1、1高等代数（一三） 课程教学大纲（中文）高等代数（一三）课程编号01025004006 课程名称 （英文）Higher Algebra（一三）课程基本情况1学分：5,5,5 学时：50,50,50 （课内学时：150 实验学时：0 ）2课程性质：学科基础必修课3适用专业：理学适用对象：本科4先修课程：5首选教材：高等代数第二版，北京大学数学系几何与代数教研室，高等教育出版社，2003 年 09 月。二选教材：姚慕生编著，高等代数，复旦大学出版社，第一版（2003 年） 。参考书目：张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）。6考核形式：考试（闭卷）7教学环境：课堂课程教学目的及
2、要求课程的教学目的和要求通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性；通过写专题读书报告，训练学生的查阅资料和归纳总结的能力；通过难题攻关，享受理解和应用数学思想和方法的乐趣，提高创新能力。课程的主要内容：高等代数分为两个部分主要内容。一块是基本工具性质的，包括多
3、项式，行列式，矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类线性代数的内容。另外一块是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间和直和分解；从空间之间的关系来研究空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的核与值域，Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。教学重点与难点：在讲解内容的同时，要尽早地更多讲授高等代数中的数学的思想和方法，重点是传授代数学的基本思想，如等价分类的思想，分解结构的思想，特别是同构对应的思想。所选教材以
4、线性空间为纲的做法，即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开，同时将必要的代数方法做了尽可能详细的介绍。所以讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关系和互动关系，使学生即能从几何的观点更好地理解内容，又可把握简洁和直接的代数方法。2课程要求、内容及学时分配课程内容及学时分配第一章 矩阵代数 （ 15 学时）一、 教学基本要求1 熟练掌握矩阵的各种运算，特别要理解矩阵乘法运算的不可交换性，有零因子，不满足消去律等特点。2 切实理解矩阵的等价（即相抵）与等价标准形、可逆矩阵与逆矩阵、初等矩阵等概念，牢固掌握可逆矩阵的几种常用的等价刻划，熟练掌握求可逆矩阵的逆阵的初等变换求法。掌握初等矩阵
5、与初等变换之间的“左行右列”规则。3 初步掌握矩阵分块的原则、技巧及运算。二、 教学内容第一节 数域与数环1. 数域2. 数环第二节 矩阵的运算及特殊矩阵1矩阵的定义2矩阵的运算与运算律3特殊矩阵第三节 可逆矩阵1 可逆矩阵定义2 可逆矩阵性质第四节 矩阵初等变换与矩阵的相抵标准形1 矩阵初等变换2 初等矩阵3 初等变换域初等矩阵关系4 矩阵相抵及其标准形5 可逆矩阵的计算方法第五节 分块矩阵及其初等变换1 分块矩阵的概念2 分块矩阵运算3 特殊分块矩阵4 分块矩阵的初等变换第六节 矩阵的广义逆1矩阵广义逆及其性质2广义逆的计算第二章 行列式 （ 15 学时）一、教学基本要求1 掌握排列的奇偶
