1、 1 第一章 随机事件与概率 习题 1.1 1 写出下列随机试验的样本空间： （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个 解： （1） = (0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （2） = (x 1 , x 2 , x 3
2、)：x 1 , x 2 , x 3= 1, 2, 3, 4, 5, 6； （3） = (1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，(0, 0, , 0, 1)， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （4） = BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R； （5） = BW，BR，WB，WR，RB，RW， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R 2 先抛一枚硬币，若出现正面（记为 Z） ，则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为 F） ，则再抛 一枚硬币，试验停止那么该试验的样本空间是什么？ 解： =
3、 Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF 3 设 A, B, C 为三事件，试表示下列事件： （1）A, B, C都发生或都不发生； （2）A, B, C中不多于一个发生； （3）A, B, C中不多于两个发生； （4）A, B, C中至少有两个发生 解： （1） C B A ABC U ； （2） C B A C B A C B A C B A U U U ； （3） ABC或 C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4） ABC BC A C B A C AB U U U 4 指出下列事件等式成立的条件： （1）
4、A B = A； （2）AB = A 解： （1）当 A B 时，A B = A； （2）当 A B 时，AB = A 5 设 X 为随机变量，其样本空间为 = 0 X 2，记事件 A = 0.5 X 1，B = 0.25 X 1.5，写出 下列各事件： （1） B A ； （2） B A U ； 2 （3） AB； （4） B A U 解： （1） 5 . 1 1 5 . 0 25 . 0 2” ，C =“X = 0” ，D =“X = 4” 解：A = (1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)，B = (1, 1, 1)，C = (0, 0, 0)，D = 7 试问下列命
5、题是否成立？ （1）A (B C) = (A B) C； （2）若 AB = 且 C A，则 BC = ； （3）(A B) B = A； （4）(A B) B = A 解： （1）不成立， C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U ) ( ) ( ) ( ) ( = = = = = ； （2）成立，因 C A，有 BC AB = ，故 BC = ； （3）不成立，因 A B A B A B B B A B B A B B A = = = = U U U ) ( ) ( ； （4）不成立，因 A B A B B B A B B A
6、B B A = = = U U U U U ) )( ( ) ( 8 若事件 ABC = ，是否一定有 AB = ？ 解：不能得出此结论，如当 C = 时，无论 AB 为任何事件，都有 ABC = 9 请叙述下列事件的对立事件： （1）A =“掷两枚硬币，皆为正面” ； （2）B =“射击三次，皆命中目标” ； （3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品” 解： （1） = A “掷两枚硬币，至少有一个反面” ； （2） = B “射击三次，至少有一次没有命中目标” ； （3） = C “加工四个零件，皆为不合格品” 10证明下列事件的运算公式： （1） B A AB A U = ； （2）
7、 B A A B A U U = A B (A B) C C A (B C) C A B 3 证： （1） A A B B A B A AB = = = ) ( U U ； （2） B A B A B A A A B A A U U U U U = = = ) ( ) )( ( 11设 F 为一事件域，若 A nF ，n = 1, 2, ，试证： （1） F ； （2）有限并 = U n i i A 1 F ，n 1； （3）有限交 = I n i i A 1 F ，n 1； （4）可列交 + = I 1 i i A F ； （5）差运算 A 1 A2 F 证： （1）由事件域定义条件 1，知
8、 F ，再由定义条件 2，可得 = F ； （2）在定义条件 3 中，取 A n + 1= A n + 2= = ，可得 = = = U U 1 1 i i n i i A A F ； （3）由定义条件 2，知 n A A A , , , 2 1 L F ，根据（2）小题结论，可得 = U n i i A 1 F ， 再由定义条件 2，知 = U n i i A 1 F ，即 = I n i i A 1 F ； （4）由定义条件 2，知 L L , , , , 2 1 n A A A F ，根据定义条件 3，可得 = U 1 i i A F ， 再由定义条件 2，知 = U 1 i i A F
