 对 于 定 义 域 为 0 , 1 的 连 续 函 数 f ( x ), 如 果 同 时 满 足 以 下 3 个 条 件: ( 1 ) 对 任 意 的
19、 x 0 , 1 总 有 f ( x ) 0 ; ( 2 ) f ( 1 ) =1 ; ( 3 ) 若 x10 , x20 , x1 + x21 , 都 有 f ( x1 + x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) 成 立 . 则 称 函 数 f ( x ) 为 理 想 函 数 . 若 函 数 f ( x ) 为 理 想 函 数, 假 定 存 在 x0 0 , 1 , 使 得 f ( x0 ) 0 , 1 , 且 f f ( x0 ) = x0 . 求 证: f ( x0 ) = x0 . 变 式 1 设 函 数 f ( x ) = e x + x - a ( a R , e 为 自
20、 然 对 数 的 底 数) . 若 曲 线 y =s i n x 上 存 在 点( x0 , y0 ) 使 得 f ( f ( y0 ) = y0 , 则 a 的 取 值 范 围 是() . A. 1 , e B . e -1 , 1 C . 1 , 1 +e D . e -1 , e +1 变 式 2 若 函 数 y =l og a ( x 2 - a x +1 )( a0 且 a1 ) 在( 1 , 2 ) 上 为 增 函 数, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 结 论 七 二 次 函 数 解 析 式 的 三 种 表 达 式 . 二 次 函 数 f ( x ) = a x 2 +
21、 b x + c ( 一 般 式) a x + b 2 a 2 + 4 a c - b 2 4 a ( a0 , x R )( 顶 点 式) a ( x - x1 )( x - x2 )( 双 根 式) . 二 次 函 数 的 性 质 . ( 1 ) 当 a0 时, f ( x ) 在 - , - b 2 a 上 为 减 函 数, 在 - b 2 a , + 上 为 增 函 数, 且 在 x = - b 2 a 处 取 得 最 小 值 为 f - b 2 a = 4 a c - b 2 4 a , 无 最 大 值; ( 2 ) 当 a0 时, f ( x ) 在 - , - b 2 a 上 为
22、 增 函 数, 在 - b 2 a , + 上 为 减 函 数, 且 在 x = - b 2 a 处 取 得 最 大 值 为 f - b 2 a = 4 a c - b 2 4 a , 无 最 小 值; ( 3 ) 对 称 轴 为 x = - b 2 a , 若 f ( x1 ) = f ( x2 ), 则 x1 + x2 = - b a . ( 4 ) 抛 物 线 y = f ( x ) 与 y 轴 的 交 点 为( 0 , c ) .临 门 一 脚 ( 含 密 押 三 套 卷 ) ( 理 科 版 )5 例 8 已 知 a0 , 则 x0 满 足 关 于 x 的 方 程 a x = b 的
23、充 要 条 件 是() . A . x R , 1 2 a x 2 - b x 1 2 a x 2 0 - b x0 B . x R , 1 2 a x 2 - b x 1 2 a x 2 0 - b x0 C . x R , 1 2 a x 2 - b x 1 2 a x 2 0 - b x0 D . x R , 1 2 a x 2 - b x 1 2 a x 2 0 - b x0 变 式 1 若 函 数 f ( x ) = ( 1 - x 2 )( x 2 + a x + b ) 的 图 像 关 于 直 线 x = -2 对 称, 则 f ( x ) 的 最 大 值 是 . 变 式 2 定
24、 义 mi n f ( x ), g ( x ) = f ( x ), f ( x ) g ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ) . 若 函 数 f ( x ) = x 2 + t x + s 的 图 像 经 过 两 点 ( x1 , 0 ),( x2 , 0 ), 且 存 在 整 数 m , 使 得 m 1 4 C . mi n f ( m ), f ( m +1 ) = 1 4 D . mi n f ( m ), f ( m +1 ) 1 4 变 式 3 设 max f ( x ), g ( x ) = f ( x ), f ( x ) g ( x ) g ( x
25、), f ( x ) g ( x ) , 若 函 数 h ( x ) = x 2 + p x + q ( p , q R ) 的 图 像 经 过 不 同 的 两 点( , 0 ),( , 0 ), 且 存 在 整 数 n , 使 得 n1 B . max h ( n ), h ( n +1 )1 2 D . max h ( n ), h ( n +1 )-1 ), 当 且 仅 当 x =0 时 取 等 号; ( 2 ) 指 数 形 式: e x x +1 ( x R ), 当 且 仅 当 x =0 时 取 等 号 . 证 明:( 1 ) 令 f ( x ) =l n ( x +1 ) - x
