1、线性规划 Linear Programming（LP）,第六章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划对偶理论,线性规划 Linear Programming（LP）,对偶问题？,线性规划的对偶理论对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？ 且看下面详解,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论 引例俩家具制
2、造商间的对话：,唉!我想租您的木工和油漆工一 用。咋样？价格嘛好说， 肯定不会让您兄弟吃亏讪。,王老板做家具赚了大钱，可惜我老李有高科技产品，却苦于没有 足够的木工和油漆工咋办？只有租咯。,Hi：王老板，听说 近来家具生意好惨了， 也帮帮兄弟我哦!,家具生意还真赚钱，但是现在的手机生意这么好，不如干脆把我的木工和油漆 工租给他，又能 收租金又可做生意。,价格嘛好商量，好商量。只是.,王 老 板,李 老 板,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论,王老板的家具生产模型： x1 、 x2是桌、椅生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 max Z = 50x1
3、+ 30x2 s.t. 4x1+3x2 120（木工） 2x1+ x2 50 （油漆工）x1，x2 0 原始线性规划问题，记为（P）,王老板的资源出租模型： y1、 y2单位木、漆工出租价格。 W是资源出租租金总收入。 min W =120y1 + 50y2 s.t. 4y1+2y2 503y1+ y2 30y1，y2 0 对偶线性规划问题，记为（D）,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引力（李老
4、板所付出的总租金W最少）。,按时下最流行的一个词，叫什么来着,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为将其称为原始问题，记为P,对应第一个约束条件对应第二个约束条件 （P） max Z = 2X1 + X2 5X2 15 对应第一个对偶变量 y1 6X1 + 2X2 24 对应第二个对偶变量 y2 X1 + X2 5 对应第三个对偶变量 y3 X1 ， X2 0,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论下面我们从另一角度提出一个新的问题。这个问题我们将
5、其称为原始问题的对偶问题，记为D,（D） min w = 15y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 25y1 + 2y2 + y3 1y1， y2， y3 0,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对称形式下对偶问题的一般形式,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论非对称形式下对偶问题的一般形式 原始（对偶）对偶（原始）关系表,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论 对偶问题的基本性质 对称性原始问题与对偶问题是两个互为对偶的问题。 弱对偶性两个问题的可行解对应的目标函数值互
6、为上下界。 最优性两个问题最优解的目标函数值必相等。 强对偶性两个问题都有可行解时则两个问题必都有最优解。 互补松弛性两个问题最优解中，一个问题中某个变量取值非零，则该变量在对偶问题中对应的某个约束条件必为紧约束；反之，如果约束条件为松约束，则其对应的对偶变量一定取值为零。因此，该定理又称为松紧定理。,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论 原问题与对偶问题解的对应关系表,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶问题解的经济解释影子价格我们已经明白原始线性规划与对偶线性规划之间形式上的对偶以及他们的解之间的关系，那么对偶
7、问题的解除了前面引例中提到的租金这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶问题解的经济含义分析：从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ，和检验数 CN - CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。 设B 是 max Z = CX | AX b，X 0 的最优基矩阵，由强对偶定理知Z* =CX*= CBB-1b=Y*b=W* 由此, Z* b, Z* bi,（ Y*b） bi,= CBB-1= Y* 或,=,= yi*,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶
8、理论对偶问题解的经济含义：由上面分析对偶问题解中变量 yi* 的经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处于最优的配置时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称其为第 i 种“资源”的影子价格。这正是经济学中机会价值的含义。下面图解阐述影子价格的直观含义：,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格我们首先采用单纯形法求解得王老板的家具生产模型（P）的最优解、最优基矩阵如下,（P）的最优解为X* =（15，20，0，0）T,B =（p2 ，
9、p1）=,4 1 2,（D）的最优解为Y* = CBB-1 =（5，15）,CB =（C2，C1） =（30，50）,B-1=,1 -2 -1/2 3/2,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格 王老板的家具生产模型的图解：,x1,x2,D,可行域,1350=50x1+30x2,（15，20）,（P）max Z = 50x1+30x2s.t. 4x1+ 3x2 1202x1+ x2 50x1，x2 0,2x1+ x2 = 50,4x1+3x2 = 120,L0： 50x1+30x2,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对