9、 ，即 = I 1 i i A F ； （5）由定义条件 2，知 2 A F ，根据（3）小题结论，可得 2 1 A A F ，即 A 1 A2 F 4 习题 1.2 1 对于组合数 r n ，证明： （1） = r n n r n ； （2） + = r n r n r n 1 1 1 ； （3） n n n n n 2 1 0 = + + + L ； （4） 1 2 2 2 1 = + + + n n n n n n n L ； （5） + = + + + n b a b n a n b a n b a 0 1 1 0 L ，n = mina, b； （6） = + + + n n n n
10、 n n 2 1 0 2 2 2 L 证： （1） = = = r n r r n n r n n r n n r n n ! )! ( ! )! ( )! ( ! ； （2） = = + = + = + r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )! ( ! ! ) ( )! ( ! )! 1 ( )! 1 ( ! )! 1 ( )! ( )! 1 ( )! 1 ( 1 1 1 ； （3）由二项式展开定理 n n n n y n n y x n x n y x + + + = + L 1 1 0 ) ( ，令 x = y = 1，得
11、n n n n n 2 1 0 = + + + L ； （4）当 1 r n 时， = = = = 1 1 )! ( )! 1 ( )! 1 ( )! ( )! 1 ( ! )! ( ! ! r n n r n r n n r n r n r n r n r r n r ， 故 1 2 1 1 1 1 0 1 2 2 1 = + + + = + + + n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因 a a x a a x a a x + + + = + L 1 0 ) 1 ( ， b b x b b x b b x + + + = + L 1 0 ) 1 ( ，
12、 两式相乘，其中 xn 的系数为 + + + 0 1 1 0 b n a n b a n b a L ， 5 另一方面 b a b a b a x a b a x b a b a x x x + + + + + + + + = + = + + L 1 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ， 其中 xn 的系数为 + n b a ，即 + = + + + n b a b n a n b a n b a 0 1 1 0 L ； （6）在（5）小题结论中，取 a = b = n，有 = + + + n n n n n n n n n n n 2 0 1 1 0 L ， 再由（1）小题结论，知 =
13、 r n n r n ，即 = + + + n n n n n n 2 1 0 2 2 2 L 2 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率 解：样本点总数 n = 2 3= 8， 事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面” ，其所含样本点个数为 1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为 k = 8 1 = 7， 故所求概率为 8 7 ) ( = A P 3 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率 解：将所有正整数看作两个类“偶数” 、 “奇数” ，样本点总数 n = 2 2= 4， 事件“两个都是偶数”所含样本点个数为 1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为 1， 即事件
14、A =“它们的和为偶数”所含样本点个数 k = 2， 故所求概率为 2 1 4 2 ) ( = = A P 4 掷两枚骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为 6； （2）点数之和不超过 6； （3）至少有一个 6 点 解：样本点总数 n = 6 2= 36 （1）事件 A 1=“点数之和为 6”的样本点有(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数 k 1= 5， 故所求概率为 36 5 ) ( 1 = A P ； （2）事件 A 2=“点数之和不超过 6”的样本点有 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (
15、2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数 k 2= 15， 故所求概率为 12 5 36 15 ) ( 2 = = A P ； （3）事件 A 3=“至少有一个 6 点”的样本点有 (1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数 k 3= 11， 故所求概率为 36 11 ) ( 3 = A P 5 考虑一元二次方程 x2+ Bx + C
16、 = 0，其中 B, C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方 程有实根的概率 p 和有重根的概率 q 解：样本点总数 n = 6 2= 36， 事件 A 1=“该方程有实根” ，即 B2 4C 0，样本点有 6 (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)， 即个数 k 1= 19， 故 36 19 1 = = n k p 事件
