1、习题三 1. 二维随机变量 ),( YX 只能取下列数组中的值：（ 0， 0），（ -1， 1）， 11,3，（ 2， 0），且取这些组值的概率依次为 125,121,31,61 .求这二维随机变量的分布律 ， 并写出关于 X 及关于 Y 的边缘分布律 . 解： 由题意可得 YX, 的联合分布律为 XY 0 31 1 -1 0 121 31 0 61 0 0 2 125 0 0 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 1， 2， 2， 3.从这袋中任取一球后，不 放回袋中，再从袋中任取一球 .设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同 .以 YX, 分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求
2、),( YX 的分布律及 )( YXP . 解： X 可能的取值为 3,2,1 ， Y 可能的取值为 3,2,1 ，相应的，其概率为 .03,3,6134212,3,1211,3,6134123,2,6134122,2,6134121,2,12134113,1,6134212,1,01,1YXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXP或写成 XY 1 2 3 1 0 61 121 2 61 61 61 3 121 61 0 613,32,21,1 YXPYXPYXPYXP 。 3. 箱子中装有 10 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取 2 次 .定义随机变量 Y
3、X, 如下： 10X ,若 第 一 次 取 出 正 品 ,若 第 一 次 取 出 次 品 ,10Y ,若 第 二 次 取 出 正 品 ,若 第 二 次 取 出 次 品 ,分别就下面两种情况（ 1）放回抽样，（ 2）不放回抽样 . 求 ： （ 1）二维随机变量 ),( YX 的联合分布律 ; （ 2）关于 X 及关于 Y 的边缘分布律 ; （ 3） X 与 Y 是否独立，为什么？ 解： （ 1）在放回抽样时， X 可能取的值为 1,0 ， Y 可能取的值也为 1,0 ，且 ,2511010 221,1,2541010 820,1,2541010 281,0,25161010 880,0YXPYX
4、PYXPYXP 或写成 XY 0 1 0 2516 254 1 254 251 在无放回情形下， X、 Y 可能取的值也为 0 或 1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为 ,451910 121,1,458910 820,1,458910 281,0,4528910 780,0YXPYXPYXPYXP 或写成 XY 0 1 0 4528 458 1 458 451 （ 2） 在有放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 54 51 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 54 51 在无放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 54 51 Y 的边缘分布律为 Y 0 1
5、 概率 54 51 （ 3） 在有放回情况下，由于 25160,0 YXP ， 而 2516545400 YPXP ，即 000,0 YPXPYXP ；容易验证 ,101,0 YPXPYXP 111,1,010,1 YPXPYXPYPXPYXP ，由独立性定义知 X 与Y 相互独立。 在无放回情况下，由于 45280,0 YXP ，而 2516545400 YPXP ，易见 000,0 YPXPYXP ，所以 X 与 Y 不相互独立。 4. 设二维随机变量 ),( YX 服从在区域 D 上的均匀分布，其中区域 D 为 x 轴， y 轴及直线y=2x+1 围成的三角形区域 .求：（ 1） ),(
6、 YX 的联合密度函数；（ 2） 110 , 044P X Y ；（ 3）关于 X 及关于 Y 的边缘密度函数；（ 4） X 与 Y 是否独立，为什么？ 解： （ 1） 区域 D 见图 1： 易算得 D 的面积为 4121121 S ， 所以 YX, 的密度函数 yxf , ,0,4 其他 Dyx , YX, 的分布函数 ： y x d xd yyxfyxF , 当 21x 或 0y 时， 0, yxF ； 当 120,021 xyx 时 , 20 2 1 244, yyxydxdyyxF y xy ； 当 12,021 xyx 时， 1444,221120 xxdydxyxF x x； 当