26、( x -1 ), 则 f ( x ) = 1 x +1 -1 = - x x +1 . 令 f ( x ) =0 , 解 得 x =0 . f ( x ), f ( x ) 随 x 的 变 化 如 表 2 -1 所 示 . 表 2 - 1 x ( -1 , 0 ) 0 ( 0 , + ) f ( x ) + 0 - f ( x ) 极 大 值 所 以 f ( x ) 在( -1 , 0 ) 上 单 调 递 增, 在( 0 , + ) 上 单 调 递 减, 且 当 x =0 时, f ( x ) 有 最 大 值 为 0 . 即 x -1 , l n ( x +1 ) - x f ( 0 ) =
27、0 , 所 以 l n ( x +1 ) x ( x -1 ) 恒 成 立, 当 且 仅 当 x =0 时 取 等 号 . ( 2 ) 令 g ( x ) =e x - x -1 ( x R ), 则 g ( x ) =e x -1 . 令 g ( x ) =0 , 解 得 x =0 . g ( x ), g ( x ) 随 x 的 变 化 如 表 2 -2 所 示 . 表 2 - 2 x ( - , 0 ) 0 ( 0 , + ) g ( x ) - 0 + g ( x ) 极 小 值 所 以 g ( x ) 在( - , 0 ) 上 为 减 函 数, 在( 0 , + ) 上 为 增 函
28、数, 且 当 x =0 时 g ( x ) 有 最 小 值 为 0 . 即 x R , e x - x -1 g ( 0 ) =0 . 所 以 e x x +1 ( x R ) 恒 成 立, 当 且 仅 当 x =0 时 取 等 号 . 常 考 二 级 结 论 及 其 应 用 6 例 9 已 知 函 数 f ( x ) = 1 l n ( x +1 ) - x , 则 y = f ( x ) 的 图 像 大 致 为() .A. B . C . D . 变 式 1 已 知 函 数 f ( x ) =e x , x R . 求 证: 曲 线 y = f ( x ) 与 曲 线 y = 1 2 x
29、2 + x +1 有 唯 一 公 共 点 . 变 式 2 设 函 数 f ( x ) =1 -e - x . 求 证: 当 x -1 时, f ( x ) x x +1 . 结 论 九 函 数 的 对 称 性: 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 . ( 1 ) 若 f ( a + x ) = f ( b - x ) 恒 成 立, 则 y = f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x = a + b 2 轴 对 称, 特 别 地, 若 f ( a + x ) = f ( a - x ) 恒 成 立, 则 y = f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线
30、x = a 轴 对 称 . ( 2 ) 若 f ( a + x ) + f ( b - x ) = c , 则 y = f ( x ) 的 图 像 关 于 点 a + b 2 , c 2 中 心 对 称, 特 别 地, 若 f ( a + x ) + f ( a - x ) =2 b 恒 成 立, 则 y = f ( x ) 的 图 像 关 于 点( a , b ) 中 心 对 称 . 例 1 0 已 知 函 数 f ( x ) = Ac o s ( x + ) 的 图 像 如 图 2 -2 所 示, f 2 = - 2 3 , 则 f ( 0 ) = () . A. - 2 3 B . 2
31、3 C . - 1 2 D . 1 2 图 2 - 2临 门 一 脚 ( 含 密 押 三 套 卷 ) ( 理 科 版 )7 变 式 1 已 知 函 数 y = g ( x ) 的 图 像 由 f ( x ) =s i n2 x 的 图 像 向 右 平 移 ( 00 , 0 ) . 若 f ( x ) 在 区 间 6 , 2 上 具 有 单 调 性, 且 f 2 = f 2 3 = - f 6 , 则 f ( x ) 的 最 小 正 周 期 为. 结 论 十 三 点 共 线 结 论: 设 平 面 上 O , A , B 三 点 不 共 线, 则 平 面 上 任 意 一 点 P 与 A , B 共
32、 线 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 与 , 使 得 O P = O A + O B , 且 + =1 . 特 别 地, 当 P 为 线 段 A B 的 中 点 时, O P = 1 2 O A + 1 2 O B . 证 明: 先 证 必 要 性 . 如 图 2 -4 所 示, 因 为 P , A , B 三 点 共 线, 所 以 A P A B , 即 存 在 t R , 使 得 A P = t A B , 故 O P - O A = t O B - O A ( ), 所 以 O P = O A + t O B - t O A = ( 1 - t ) O A + t O B . 设