17、 A 2=“该方程有重根” ，即 B2 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数 k 2= 2， 故 18 1 36 2 2 = = = n k q 6 从一副 52 张的扑克牌中任取 4 张，求下列事件的概率： （1）全是黑桃； （2）同花； （3）没有两张同一花色； （4）同色 解：样本点总数 270725 1 2 3 4 49 50 51 52 4 52 = = = n ， （1）事件 A 1=“全是黑桃”所含样本点个数 715 1 2 3 4 10 11 12 13 4 13 1 = = = k ， 故所求概率为 0026 . 0 270725 715 ) ( 1 =
18、= A P ； （2）事件 A 2=“同花”所含样本点个数 2860 1 2 3 4 10 11 12 13 4 4 13 4 2 = = = k ， 故所求概率为 0106 . 0 270725 2860 ) ( 2 = = A P ； （3）事件 A 3=“没有两张同一花色”所含样本点个数 k 3= 13 13 13 13 = 28561， 故所求概率为 1055 . 0 270725 28561 ) ( 3 = = A P ； （4）事件 A 4=“同色”所含样本点个数 29900 1 2 3 4 23 24 25 26 2 4 26 2 4 = = = k ， 故所求概率为 1104
19、. 0 270725 29900 ) ( 4 = = A P 7 设 9 件产品中有 2 件不合格品从中不返回地任取 2 个，求取出的 2个中全是合格品、仅有一个合格 品和没有合格品的概率各为多少？ 解：样本点总数 36 1 2 8 9 2 9 = = = n ， 事件 A 1=“全是合格品”所含样本点个数 21 1 2 6 7 2 7 1 = = = k ，故所求概率为 12 7 36 21 ) ( 1 = = A P ； 事件 A 2= “仅有一个合格品” 所含样本点个数 14 2 7 1 2 1 7 1 = = = k ， 故所求概率为 18 7 36 14 ) ( 2 = = A P
20、； 7 事件 A 3=“没有合格品”所含样本点个数 1 2 2 3 = = k ，故所求概率为 36 1 ) ( 3 = A P 8 口袋中有 7个白球、3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：样本点总数 45 1 2 9 10 2 10 = = = n ， 事件 A =“两个球颜色相同”所含样本点个数 24 1 2 2 3 1 2 6 7 2 3 2 7 = + = + = k ， 故所求概率为 15 8 45 24 ) ( = = A P 9 甲口袋有 5 个白球、3 个黑球，乙口袋有 4 个白球、6 个黑球从两个口袋中各任取一球，求取到的 两个球颜色相同的概率 解：样
21、本点总数 n = 8 10 = 80， 事件 A =“两个球颜色相同”所含样本点个数 k = 5 4 + 3 6 = 38， 故所求概率为 40 19 80 38 ) ( = = A P 10从 n 个数 1, 2, , n 中任取 2 个，问其中一个小于 k（1 k n） ，另一个大于 k 的概率是多少？ 解：样本点总数 ) 1 ( 2 1 2 = = n n n N ， 事件 A = “其中一个小于 k，另一个大于 k”所含样本点个数 K = (k 1)(n k)， 故所求概率为 ) 1 ( ) )( 1 ( 2 ) ( = n n k n k A P 11口袋中有 10 个球，分别标有号
22、码 1到 10，现从中不返回地任取 4 个，记下取出球的号码，试求： （1）最小号码为 5 的概率； （2）最大号码为 5 的概率 解：样本点总数 210 1 2 3 4 7 8 9 10 4 10 = = = n ， （1）事件 A 1=“最小号码为 5”所含样本点个数 10 1 2 3 3 4 5 3 5 1 = = = k ， 故所求概率为 21 1 210 10 ) ( 1 = = A P ； （2）事件 A 2=“最大号码为 5”所含样本点个数 4 1 2 3 2 3 4 3 4 2 = = = k ， 故所求概率为 105 2 210 4 ) ( 2 = = A P 12掷三颗骰子
23、，求以下事件的概率： （1）所得的最大点数小于等于 5； （2）所得的最大点数等于 5 解：样本点总数 n = 6 3= 216， 8 （1） 事件 A 1= “所得的最大点数小于等于 5” 所含样本点个数 k 1= 5 3= 125， 故所求概率为 216 125 ) ( 1 = A P ； （2） 事件 A 2= “所得的最大点数等于 5” 所含样本点个数 k 2= 5 3 4 3= 61， 故所求概率为 216 61 ) ( 2 = A P 13把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率 解：样本点总数 n = 10!， 事件 A =“其中指定的四本书放在一起”所含
24、样本点个数 k = 4! 7!， 故所求概率为 30 1 8 9 10 1 2 3 4 ! 10 ! 7 ! 4 ) ( = = = A P 14n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率 解：样本点总数 N = (n 1)!， 事件 A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数 k = 2! (n 2)!， 故所求概率为 1 2 )! 1 ( )! 2 ( ! 2 ) ( = = n n n A P 15同时掷 5 枚骰子，试证明： （1）P每枚都不一样 = 0.0926； （2）P一对 = 0.4630； （3）P两对 = 0.2315； （4）P三枚一样 = 0.1543（此题有误
