1、第一章 集合与常用逻辑用语第 3 课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文) 、(理)56 页)考情分析 考点新知了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义 会分析四种命题的相互关系. 会判断必要条件、充分条件与充要条件. 能用“或” “且” “非”表述相关的数学内容(真值表不做要求). 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1. (选修 11P20 第 4(1)题改编)命题“若 a、
2、b、c 成等比数列，则 acb 2”的逆否命题是_答案：若 acb 2，则 a、b、c 不成等比数列2. (选修 11P20 第 6 题改编)若命题 p 的否命题为 q，命题 q 的逆否命题为 r，则 p 与 r 的关系是_答案：互为逆命题3. (选修 11P20 第 7 题改编)已知 p、q 是 r 的充分条件， r 是 s 的充分条件，q 是 s 的必要条件，则 s 是 p 的_条件答案：必要不充分4. (原创) 写出命题“若 xy5，则 x3 且 y2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假答案：逆命题：若 x3 且 y2，则 xy5.是真命题否命题：若 xy5，则 x3 或 y2
3、.是真命题逆否命题：若 x3 或 y2，则 xy5.是假命题5. 下列命题中的真命题有_(填序号) $ xR，x 2；1x xR，sinx1； “xR，x 20； xR，2 x0.答案：解析：对于，x1 时，x 2，正确；对于，当 x 时，sinx1，正确；1x 32对于，x0 时，x 20，错误；对于，根据指数函数的值域，正确6. 命题 p：有的三角形是等边三角形命题綈 p：_答案：所有的三角形都不是等边三角形1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题 表述形式原命题 若 p，则 q逆命题 若 q，则 p否命题 若非 p，则非 q逆否命题 若非 q，则非 p(2) 四种命题间的逆否关系(3)
4、 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分条件与必要条件(1) 如果 pq，那么称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 (2) 如果 p q，且 q p，那么称 p 是 q 的充要条件，记作 pq.(3) 如果 p q，q p，那么称 p 是 q 的充分不必要条件/(4) 如果 q p，p q，那么称 p 是 q 的必要不充分条件(5) 如果 p / q，且 q / p，那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作 pq，读作 “p
5、 且 q”(2) 用联结词“或”联结命题 p 和命题 q，记作 pq，读作 “p 或 q”(3) 对一个命题 p 全盘否定记作綈 p，读作“非 p”或“p 的否定” (4) 命题 pq，pq，綈 p 的真假判断pq 中 p、q 有一假为假，pq 有一真为真，p 与非 p 必定是一真一假4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有” “任意” “每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“ x”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为 “xM，p(x) ，读作“对任意 x 属于 M，有 p(x)成立 ”(2
6、) 存在量词与存在性命题短语“有一个” “有些” “存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“ $x”表示含有存在量词的命题，叫做存在性命题存在性命题“存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立”可用符号简记为 $xM，p(x) ，读作“存在一个 x 属于 M，使 p(x)成立” 5. 含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定“xM ， p(x) $xM ， p(x)；$xM ，p(x) “xM ， p(x).备课札记题型 1 否命题与命题否定例 1 (1) 命题“若 ab，则 2a2 b1”的否命题为_；(2) 命题：“若 x2xm 0 没有实根，则 m0”是_(填“真”或“假
7、”)命题；(3) 命题 p：“有些三角形是等腰三角形” ，则 p 是_ 答案：(1) 若 ab，则 2a2 b1 (2) 真 (3) 所有三角形都不是等腰三角形解析：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当 m0 时显然方程有根，其实不然，由 x2xm0 没实根可推得 m0，则 x2xm0 有实根”显然14为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题(3) p 为“对任意 xA，有 p(x)不成立” ，它恰与全称性命题的否定命题相反变 式 训 练把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题(1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知 a、b、c、d 是实数，