33、 1 - t = , t = , 则 O P = O A + O B , 且 + =1 . 再 证 充 分 性 . 若 O P = O A + O B , 且 + =1 , 则( + ) O P = O A + O B , 即 O P - O A = O B - O P , 也 即 A P = P B . 所 以 A P P B , 故 A , P , B 三 点 共 线 . 综 上 所 述, P , A , B 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 与 , 使 得 O P = O A + O B , 且 + =1 . 图 2 - 4 例 1 1 在 A B C 中, A B
34、 = c , A C = b . 若 点 D 满 足 B D =2 D C , 则 A D = () . A . 2 3 b + 1 3 c B . 5 3 c - 2 3 b C . 2 3 b - 1 3 c D . 1 3 b + 2 3 c 变 式 1 若 在 直 线 l 上 存 在 不 同 的 三 点 A , B , C , 使 得 关 于 实 数 x 的 方 程 x 2 O A + x O B + B C = 0 有 解 ( 点 O 不 在 直 线 上), 则 此 方 程 的 解 集 为() . A. B. -1 , 0 C. -1 D. -1 +5 2 , -1 -5 2 变 式
35、 2 已 知 两 个 单 位 向 量 a , b 的 夹 角 为 60 , c = t a + ( 1 - t ) b , 若 b c =0 , 则 t = . 常 考 二 级 结 论 及 其 应 用 8 结 论 十 一 1 . 若 向 量 O A , O B 不 共 线, 且 点 P 为 线 段 A B 的 中 点, 则 O A O B = | O P | 2 - | P A | 2 = | O P | 2 - | P B | 2 = | O P | 2 - A B 2 2 ; 2 . 在 矩 形 A B C D 所 在 平 面 内, 向 量 | O A | 2 + | O C | 2 =
36、| O B | 2 + | O D | 2 ( 点 O 为 平 面 内 一 点) . 证 明: 1 . 如 图 2 -5 所 示, 在 O A B 中, 因 为 点 P 为 线 段 A B 的 中 点, 所 以 P A + P B = 0 , 故 O A O B = O P + P A ( ) O P + P B ( ) = O P + P A ( ) O P - P A ( ) = | O P | 2 - | P A | 2 = | O P | 2 - | P B | 2 = | O P | 2 - A B 2 2 . 2 . 如 图 2 -6 所 示, 设 矩 形 A B C D 的 对
37、角 线 A C 与 B D 的 交 点 为 点 P , 则 点 P 为 A C 和 B D 的 中 点 . 因 为 O A + O C =2 O P , O A - O C = C A , 则( O A + O C ) 2 + ( O A - O C ) 2 =4 | O P | 2 + | C A | 2 , 即 2 ( | O A | 2 + | O C | 2 ) =4 | O P | 2 + | C A | 2 , 所 以 | O A | 2 + | O C | 2 =2 | O P | 2 + | C A | 2 2 . 同 理, | O B | 2 | O D | 2 =2 | O
38、 P | 2 + | B D | 2 2 . 又 | A C | = | B D | , 所 以 | O A | 2 + | O C | 2 = | O B | 2 + | O D | 2 . 图 2 - 5图 2 - 6 例 1 2 在 A B C 中, 点 M 是 B C 的 中 点, A M =3 , B C =10 , 则 A B A C = . 变 式 1 在 A B C 中, 设 点 P0 是 A B 边 上 一 定 点, 满 足 P0 B = 1 4 A B , 且 对 于 A B 边 上 任 一 点 P , 恒 有 P B P C P0 B P0 C , 则() . A. A
39、B C =90 B . B A C =90 C . A B = A C D . A C = B C 变 式 2 点 P 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 A B C D A1 B1 C1 D1 的 底 面 A1 B1 C1 D1 上 一 点, 则 P A P C1 的 取 值 范 围 是() . A. -1 , - 1 4 B . - 1 2 , - 1 4 C . -1 , 0 D . - 1 2 , 0 变 式 3 已 知 圆 M : x 2 + ( y -1 ) 2 =1 , 圆 N : x 2 + ( y +1 ) 2 =1 , 直 线 l 1 , l 2 分 别 过 圆 心 M ,