25、） ； （5）P四枚一样 = 0.0193； （6）P五枚一样 = 0.0008 解：样本点总数 n = 6 5= 7776， （1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数 720 2 3 4 5 6 5 6 1 = = = A k ， 故 P每枚都不一样 0926 . 0 7776 720 = = ； （2）事件“一对”所含样本点个数 3600 3 4 5 1 2 4 5 6 3 5 2 5 1 6 2 = = = A C A k ， 故 P一对 4630 . 0 7776 3600 = = ； （3）事件“两对”所含样本点个数 1800 4 1 2 2 3 1 2 4 5 1 2 5 6 1
26、4 2 3 2 5 2 6 3 = = = A C C C k ， 故 P两对 2315 . 0 7776 1800 = = ； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数 1500 5 1 2 3 3 4 5 6 5 2 2 3 5 1 6 4 = = = C A k ， 故 P三枚一样 1929 . 0 7776 1500 = = ； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数 1200 4 5 1 2 3 3 4 5 6 2 5 3 5 1 6 4 = = = A C A k ， 故 P三枚一样且另两枚不一样 1543 . 0 7776 1200 = = ； （5）事件“四枚一样”所含样本点
27、个数 150 5 1 2 3 4 2 3 4 5 6 1 5 4 5 1 6 5 = = = A C A k ， 9 故 P四枚一样 0193 . 0 7776 150 = = ； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数 6 1 6 1 5 5 5 1 6 6 = = = A C A k ， 故 P五枚一样 0008 . 0 7776 6 = = 16一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相 接求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率 解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数 n = 5 3 = 15， 事件 A =“放开手后
28、六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数 k = 4 2 = 8， 故所求概率为 15 8 ) ( = A P 17把 n 个“0”与 n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率 解：样本点总数 ! ! )! 2 ( 2 n n n n n N = = ， 事件 A =“没有两个1连在一起”所含样本点个数 1 1 + = + = n n n k ， 故所求概率为 )! 2 ( )! 1 ( ! ) ( n n n A P + = 18设 10 件产品中有 2 件不合格品，从中任取 4 件，设其中不合格品数为 X，求 X 的概率分布 解：样本点总数 210 1 2 3 4 7 8 9 1
29、0 4 10 = = = n ， 事件 X = 0 所含样本点个数 70 1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 8 0 = = = k ， 故所求概率为 3 1 210 70 0 = = = X P ； 事件 X = 1 所含样本点个数 112 2 1 2 3 6 7 8 1 2 3 8 1 = = = k ， 故所求概率为 15 8 210 112 1 = = = X P ； 事件 X = 2 所含样本点个数 28 1 1 2 7 8 2 2 2 8 2 = = = k ， 故所求概率为 15 2 210 28 2 = = = X P 19n 个男孩，m个女孩（m n + 1）随机
30、地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率 解：样本点总数 ! ! )! ( m n m n n m n N + = + = ， 10 事件 A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数 )! 1 ( ! )! 1 ( 1 m n m n m n k + + = + = ， 故所求概率为 ) 2 ( ) 1 )( ( ) 2 ( ) 1 ( )! 1 ( )! ( )! 1 ( ! ) ( + + + + = + + + = n m n m n m n n n m n m n n n A P L L 20将 3 个球随机放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数 X 的概率分布 解：样本点总数
31、 n = 4 3= 64， 事件 X = 1 所含样本点个数 24 2 3 4 3 4 1 = = = A k ， 故所求概率为 8 3 64 24 1 = = = X P ； 事件 X = 2 所含样本点个数 36 3 3 4 1 3 2 3 1 4 2 = = = A C A k ， 故所求概率为 16 9 64 36 2 = = = X P ； 事件 X = 3 所含样本点个数 4 1 4 3 = = A k ， 故所求概率为 16 1 64 4 3 = = = X P 21将 12 只球随意地放入 3个盒子中，试求第一个盒子中有 3只球的概率 解：样本点总数 n = 3 12= 531