6、性，逆序数的求法及排列在对换下奇偶性的变化。2 了解行列式概念推广的过程，确切理解 n 阶行列式的定义，熟练掌握 n 阶行列式的性质及依行依列展开定理。3 掌握计算 n 阶行列式的常用方法：三角化法、递推法、加边法等。4 切实掌握 Gramer 法则，不仅要明确其条件、结论，还应理解证明这一法则的思路与论证方法。5 了解 Laplace 展开式二、教学内容第一节 阶行列式的定义n31排列的逆序数，奇排列和偶排列2对换对排列的作用3. 阶行列式的定义n第二节 阶行列式的性质1 阶行列式的基本性质2 阶行列式的计算第三节 行列式依行（列）展开与 Cramer 法则1 阶行列式的行（列）展开式n2
7、阶行列式的的计算续3Cramer 法则第四节 拉普拉斯定理与行列式的乘法规则1 Laplace 展开式2 行列式的乘法规则3 矩阵可逆的充分必要条件第五节 行列式的降阶定理1行列式的降阶定理及其应用第六节 Cauchy-Binet 公式1Cauchy-Binet 公式及其应用1 了解 n 阶行列式的定义。2 掌握 n 阶行列式的性质。3 掌握行列式展开式与 Cramer 法则。4 会用行列式的性质、展开式计算 n 阶行列式。5 了解拉普拉斯定理，掌握行列式的乘法定理。6. 掌握 Cauchy-Binet 公式。第三章 多项式理论 （ 20 学时）一、教学基本要求1理解数域上文字 的多项式的概念
8、；理解多项式的次数、整除、最大公因式、x互素、不可约多项式、重因式等重要概念，了解这些概念和系数域的扩大与缩小的关系。2.熟练掌握“整除性” ，互素与不可约多项式的基本性质；理解带余除法的实质，掌握用带余除法求商式和余式；会求两个多项式的最大公因式并掌握把最大公因式表示成这两个多项式的组合的方法；会用微商判断多项式有、无重因式；能把多项式的有关概念，性质与整数的有关概念、性质进行比较。3.理解数域 P 上多项式分解唯一性定理的内容、意义及这一定理在多项式理论中的重要地位。掌握多项式在复数域和实数域上的标准分解式，掌握多项式的根与系数的关系。4.理解多项式的函数观点，明确多项式的根、因式与可约性
9、之间的关系，特别要掌握余数定理和因式定理。5.理解本原多项式的概念及多项式在有理数域 Q 上的可约性问题，掌握Eisenstein 判别法和求整系数多项式有利根的求法。二、教学内容第一节一元多项式环1了解一元多项式环的概念2一元多项式的运算与运算律3一元多项式的和与积的次数第二节 带余除法与整除性41一元多项式的带余除法2一元多项式的的整除性与性质第三节 多项式矩阵相抵1多项式矩阵的运算与运算律2多项式矩阵初等变换与初等矩阵3多项式矩阵的相抵及其标准形第四节 最大公因式及其矩阵求法1最大公因式及其性质2最大公因式存在定理及辗转相除法3最大公因式矩阵求法第五节 因式分解唯一性定理1不可约多项式的
10、定义与基本性质2因式分解唯一性定理3利用标准分解求最大公因式与最小公倍式第六节 重因式1重因式的定义2多项式重因式与微商的关系3多项式重因式判别方法第六节 多项式函数1多项式的值、多项式函数2余数定理3多项式的根、因式定理4重根及重根判别方法5非零多项式根的个数定理6多项式相等判别方法7Lagrange 插值公式第七节 复数域和实数域上多项式1复系数多项式因式分解定理2实系数多项式因式分解定理第七节 有理数域上多项式1本原多项式、Gauss 引理2整系数多项式与有理系数多项式关系3整系数多项式有理根判别方法4Eisenstein 判别法第四章 线性空间 （ 30 学时）一、教学基本要求1.理解
11、线性空间的概念及有关概念：线性相关、线性无关、维数、基、坐标、子空间、子空间的交与和、子空间的直和、余子空间等等。2.掌握线性空间的简单性质，基变换和坐标变换；已知一个向量在一组基下的坐标，会求它在另一组基下的坐标。3.掌握子空间的判别法，理解生成子空间的概念并掌握生成子空间的集合形式；掌握两个生成子空间相等的条件，生成子空间的基、维数的求法。4.掌握维数公式及其证明方法并能灵活应用；掌握常用的几个子空间直和的判别法。5.掌握线性方程组有解判别方法，会计算线性方程组解6.理解线性空间的同构映射和线性空间同构的概念，掌握同构映射的基本性质，理解维数是有限维线性空间的唯一的数量特征。掌握数域 P
