1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式 (对应学生用书(文) 、(理)4950 页)考情分析 考点新知掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切 )，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.1. (必修 4P105 例 1 改编)已知 sin ， ，则 sin2_45 ( 2， 2)答案：2425解析： sin ， ，45 ( 2，2) ，cos .( 2，0) 35 sin22sincos .24252. (必修 4P108 习题 3.2 第 5(2)题改编) 已知 为第二象
2、限角，sincos ，则33cos2 _答案：53解析： sincos ，33 (sincos) 2 ，13 2sincos ，即 sin2 .23 23 为第二象限角且 sin cos 0，33 2k 0，所以 sin2 ，cos2 .45 35所以 sin sin2cos cos2 sin .(2 3) 3 3 45 12 35 32 4 3310备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 ，则 cos2 cos2 coscos_34 2答案：12解析：原式 coscos1 cos22 1 cos22 21 (cos2cos2) coscos 12 21cos()cos( ) cos() c
3、os()221 cos( ) cos() .22 22 ( 22) 22 12题型 3 给值求角例 3 已知 、(0 ，)，且 tan() ，tan ，求 2 的值12 17解： tantan() 0，tan（ ） tan1 tan（ ）tan12 171 1217 13 00，2tan1 tan22131 (13)2 34 00，求 cos .2 2 2解： 为第三象限角，|cos|m， 为第二或四象限角，cos m.2sin cos 0， 为第二象限角，2 2 2cos .2 1 cos2 1 m2题型 4 二倍角公式的应用例 4 (2013盐城二模)已知函数 f(x)4sinxcos(x
4、 ) . 3 3(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值 4， 6解：(1) f(x)4sinx(cosxcos sinxsin ) 2sinxcosx2 sin2x3 3 3 3 3sin2x cos2x2sin .3 (2x 3)所以 T .22(2) 因为 x ，所以 2x ，4 6 6 3 23所以 sin 1，所以 1f(x) 2，12 (2x 3)当 2x ，即 x 时，f(x) min1，3 6 4当 2x ，即 x 时，f(x) max2.3 2 12备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知函数 f(x) 2sin2
5、x2 sinxcosx1.3(1) 求 f(x)的最小正周期及对称中心；(2) 若 x ，求 f(x)的最大值和最小值 6， 3审题视点 逆用二倍角公式，化为正弦型函数再求解解：(1) f(x) sin2xcos2x 2sin ，所以 f(x)的最小正周期为 T .令 sin3 (2x 6) 220，则 x (kZ )，所以 f(x)的对称中心为 (kZ )(2x 6) k2 12 (k2 12，0)(2) 因为 x ，所以 2x .所以 sin 1，所以1f(x) 6，3 6 6 56 12 (2x 6)2.所以当 x 时，f(x)的最小值为1；当 x 时，f(x)的最大值为 2.6 61.
6、 (2013四川)设 sin2sin， ，则 tan2_( 2， )答案： 3解析：由 sin2sin，得 2sincossin.又 ，故 sin0，于是 cos ，(2，) 12进而 sin ，于是 tan ，32 3 tan2 .2tan1 tan2 2（ 3）1 3 32. 已知向量 a(sin，cos )，b(3，4) ，若 a b，则 tan2_答案：247解析： a b， 4sin3cos0， tan ，从而 tan2 .34 2tan1 tan22( 34)1 ( 34)2 2473. 设 为锐角，若 cos ，则 sin(2 )_ ( 6) 45 12答案：17250解析：设
7、，cos ，sin ，sin22sin cos ，cos22cos 21 ，6 45 35 2425 725sin sin sin2cos cos2sin .(2 12) (2 4) 4 4 172504. (2013贵州)已知 sin2 ，则 cos2 _23 ( 4)答案：16解析：因为 sin2 ，所以 cos223 ( 4) (1sin2) .12 1 cos2( 4) 12 161. 已知 sin cos ，且 ，则 cos2_15 2 34答案：725解析：将 sin cos 两边平方，得 sincos ，15 1225所以(sincos) 212sincos ，4925则 sin
8、cos .75又 ，2 34所以 cos0，sin0，所以 sincos ，75故 cos2cos 2sin 2(cossin)(cossin) .7252. 已知 sin ，则 cos _(6 ) 13 (23 2)答案：79解析：由 sin ，得 cos2 12sin 2 ，即 cos ，(6 ) 13 (6 ) (6 ) 79 (3 2) 79所以 cos cos .(23 2) ( (3 2) 793. 若 cos ， x ，求 的值(4 x) 35 1712 74 sin2x 2sin2x1 tanx解：由 x ，得 x 2.1712 74 53 4又 cos ，sin .(4 x)
9、 35 (4 x) 45cosxcos (4 x) 4cos cos sin sin ，(4 x) 4 (4 x) 4 210从而 sinx ，tanx7.7210故原式2sinxcosx 2sin2x1 tanx2( 7210)( 210) 2( 7210)2 1 7 .28754. 已知函数 f(x)sin 2x sinxsin (0)的最小正周期为 .3 (x 2) 2(1) 写出函数 f(x)的单调递增区间；(2) 求函数 f(x)在区间 上的取值范围0， 3解：(1) f(x) sin2x sin2x cos2x sin .因为1 cos2x2 32 32 12 12 (2x 6)
10、12T ，所以 (0)，所以 2，f(x)sin .于是由2 22 2 (4x 6) 122k 4x 2k ，解得 x 2 6 2 k2 12 k2 6(kZ)所以 f(x)的增区间为 (kZ )k2 12，k2 6(2) 因为 x ，所以 4x ，0，3 6 6，76所以 sin ，所以 f(x) .(4x 6) 12，1 0，32故 f(x)在区间 上的取值范围是 .0，3 0，321. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系( 从三角函数名及角入手)；(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用3. 降幂公式是解决含有 cos2x、sin 2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧请使用课时训练(B)第 5 课时( 见活页 )备课札记