10、偶理论影子价格的直观含义：,x1,x2,4x1+3x2 = 120,2x1+ x2 = 50,L0： 50x1+30x2,D,可行域,（P）max Z = 50x1+30x2s.t. 4x1+3x2 1202x1+ x2 50x1，x2 0,2x1+ x2 = 51,4x1+3x2 = 121,1365=50x1+30x2,1355=50x1+30x2,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格的特点：影子价格是对偶解的一个十分形象的名称，它既表明对偶解是对系统内部资源在当前的最优利用配置下的一种客观估价，又表明它是一种虚拟的价格（或价值的影象）而不是真
11、实的价格。特点1、影子价格是对系统资源的一种内部最优估价，只有当系统 达到最优状态时才可能赋予资源这种价值。特点2、系统资源的一种动态价格体系，影子价格的大小与系统的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。系统环境的任何变化都可能会引起影子价格的变化。,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格的特点：特点3、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度。如果某种资源在系统内供大于求，尽管它有实实在在的市场价格，但它在系统内的影子价格却为零，而影子价格越高，资源在系统内越稀缺。特点4、影子价格是一种边际价值，其与经济学中的边际成本的概念相同。因而，在经济
12、管理中十分重要的应用价值。企业管理者可以根据资源在企业内部的影子价格的大小决定企业的经营策略。特点5、对偶解准确的经济意义与线性规划模型构造方法有关，模型构造方法的不同有时会导致对偶解的不同经济解释。,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法思路,max Z =2x1+x2 s.t. x1+ x2+ x3 = 52x2+ x3 54x2+6x3 9x1 ，x2 ，x3 0,max Z =2x1+x2 s.t. x1+ x2+ x3 = 52x2+ x3+ x4 = 54x2+6x3 -x5= 9x1 ，x2 ，x3 ， x4 ， x5 0,准典式：
13、max Z = 10-1x2 -2x3 s.t. x1+ x2+ x3 = 52x2+ x3+ x4 = 5- 4x2 -6x3 +x5 = -9x1 ，x2 ，x3 ， x4 ， x5 0,标准化,化 典 式,准典式 1、显含基本解（不一定可行） 2、目标函数中不含基变量，且 Max化目标函数中非基变量的系 数均非正,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法思路对偶单纯形法基本思路：如果线性规划原问题标准化之后不能简单得出一个初始基可行解（典式），但却能容易得到该问题的对偶问题的一个初始基可行解（准典式），此时我们就可以通过保持对偶基可行解的可行
14、性的方法进行迭代，逐步消除原问题基本解的不可行性，最终，当对偶基可行解迭代到对偶最优解的同时原问题也得到了最优的基可行解。,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,迭 代,准典式：max Z = -1x2 -2x3 s.t. x1+ x2+ x3 = 52x2+ x3+ x4 = 5- 4x2 -6x3 +x5 = -9x1 ，x2 ，x3 ， x4 ， x5 0,准典式特点： 1、目标函数不含基变量 2、最大化目标函数中非基变量 的系数均非正 3、约束方程中显含基本解（不可行）,线性规划 Linear Programming（LP）,
15、线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,min W =120y1 + 50y2 s.t. 4y1+2y2 503y1+ y2 30y1，y2 0,max W = 120y1 50y2 s.t. 4y1 + 2y2 y3 = 503y1 + y2 y4 = 30y1 ，y2 ， y3 ， y4 0,max W = 120y1 50y2 s.t. 4y1 2y2 + y3 = 50 3y1 y2 + y4 = 30y1 ，y2 ， y3 ， y4 0,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,max W = 120y1 50y2 s.t.
16、4y1 2y2 + y3 = 50 3y1 y2 + y4 = 30y1 ，y2 ， y3 ， y4 0,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,线性规划 Linear Programming（LP）,灵敏度分析,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析敏感性分析的重要性在于向决策者提供线性规划问题的最优解所能适应的环境条件变化的范围，环境条件变化时可能对经营状况带来何种影
17、响，产生影响后的解决途径。 敏感性分析的类型：1、模型中各个参数在什么范围变化时，最优基不发生改变。2、模型中参数变化已经超出上述范围时，如何快速确定新的最优 基和最优解新的最优决策方案。 敏感性分析的方法：敏感性分析方法的关键是从单纯形法对应的 I 表中参数的变化来分析B 表中对应参数的变化情况来回答决策者所关心问题。,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析线性规划原问题单纯形法对应的 I 表中参数的变化将引起B 表中对应参数的变化情况表：,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏
18、度分析线性规划问题 I 表与 B 表的关系给定符合典式的线性规划问题如下：,Max Z = CX + 0XSAX + IXS = bX ，XS 0,其中,C = （c1 ，c2 ，cn ）,X =,x1 x2 . . . xn,XS =,xS1 xS2 . . . xSm,A =,a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn,b =,b1 b2 . . . bm,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题 I 表与 B 表的关系对于前面给定符合典式的线性规划问题中，初始基矩阵为 I ，基变量为 XS ，即松弛变