40、 N , 且 l 1 与 圆 M 相 交 于 A , B 两 点, l 2 与 圆 N 相 交 于 C , D 两 点, 点 P 是 椭 圆 y 2 4 + x 2 3 =1 上 的 任 意 一 动 点, 则 P A P B + P C P D 的 最 小 值 为. 例 1 3 在 平 面 上, A B1 A B2 , O B1 = O B2 =1 , A P = A B1 + A B2 . 若 O P 1 2 , 则 O A 的 取 值 范 围 是() . A. 0 , 5 2 B . 5 2 , 7 2 C . 5 2 , 2 D . 7 2 , 2 临 门 一 脚 ( 含 密 押 三 套
41、 卷 ) ( 理 科 版 )9 变 式 1 在 Rt A B C 中, 点 D 是 斜 边 A B 的 中 点, 点 P 为 线 段 C D 的 中 点, 则 | P A | 2 + | P B | 2 | P C | 2 = () . A . 2 B . 4 C . 5 D . 10 结 论 十 二 若 数 列 a n 为 等 差 数 列 a n - a n -1 = d ( n2 , n N * ) a n +1 - a n = d ( n N * ) 2 a n +1 = a n + a n +2 对 任 意 n N * 恒 成 立 通 项 公 式 a n = k n + b ( k ,
42、 b 为 常 数, n N * ) 为 一 次 型 前 n 项 和 公 式 S n = A n 2 + B n ( A , B 为 常 数, n N * ) 为 二 次 型 数 列 S n n 也 为 等 差 数 列 . 已 知 等 差 数 列 a n , 其 公 差 为 d , 前 n 项 和 为 S n , 求 证: S n n 也 为 等 差 数 列 . 证 明: 由 通 项 公 式 a n = a1 + ( n -1 ) d 知, 其 前 n 项 和 为 S n = ( a1 + a n ) n 2 = n a1 + n ( n -1 ) 2 d = d 2 n 2 + a1 - d
43、2 n ( n N * ), 所 以 S n n = d 2 n + a1 - d 2 当 n2 时, S n -1 n -1 = d 2 ( n -1 ) + a1 - d 2 式 - 式 得, S n n - S n -1 n -1 = d 2 ( n2 , n N * ) . 所 以 数 列 S n n 是 以 S1 1 = a1 为 首 项, d 2 为 公 差 的 等 差 数 列 . 例 1 4 已 知 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 S3 3 - S2 2 =1 , 则 数 列 a n 的 公 差 是() . A. 1 2 B. 1 C. 2
44、 D. 3 变 式 1 已 知 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S10 =100 , S100 =10 , 则 S110 = . 结 论 十 三 已 知 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n , 等 比 数 列 b n 的 前 n 项 积 为 T n , m , n , s , t N * . ( 1 ) 若 m + n =2 t , 则 a m + a n =2 a t , b m b n = b 2 t ; ( 2 ) S2 n -1 = ( 2 n -1 ) a n , T2 n -1 = b 2 n -1 n ; ( 3 ) 等 差 数
45、 列 a n , b n 的 前 n 项 和 分 别 为 S n , T n , 则 a n b n = S2 n -1 T2 n -1 . 例 1 5 在 等 差 数 列 a n 中, 已 知 a4 + a8 =16 , 则 该 数 列 前 11 项 和 S11 = () . A . 58 B . 88 C . 143 D . 176 变 式 1 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n . 已 知 a m -1 + a m +1 - a 2 m =0 , S2 m -1 =38 , 则 m = . 变 式 2 已 知 两 个 等 差 数 列 a n 和 b n 的 前 n 项 和 分 别 为 A n 和 B n , 且 A n B n = 7 n +45 n +3 ( n N * ), 则 使 得 a n b n 为 整 数 的 正 整 数 n 的 个 数 是() . A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 常 考 二 级 结 论 及 其 应 用 1 0 结 论 十 四 已 知 等 比 数 列 a n , 公 比 为 q , 前 n 项 和 为 S n . ( 1 ) 数 列 1 a n 也 为 等 比 数 列, 其 公 比 为 1 q ; ( 2 ) 若 q =1 , 则 S n = n