7、10,0 yx 时， 20 02 1 24, yydxdyyxFy y ； 当 1,0 yx 时， 0 21 120 14, x dydxyxF（ 2） X 的边缘密度函数为 dyyxfxf X , = ,0 ,4120 x dy其他021 x = ,0 ,124 x其他021 x y 1 -1 21 0 1 x 图 1 Y 的边缘密度函数为 dxyxfyfY , = ,0,4021y dx 其他 10 y = ,0 ,12 y 其他 10 y （ 3） 431,41 f，而3431,241 YX ff，易见 314131,41 YX fff，所以 X 与 Y 不相互独立。 5. 设 随机变量
8、 X ， Y 是相互独立且分别具有下列分布律： X -2 -1 0 0.5 概率 41 31 121 31 Y -0.5 1 3 概率 21 41 41 写出表示 ),( YX 的联合分布律 . 解： 由于 X 与 Y 相互独立，因此 ,3,2,1,4,3,2,1, jiyYPxXPyYxXP jiji 例如 8121415.025.0,2 YPXPYXP 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 XY -0.5 1 3 -2 81 161 161 -1 61 121 121 0 241 481 481 0.5 61 121 121 6. 设二维随机变量 ),( YX 的联合密度函数为 (3 4
9、)e( , )0xykf x y , 0, 0,xy其 他 ,求：（ 1）系数k;（ 2） )20,10( YXP ;（ 3）证明 X 与 Y 相互独立 . 解：（ 1） k 必须满足 1, dxdyyxf ，即 10 430 dxkedy yx ，经计算得 12k ； （ 2） 8320 10 43 111220,10 eedxedyYXP yx； （ 3）关于 X 的边缘密度函数 ： dyyxfxf X , ,0 ,120 43 dye yx 其他 0x = ,0 ,33xe 其他 0x 同理可求得 Y 的边缘密度函数为 yfY ,0 ,44ye 其他 0x 易见 yxyfxfyxf YX
10、 , ，因此 X 与 Y 相互独立。 7. 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量， X 服从 0,0.2 上的均匀分布， Y 服从参数为 5的指数分布，求 ： ),( YX 的联合密度函数及 )( YXP . 解： 由均匀分布的定义知 xfX ,0,5 其他 2.00 x 由指数分布的定义知 yfY ,0 ,55ye 其他 0y 因为 X 与 Y 独立，易得 YX, 的联合密度函数 yfxfyxf YX, ,0 ,255ye 其他 0,2.00 yx 概率 G d xd yyxfYXP ,， 其中区域 yxyxG |, 见图 2，经计算有 12.00 52.00 0 5 1525 edxedy
11、edxYXP xx y。 8. 已知二维随机变量 ),( YX 的联合密度函数为 0 )1(),( yxkyxf , 0 1, 0 ,x y x 其 他 ,，（ 1）求常数 k;（ 2）分别求关于 X 及关于 Y 的边缘密度函数；（ 3） X 与 Y 是否独立？为什么 . 解： （ 1） k 满足 1, dxdyyxf ，即 10 0 11x ydyxkdx 解得 24k ； （ 2） X的边缘密度函数 dyyxfxf X , ,0 ,1240 dyyxx 其他 10 x = ,0 ,1122 xx 其他 10 x y 0.2 x 图 2 Y的边缘密度函数为 yfY ,0 ,1241 y yd
12、xx 其他 10 y = ,0 ,1122yy 其他 10 y （ 3）3141212441,21 f，而 16271694112,23214112 yfxfYX，易见 412141,21 YX fff，因此 X与 Y不相互独立。 9. 设随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 XY 0 1 0 252 b 1 a 253 2 251 252 且 530|1 XYP ， （ 1） 求常数 ba, 的值； （ 2） 当 ba, 取（ 1）中的值时， X 与 Y是否独立？为什么？ 解 ： （ 1） ba, 必须满足 2131 1j i ijp，即 1252251253252 ab ，可推出2517b
13、a ，另外由条件概率定义及已知的条件得 5325201,00|1 bbXP YXPXYP 由此解得 253b ，结合 2517ba 可得到 2514a ， 即 2532514ba （ 2） 当 253,2514 ba 时，可求得 25170,2550 YPXP ，易见 002520,0 YPXPYXP 因此， X 与 Y 不独立。 10. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 3,2,2,1 。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以 X、 Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求当 2Y 时 X 的条件分布律。 解 ：易知 2122