19、量。其对应的初始单纯形表如下：I 表（初始表）,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题 I 表与 B 表的关系对初始单纯形表进行迭代之后得到 B 为最优基矩阵（不妨设其为A的首m列），则初始典式和初始单纯形表可以改写为如下：,Max Z = CBXB +CNXN + 0XSBXB + NXN + IXS = bXB ，XN ，XS 0,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题 I 表与 B 表的关系对初始单纯形表进行迭代之后得到 B 为最优基矩阵，则初始典式也迭代为最终典式
20、如下：,Max Z = CBXB +CNXN + 0XSBXB + NXN + IXS = bXB ，XN ，XS 0,Max Z = CB B-1 b +（CN - CB B-1 N ）XN + （0 - CB B-1 I ）XSXB + B-1 N XN + B-1 IXS = B-1 bXB ，XN ，XS 0,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题 I 表与 B 表的关系最终典式所对应的单纯形表： B 表（最终表）,Max Z = CB B-1 b +（CN - CB B-1 N ）XN + （0 - CB B-1 I ）X
21、SXB + B-1 N XN + B-1 IXS = B-1 bXB ，XN ，XS 0,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题 I 表与 B 表的关系向量形式表,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析 一、分析 C 的变化当 Ci 是基变量 Xi 的目标 系数时，在B表中， 若要保持最优解（或基） 不变，则必须满足： CN CB B 1N 0 - CB B -1 0,对应I 式的单纯形表 I 表,对应B 式的单纯形表 B 表,线性规划 Linear Progra
22、mming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析 一、分析 C 的变化当 Cj 是非基变量 Xj 的目标 系数时，在B表中， 若要保持最优解（或基） 不变，则必须满足： CN CB B -1N 0,对应I 式的单纯形表 I 表,对应B 式的单纯形表 B 表,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析 二、分析 b 的变化 当I 表中b变化为b时，在 B 表中将只有解列B -1b 发生变化，为保证最优基 不变则必须满足：B -1b 0,对应I 式的单纯形表 I 表,对应B 式的单纯形表 B 表,线性规划 L
23、inear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析 例,线性规划 Linear Programming（LP）,例,线性规划 Linear Programming（LP）,如果知道最优基B，则有,B =（P3,P1,P2）=,B-1 =,C =,CB =（C3,C1,C2）=,b =,由此，我们即可通过I表直接得到B表,线性规划 Linear Programming（LP）,B =（P3,P1,P2）=,B-1 =,C =,CB =（C3,C1,C2）=,b =,线性规划 Linear Programming（LP）,灵敏度分析（1）C1=2 C1
24、=1.5 ， C2=1 C2=2， 即 CB =（ C3，C1，C2 ）=（ 0，2，1 ） CB=（ C3，C1，C2）=（ 0，1.5，2 ） 将此变化直接反映到B表上检验数行将发生变化C- CBB-1A C- CBB-1A,从此时的B表，可以看出，原最优解已非最优了！ 采用单纯形法继续迭代！,线性规划 Linear Programming（LP）,灵敏度分析（1）,线性规划 Linear Programming（LP）,灵敏度分析（2）其它C不变化，为使最优解保持不变，允许C2=1的变化范围。 设 C2=1 C2=1+（ 为其增量） 将此变化直接反映到B表上,线性规划 Linear Pr
25、ogramming（LP）,灵敏度分析（2）,为使最优解保持不变，在B表中需满足的条件是所有检验数j ，仍然小于等于0。即：,解得：-1/3 1 ，即C2 在 2/3，2范围变化时，最优解保持原解不变化。,线性规划 Linear Programming（LP）,灵敏度分析（3）其它资源不变，b2 = 24 b2= 32，即：B-1 b B-1 b,b =, b =,B-1 b =,=,将此变化直接反映到B表上,线性规划 Linear Programming（LP）,灵敏度分析（3）,此解在原问题上不可行，但对偶问题上可行，故采用对偶单纯形法继续迭代！,线性规划 Linear Programmi
26、ng（LP）,灵敏度分析（3）采用对偶单纯形法继续迭代！,线性规划 Linear Programming（LP）,例 图解法进行Cj 变化的灵敏度分析,max z = 2x1 + x25x2 15 s.t. 6x1 + 2x2 24x1 + x2 5x1 ，x2 0,（7/2，3/2）,（5，0）,（2，3）,（3，3）,（4，0）,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析采用规划求解线性规划问题，生成灵敏度分析报告及阅读分析！ ？,线性规划 Linear Programming（LP）,问题 某厂生产甲、乙、丙三种产品，都要在 A ，B 两种设备上加工，有关数据如下表： 如何充分发挥设备的能力，使产品总利润最大？ 若为了提高产量，以每台时 350 元租用外厂 A 设备，是否合算？ 分别确定甲产品单位利润、B 设备量各自的影响范围。 若能以 39 万元租用外厂 B 设备 300 台时，应否租用？为什么？,线性规划 Linear Programming（LP）,第一章结束谢谢！,