12、上两个有限维线性空间同构的条件。9二、教学内容第一节 映射与代数运算1. 映射的概念2. 满射、单射和双射3. 映射的代数运算及其性质第二节 线性空间的定义1 线性空间的定义2 线性空间的简单性质第三节 线性空间的基与向量的坐标1. 向量组的线性相关性2. 向量的线性组合（线性表示）及其性质3. 向量组的线性相关和线性无关的定义及性质4. 向量组的等价，极大线性无关组5. *替换定理及其推论6. 基与维数的定义及性质第四节 基变换和坐标变换1. 基的过渡矩阵及其性质2. 向量的坐标，坐标变换公式第五节 线性子空间与矩阵的秩1 子空间的定义和判别条件2 矩阵的秩3 生成子空间4 子空间的运算：交
13、与和5 维数定理第六节 子空间与直和1. 直和的定义2. 直和的等价性质第七节 线性方程组1 线性方程组有解的判别定理2 齐次线性方程组解的结构与表示3 非齐次线性方程组解的结构与表示第八节 线性空间的同构1有限维线性空间同构定理第五章 线性变换 （ 25 学时）一、教学基本要求1.理解线性变换的概念，掌握线性变换的基本性质。2.掌握线性变换的运算，明确数域 P 上线性空间的线性变换作成的集合关于线性变换的加法和数量乘法运算作成数域 P 上的一个线性空间。3.理解可逆变换的概念，掌握其常用的判别法。4.理解线性变换的矩阵的概念和线性变换与矩阵的紧密联系，掌握利用矩阵计算一个向量在线性变换之下的
14、象，阐明线性变换在不同基下的矩阵是相似的，而两个相似的矩阵可以看成同一线性变换在某两个基下的矩阵。5.切实理解线性变换的特征值与特征向量的概念和 n 阶方阵的特征多项式，特征值与1特征向量的概念，切实掌握有限维线性空间中线性变换的特征值、特征向量的求法。掌握 n 阶方阵的特征多项式的结构定理及哈密顿凯莱定理。6.掌握 n 维线性空间 V 的一个线性变换可对角化的一些充分条件与充要条件，在满足可对角化时能将矩阵化成对角形。7.理解线性变换的值域、核、秩和零度等概念，掌握以下性质：1） 值域由基象组线性生成；2） 值域的维数等于线性变换的秩也等于其矩阵的秩；3） 有限维线性空间的线性变换的秩与零度
15、之和等于这个线性空间的维数。4） 有限维线性空间的一个线性变换是映上的（满射）充要条件是这个线性变换是一一的（单射） 。8.理解不变子空间的定义，掌握关于不变子空间的常用的简单事实，理解线性变换在其不变子空间上的导出变换的概念，了解线性空间关于一个线性变换分解成不变子空间的直和与这个线性变换的矩阵的化简之间的关系，初步掌握按线性变换的特征值将空间分解成不变子空间的直和的事实。二、教学内容第一节 线性变换的概念和运算1 线性变换的定义2 线性变换的简单性质3 线性变换的运算4 线性变换的多项式5 可逆线性变换及其逆变换第二节 线性变换象与核1 线性变换象与核概念2 线性变换象与核的性质第三节 线
16、性变换的矩阵1 线性变换的矩阵2 向量的象的坐标公式3 线性变换与矩阵的同构对应4 线性变换在不同基下的矩阵，相似矩阵第四节 特征值和特征向量1特征值、特征向量和特征多项式的定义和求法2. 矩阵的秩和行列式与特征值的关系3. 相似矩阵的特征多项式第五节 不变子空间1 不变子空间的定义和简单性质2 不变子空间与简化线性变换的矩阵之间的关系第六节 矩阵的相似1 属于不同特征值的特征向量的线性无关性2 特征子空间的维数与所属特征值的重数的关系3 线性变换和矩阵可对角化的条件第七节 HamiltonCaley 定理与方阵的最小多项式1HamiltonCaley 定理2最小多项式1第六章 Jordan