8、若 ab，c d，则 acbd.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(2) 原命题：已知 a、b、c、d 是实数，若 ab，c d，则 acbd. 逆命题：已知 a、b、c 、d 是实数，若 acbd，则 ab 且 cd. 否命题：已知 a、b、c 、d 是实数，若 a 与 b，c 与 d 不都相等，则 acbd.逆否命题：已知 a、b、c 、d 是实数，若 acbd，则 a 与 b，c
9、与 d 不都相等题型 2 充分必要条件例 2 已知 p：x 28x200，q：x 22x1m 20(m0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围解： p：x 28x200，得 x2 或 x10，设 Ax|x2 或 x10，q：x 22x1m 20，得 x1m ，或 x1m，设 Bx|x1 m 或 x1m p 是 q 的必要非充分条件， B 真包含于 A，即 m9.1 m 21 m 10) 实数 m 的取值范围为 m9.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）下列四个结论正确的是_(填序号) “x0”是“x|x|0”的必要不充分条件； 已知 a、bR ，则“|ab|a|b|”的充
10、要条件是 ab0； “a0，且 b 24ac 0”是“一元二次不等式 ax2bxc0 的解集是 R”的充要条件； “x1”是“x 21”的充分不必要条件答案：解析： 因为由 x0 推不出 x|x|0，如 x1，x|x|0，而 x|x|0 x0，故正确；因为 a0 时，也有|a b|a|b|，故错误，正确的应该是“|ab| |a| |b|”的充分不必要条件是 ab0；由二次函数的图象可知正确；x1 时，有 x21，故错误，正确的应该是“x1”是“x 21”的必要不充分条件题型 3 全称命题与存在性命题的否定例 3 命题“所有不能被 2 整除的整数都是奇数”的否定是_答案：存在一个不能被 2 整除
11、的整数不是奇数备 选 变 式 （教 师 专 享 ）若命题改为“存在一个能被 2 整除的整数是奇数” ，其否定为_答案：所有能被 2 整除的整数都不是奇数题型 4 求参数范围例 4 已知命题 p：方程 a2x2ax20 在1，1上有解；命题 q：只有一个实数 x满足不等式 x22ax2a 0，若命题“p 或 q”是假命题，求实数 a 的取值范围解：由 a2x2ax20，得(ax2)(ax 1)0，显然 a0， x 或 x .2a 1a x1，1，故 1 或 1，|2a| |1a| |a| 1.由题知命题 q“只有一个实数 x 满足 x22ax2a0” ，即抛物线 yx 22ax2a 与 x 轴只
12、有一个交点， 4a 28a0， a 0 或 a2， 当命题“p 或 q”为真命题时|a|1 或 a0. 命题“p 或 q”为假命题， a 的取值范围为a| 10 1 4a2 0) 12 12由命题 p 和 q 有且仅有一个正确得 a 的取值范围是(， 0) .(12，14. 设数列a n、 bn、c n满足：b na na n2 ，c na n2a n1 3a n2 (n1，2，3，)，求证：a n为等差数列的充分必要条件是c n为等差数列且 bnb n1 (n1，2，3，)证明：必要性：设a n是公差为 d1 的等差数列，则bn1 b n(a n1 a n3 ) (ana n2 ) (an
13、1a n) (an3 a n2 ) d1 d10，所以 bnb n1 (n1，2，3， )成立又 cn1 c n(a n1 a n)2(a n2 a n1 )3(a n3 a n2 ) d12d 1 3d 1 6d 1(常数)(n1， 2，3，)，所以数列c n为等差数列充分性： 设数列c n是公差为 d2 的等差数列，且 bnb n1 (n1，2，3，) c na n2a n 13a n2 ， c n2 a n2 2a n3 3a n4 ， ，得 cnc n2 (a na n2 )2 (a n1 a n3 )3 (a n 2a n4 )b n2b n1 3b n2 . c nc n2 (c
14、nc n1 )(c n1 c n2 ) 2d 2， b n2b n1 3b n2 2d 2， 从而有 bn1 2b n2 3b n3 2d 2， ，得(b n1 b n)2 (b n2 b n1 )3 (b n3 b n2 )0. b n1 b n0，b n2 b n1 0，b n3 b n2 0， 由得 bn1 b n0(n1 ，2，3，) 由此不妨设 bnd 3 (n1，2， 3，) ，则 ana n2 d 3(常数)由此 cna n2a n1 3a n2 cn4a n2a n1 3d 3，从而 cn1 4a n1 2a n2 5d 3，两式相减得 cn1 c n2(a n1 a n) 2
15、d 3，因此 an1 a n (cn1 c n)d 3 d2d 3(常数) (n1，2，3，)，12 12 数列a n为等差数列1. 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题” “否命题” “逆否命题” ；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手2. 充要条件的判断，重在“从定义出发” ，利用命题“若 p，则 q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件” “谁是结论” ，如“A 是 B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是 B”中，A 是结论，B 是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) pq：p、q 中有一个为真，则 pq 为真，即一真全真；(2) pq：p、q 中有一个为假，则 pq 为假，即一假即假；(3) p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反请使用课时训练(A)第 3 课时(见活页)备课札记