32、441， 事件 A =“第一个盒子中有 3 只球”所含样本点个数 112640 512 1 2 3 10 11 12 2 3 12 9 = = = k ， 故所求概率为 2120 . 0 531441 112640 ) ( = = A P 22将 n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入 N 个盒子中，试求： （1）某个指定的盒子中恰好有 k 个球的概率； （2）恰好有 m个空盒的概率； （3）某指定的 m个盒子中恰好有 j 个球的概率 解：样本点总数为 N 取 n 次的重复组合，即 )! 1 ( ! )! 1 ( 1 + = + = N n n N n n N M ， （1）事件
33、 A 1=“某个指定的盒子中恰好有 k 个球”所含样本点个数为 N 1 取 n k 次的重复组合，即 )! 2 ( )! ( )! 2 ( 2 1 ) ( 1 1 + = + = + = N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )! 2 ( )! ( )! 1 ( )! 1 ( ! )! 2 ( ) ( 1 + + + + = + + = k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ； （2）事件 A 2=“恰好有 m个
34、空盒”所含样本点个数可分两步考虑： 首先 N 选 m次的组合，选出 m个空盒，而其余 N m个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的 n (N m)个球任意放入这 N m个盒中， 即 N m取 n (N m)次的重复组合， 则 )! 1 ( )! ( )! ( ! )! 1 ( ! ) ( 1 2 + = = m N N m n m N m n N m N n n m N K ， 11 故所求概率为 )! 1 ( )! 1 ( )! ( )! ( ! )! 1 ( ! )! 1 ( ! ) ( 2 + + = n N m N N m n m N m N n n N A P ； （3）事件
35、A 3=“某指定的 m个盒子中恰好有 j 个球”所含样本点个数为 m取 j 次的重复组合乘以 N m取 n j 次的重复组合， 则 )! 1 ( )! ( )! 1 ( ! )! 1 ( )! 1 ( 1 ) ( ) ( 1 3 + + = + + = m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为 )! 1 ( )! 1 ( )! ( )! 1 ( ! )! 1 ( ! )! 1 ( )! 1 ( ) ( 3 + + + = n N m N j n m j N n j m n N j m A P 23在区间(0, 1)中随机地取两个数
36、，求事件“两数之和小于 7/5”的概率 解：设这两个数分别为 x 和 y，有 = (x, y)|0 x 1, 0 y 1，得 m( ) = 1， 事件 A =“两数之和小于 7/5” ，有 A = (x, y)|0 x + y 7/5， 得 50 41 5 3 2 1 1 ) ( 2 = = A m ， 故所求概率为 50 41 ) ( ) ( ) ( = = m A m A P 24甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的如果 甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概 率是多少？ 解：设甲乙两艘轮船到达
37、码头的时间分别为 x和 y 小时， 有 = (x, y)|0 x 24, 0 y 24，得 m( ) = 24 2= 576， 事件 A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出” ， 若甲先到，有 x + 1 y 24；若乙先到，有 y + 2 x 24； 即 A = (x, y)|0 x 24, 0 y 24, x + 1 y 24 或 y + 2 x 24， 得 2 1013 22 2 1 23 2 1 ) ( 2 2 = + = A m ， 故所求概率为 1152 1013 ) ( ) ( ) ( = = m A m A P 25在平面上画有间隔为 d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长
38、为 a, b, c（均小于 d）的三角形，求 三角形与平行线相交的概率 解：不妨设 a b c，三角形的三个顶点分别为 A, B, C，其对边分别为 a, b, c，相应三个角也记为 A, B, C， 设 O为 BC的中点，点 O与最近的一条平行线的距离为 x， 从点 O向三角形外作与平行线平行的射线 OD， 若 B, C 中点 C 更靠近某条平行线，则记 = COD，否则记 = BOD， 有 , 2 0 | ) , ( = d x x ，得 m( ) = d， 事件 E =“三角形与平行线相交” ， 当 0 时，如果 C ，事件 E 就是 OC 与平行线相交； 如果 0 C，事件 E 就是
39、OC 或 AC与平行线相交； 当 0 时，如果 B，事件 E就是 OB 与平行线相交； 如果B 0，事件 E就是 OB 或 AB 与平行线相交 x y 0 1 1 7/5 A x y 0 24 24 1 2 A a b c C A B d O x D a b c C A B d O x D 12 记 sin 2 , | ) , ( 1 a x C x E = ， ) sin( sin 2 , 0 | ) , ( 2 + = C b a x C x E ， sin 2 , | ) , ( 3 a x B x E = ， ) sin( sin 2 , 0 | ) , ( 4 + + = B c a x B x E ， 有 E = E 1 E 2 E 3 E 4 ， 得 + + + = 0 ) sin( sin 2 sin 2 ) ( B B d B c a d a E m + + + 0 sin 2 ) sin( sin 2 C C d a d C b a + + + + +