14、YPp，因此 2Y 时 X 的条件分布律为 X|Y=2 1 2 3 概率 31212pp 31222pp 31232pp 11. 随机变量 YX, 在 D 上服从均匀分布，其中 D 为 x 轴、 y 轴及直线 12 xy 围成的三角形区域，求当 021, xxX时 Y 的条件密度函数。 解 ： X 的边缘密度函数为（由第 4 题所求得） xfX ,0 ,124 x 其他021 x 由条件密度函数的定义知当 021, xxX时 Y 的条件密度函数为 xf yxfxyf XXY ,| ,0,124 4x 其他 120 xy = ,0,121x 其他 120 xy 12. 设二维随机变量 YX, 的
15、分布律 XY 41 41 81 81 81 81 求以下随机变量的分布律： （） YX ； （） YX ； （） X2 ； （） XY 。 解 ： 概率 41 41 81 81 81 81 YX, 1, 2,1 3,1 1,2 2,2 3,2 1,3 2,3 3,3 YX YX - -2 1 0 -1 2 1 0 XY 1 2 3 2 4 6 3 6 9 从而得到 （ 1） YX 概率 41 83 41 81 （） YX - -1 0 1 2 概率 81 41 41 41 81 （）从联合分布律可求得的边缘分布律为 概率 85 81 41 由此得 X2 的分布律为 概率 85 81 41 （）
16、 XY 1 2 3 6 概率 41 83 41 81 13. 设随机变量、相互独立， 41,1,41,1 BYBX, （） 记随机变量 YXZ ，求 Z 的分布律； （） 记随机变量 XU 2 ，求 U 的分布律。 从而证实：即使、服从同样的分布， YX 与 X2 的分布并不一定相同， 直观地解释这一结论。 解 ： （）由于 41,1,41,1 BYBX，且与独立，由分布可加性知 41,2 BYX ，即 2,1,0,43412 2 kkkYXPkZP kk,经计算有 Z 概率 169 166 161 （）由于 X 概率 41 43 因此 XU 2 概率 41 43 易见 YX 与 X2 的分布
17、并不相同。直观的解释是的 YX 与 X2 的取值并不相同，这是因为 X 与 Y 并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也 不同。 14. 设二维随机变量 YX, 的联合分布律为 XY 91 92 91 92 92 91 （） 求 YXU ,max 的分布律； （） 求 YXV ,min 的分布律。 解 ： （） 随机变量 U 可能取到的值为，中的一个，且 ;95919292003,32,31,33,23,13,m a x3;31919202,21,22,12,m a x2;911,11,m a x1YXPYXPYXPYXPYXPYXPUPYXPYXPYXPYXPUPYXPYXPUP综合有 U
18、 概率 91 31 95 （） 随机变量 V 可能取到的值为，中的一个，且 ;95929200911,31,23,12,11,11,m i n1YXPYXPYXPYXPYXPYXPVP-2 0 2 x y 2 图 3.3 图 6.3 -2 0 2 x 图 3.1 y 2 -2 0 2 x y 2 同理可求得 ,913,312 VPVP 综合有 V 概率 95 31 91 15. 设二维随机变量 YX, 服从在上的均匀分布，其中为直线 0,0 yx ， 2,2 yx 所围成的区域，求 XY 的分布函数及密度函数。 解 ： YX, 的联合密度函数为 1 , 0 2 , 0 2 ;( , ) 40,
19、xyf x y 其他.设 YXZ ，则 Z 的分布函数 zzDZdxdyyxfzYXPzZPzF,其中区域 zyxyxD z :, ， 当 2z 时，积分区域见图 3.1，此时 zDZ dxdyzF 00当 02 z 时，积分区域见 zD 图 3.2，此时 22 281221414141,zzDdx dydx dyyxfzFzDDZzz的面积区域其中 zD 是区域 zD 限在 20,20 yx中的那部分。 当 20 z 时，积分区域 zD 见图 3.3，此时 -2 0 2 x y 2 图 3.4 2228112214414141,zzDdx dydx dyyxfzFzDDZzz的面积区域其中
20、zD 是区域 zD 限在 20,20 yx 中的那部分。 当 2z 时，积分区域 zD 见图 3.4，此时 1, zDZ dxdyyxfzF。 综合有 zFZ ,1,2811,281,022zz,2;20;02;2zzzzZ 的密度函数 zFzf ZZ ,0,241,241zz.;20;02其他zz16. 设 YX, 的密度函数为 yxf , ，用函数 f 表达随机变量 YX 的密度函数。 解 ： 设 YXZ ,则 Z 的分布函数 xzzyxZ d x d yyxfdxd x d yyxfzYXPzZPzF ,。 对积分变量 y 作变换 yxu ，得到 zxz duxuxfdyyxf , 于是 dxduxuxfzF zZ ,，交换积分变量 ux, 的次序得 zZ dudxxuxfzF , 从而， Z 的密度函数为 dxxzxfzfZ ,， 把 X 与 Y 的地位对换，同样可得到 Z 的密度函数的另一种形式 dyyyzfzfZ ,。
