1、三角函数复习建议,江苏省运河中学 侯启伟,电话: 0516 - 81592582 E-mail：,三角函数是中学教材中的重要函数，它的定义和性质有很多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一。,高考考向分析：,2009年江苏高考中三角函数为一大一小两个考查题，所占分值是19分，从2009年全国各地考卷看，三角必考大题，且位置靠前，属容易题。,高考考向分析：,与三角函数的图象和图象变换（如利用图象或图象变换求解析式）有关的问题；,应用三角函数公式，解决三角化简和等式证明的有关问题 ；,解三角形或三角应用问题。,重点考查四类题型：,与三角函数的性质（如判断符号、求最值、求周期、判
2、断奇偶性）有关的问题；,考查三角函数的周期知识,考查向量的基本概念，同时考查同角公式、二倍角公式，考查运算和证明的基本能力等。,立足课本、把握基础,具体复习建议:,强化目标意识、简缩思维过程,加强运算能力、规范解题过程,积累解题方法、领悟数学思想,建议同学们在复习中要把握教材，对教材中要求的基本概念和公式准确理解记忆，并能熟练解决课本习题。,立足课本、把握基础,运算能力体现在对运算策略的灵活选择和设计上, 在熟练掌握课本中的法则、公式及其变形的前提下, 在训练中反思积累优化运算的方法.,加强运算能力、规范解题过程,数学解题就是不断地增强联系和缩小差异的思维过程。应注意从解题的最终目标出发，探寻
3、结论与条件之间的差异和联系。,强化目标意识、简缩思维过程,积累解题方法、领悟数学思想,熟悉三角试题特点，体会整体思想，转化思想和数形结合等思想的应用。,三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射；,三角函数的坐标定义是研究三角函数的基础。,深刻理解三角函数的定义,复习中要注意加强理解知识间的内在联系：,深刻理解三角函数的定义,如三角函数的符号规律、同角公式的推导、三角函数的图象都是与定义或其几何意义紧密联系的。,由三角函数的定义，得,第1问求 的值，运用正切的和角公式；,第2问求 的值，先求出 的值，再根据范围确定角的值。,分析：,“正弦”即“纵坐标”、“余弦”即“横坐标”、
4、“正切”即“纵坐标除以横坐标之商”.,重视三角函数的几何意义,三角函数线揭示了三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系.,如利用单位圆比较三角函数值大小，求三角函数的定义域等.,应明确每个公式的作用、正确选用公式,灵活使用三角变换公式,同角公式,诱导公式,两角和与差的三角函数公式,二倍角公式,要注意公式的正确使用，在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论，因此要细心求证角的范围., 同角公式揭示的是角的不同三角函数值之间的关系, 诱导公式揭示的是 （kZ)与角 之间的三角函数关系.,求任意角的三角函数值时，可以利用诱导公式达到“负角正化，大
5、角小化，钝角锐化”的化简目的。,正确使用诱导公式的关键是公式中符号和名称的确定,如：, 两角和与差的三角函数公式揭示的是同名不同角的函数的运算规律.,公式使用过程中要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用、逆用和变形使用，要注意公式成立的条件.,如将二倍角公式变形为降幂公式；, 二倍角公式揭示的是具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律。,要明确“倍角”的相对性，注意从整体上观察问题。,如 是 的二倍角， 是 的二倍角。,增强目标意识 减缩思维过程,三角函数公式多，变换的形式和方法多，如何确定正确的变形方法和方向是解题的关键。,寻找题目中条件与目标、各个部分在结构、函数名称、角的形
6、式、次数等方面的差异，然后探寻消除差异的途径，实现结构同化。,重视异化同的思想进行思路探索,常用的变换途径有，利用角之间的倍、半、和、差等关系进行变角，将条件角化为目标角、将目标角用条件角表示、降幂与升幂、弦切互化、常值代换等。,掌握三角变换中常用的变换途径,1 .已知锐角, 满足 ，则 _ .,2.若 则 .,熟练掌握三角函数的性质、图象,（1）三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.,求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.,要考虑到分式的分母不为零，偶次根式的被开方数不小于零等，同时还要考虑到三角函数本身的定义域。,可用三角函数的图象或三角函数线解三角不等式（组）。,（2）三角函数的
7、值域问题是三角函数的重要题型,一类是 型：,这要变形成,三角函数的值域问题常见于两类：,一类是三角复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数或二次分式函数在定区间上的值域：,如,常用的一些函数的值域要熟练解决,如,若 ，则,若 为三角形的一个内角，则,（3）三角函数的单调性, 的单调性的确定，基本方法是将 看作整体。,如求增区间可由 解出 的范围。,若 的系数为负数，通常先通过诱导公式处理。, 利用单调性比较函数值的大小，往往先利用对称性或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.,要重视三角函数性质的灵活应用,如求函数 的值域 .,有界性应用,周期性应用,如已知 求,的周期是4，,解
8、析：,共有25个周期，,而每个周期的和,所以,（4）三角函数的图象,图象的特征（特征点、对称轴、对称中心等）对确定函数图象的位置、性态的影响，在研究函数性质时也是值得重视的。, 重视数形结合思想的应用：,如运用三角函数图象研究给定区间上的三角函数的值域等。,关注三角形中的三角变换,（1）三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点,（2009湖南）在锐角ABC中，BC=1，B = 2A， 则 AC 的取值范围为 .,设 ,则 由正弦定理得,由锐角 得， ,解析:,故,又,（2）解斜三角形的主要依据：,设 的三边为 ，对应的三个角为, 角与角关系：,结合诱导公式
9、可减少角的个数. 如, 边与角关系：,余弦定理:,正弦定理:,思路1：化边,解法1：在 中，,由正弦定理及余弦定理，有,化简并整理得：,又由已知,解得，,（2009全国）在 中，内角 的对边长分别为 已知 且 求,（2009全国）在 中，内角 的对边长分别为 已知 且 求,思路2：化角,解法2: 由余弦定理得:,又,所以 ,又,即,由正弦定理得，,由， 解得,代数问题的三角化是值得重视的思想方法；,两点提醒：,也要善于将三角问题代数化.,三角函数和代数、几何知识联系密切，是研究其它各类知识的重要工具，应加强对三角知识工具性的认识。,重视代数问题的三角化,如已知 ，求 的取值范围.,因为,所以存在实数 使得,从而,故其取值范围是,解析：,要善于将三角问题代数化,对于三角函数的值域、最值问题，除了三角函数的图象、性质外，代数化也是值得重视的一种思想。,如通过整体代换将三角问题转化为二次函数、二次分式函数、二次方程的根的分布问题等。,又如在证明三角恒等式、不等式时，通过运用三角函数的定义将三角函数代数化等。,思路1 （代数法）设BC=x, 解三角形，将面积表示为x的函数；,思路2（解析法）建立平面直角坐标系，寻求面积关于动点C坐标（x,y）的函数。,（2008江苏13）满足条件 的三角形的面积的最大值是 .,祝同学们学习进步！,衷心祝愿各位同学 2010年高考取得佳绩！,