17、标准形 （ 15 学时）一、教学基本要求1了解 Jordan 形矩阵2. 了解 Jordan 标准型对应的不变子空间分解；根子空间，循环子空间。3. 掌握矩阵相似相抵不变量；4. 掌握矩阵的相似不变量5. 会计算 Jordan 标准型，以及抵不变量、相似不变量。二、教学内容一一一 Jordan 形矩阵一一一 根子空间分解与循环子空间1 根子空间的定义与性质2 根子空间分解3 循环子空间一一一 Jordan 标准形一一一 多项式矩阵的相抵不变量一一一 特征方阵与相似不变量第七章 内积空间 （15 学时）一、教学基本要求1.理解实数域上线性空间中引入度量概念从而定义欧氏空间概念的梗概，理解欧氏空间
18、的概念及向量长度和两个向量的夹角的概念，掌握 Cauchy-Schwarz 不等式。2.理解 n 维欧氏空间中基的度量矩阵及由此而确定的欧氏空间的内积，掌握度量矩阵的性质与不同基的度量矩阵之间的关系。3.理解正交组、标准正交组、正交基、标准正交基等概念，切实掌握 Schimidt 正交化方法，掌握正交阵的简单性质。4.理解欧氏空间同构的概念。5.理解正交变换、酉变换的概念，掌握正交变换、酉变换的几个等价刻划。6.理解子空间正交与正交补的概念，掌握一个子空间的正交补的存在唯一性与其集合形式。7.掌握实对称矩阵的特征值、特征向量的特性；理解对称变换的概念；切实掌握求正交阵 T，使实对称矩阵正交相似
19、于对角阵的方法。8.了解双线性函数二、教学内容第一节 定义与基本性质1 内积的定义和简单性质2 Cauchy-Schwarz 不等式3 向量的长度、夹角、正交、距离4 度量矩阵第二节 标准正交基1 正交组、标准正交组、正交基、标准正交基2 在标准正交基下向量的坐标、内积、长度、距离3 Schimidt 正交化方法4. 标准正交基的过渡矩阵、正交矩阵及其简单性质第三节 酉变换与规范矩阵1 酉变换的定义与性质12 规范矩阵第四节 实对称矩阵的正交相似1. 实对称矩阵2. 实对称矩阵的性质3实对称矩阵的正交相似对角化4. 对称变换5对称变换的定义6. 对称变换的性质7. 对称变换的相似对角化第五节
20、双线性函数1双线性函数性质第八章 二次型 （ 15 学时）一、教学基本要求1.达到了解二次型的来源，掌握二次型的一般表示，对称写法，矩阵表示，理解二次型的有关概念：如二次型的矩阵，二次型的秩等。2.熟练掌握在数域 P 上化二次型为标准形的方法：配方法和合同变换法。3.熟练掌握化复二次型、实二次型为规范形的方法，理解规范形的唯一性，理解实二次型的秩，正、负惯性指数，符号差等概念；掌握复二次型（复对称矩阵） 、实二次型（实对称矩阵）等价（合同）的充要条件；初步理解复二次型、实二次型按等价分类（复对称矩阵、实对称矩阵按合同分类）的概念。4.理解正定二次型、正定矩阵的概念，掌握判定实二次型（实对称矩阵
21、）正定性的判别方法，特别是顺序主子式判别法。5. 掌握用正交线性替换化实二次型为标准形的方法。二、教学内容第一节 二次型的概念及其矩阵表示1 二次型概念2 二次型的矩阵表示方法第二节 标准型1. 二次型的标准形2. 数域 P 上任一 n 元二次型都可以经过非退化线性替换变成标准形3. 数域 P 上任一 n 阶对称矩阵都合同于一对角阵4. 配方法化二次型为标准形5. 初等变换法化二次型为标准形6正交变换化二次型为标准形第三节 规范形1 规范形定义2 惯性定理第四节 正定二次型1正定二次型定义2正定二次型判别方法3半正定二次型4负定、半负定二次型1配套实践环节说明大纲编写责任人数学与应用数学 （教研组） （签名）年 月 日系审核意见数学 （系） （签名）年 月 日学院审核意见（签名） （公章） 年 月 日
