1、第 11 章 动量矩定理上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。11.1 动量矩定理11.1.1 质点和质点系动量矩1质点的动量矩如图 11-1 所示，设质点在图示瞬时 A 点的动量为 mv,矢径为 r，与力 F 对点 O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点 O 的动量矩为（11-rvM=)(mo1）xyzBhF0)图 -zvxy0()图 1
2、-2质点对固定点 O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图 11-1 所示，大小为固定点 O 与动量 AB 所围成的三角形面积的二倍，即 mvh=AB=)(mM0的2v其中，h 为固定点 O 到 AB 线段的垂直距离，称为动量臂。单位为 kg.m2/s。质点的动量对固定轴 z 的矩与力 对固定轴 z 的矩类似，如图 11-2 所示，质点的动F量 在 oxy 平面上的投影 对固定点 O 的矩，定义质点对固定轴 z 的矩，同时也vmxy)m(v等于质点对固定点 O 的动量矩在固定轴 z 上的投影。质点对 z 轴的动量矩是代数量，即（11-oxom=MZ )(v2）2质点系的动量矩质点系对固定
3、点 O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点 O 的动量矩的矢量和，即（11-niio)(1vLo3）质点系对固定轴 z 的矩等于质点系内各质点对同一轴 z 动量矩的代数和，即（11-Zoniizz)(m=LM14）刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计算。刚体作定轴转动时动量矩的计算：设定轴转动刚体如图 11-3 所示，其上任一质点 i 的质量为 mi，到转轴的垂直距离为，某瞬时的角速度为 ，刚体对转轴 z 的动量矩由式（11-4）得irrvxyi图 1-3J=)rm( )r(m)rv(MLznii niiiniiiiz 12 1z即（11-5）J=Lz其中
4、， 为刚体对转轴 z 的转动惯量 1。niizrm=J12定轴转动刚体对转轴 z 的动量矩等于刚体对转轴 z 的转动惯量与角速度的乘积。11.1.2 质点和质点系动量矩定理1质点的动量矩定理如图 11-1 所示，设质点对固定点 O 的动量矩为 ，力 F 对同一点 O 力矩)(movM，将式（11-1）对时间求导得)(oFM)(dttd=)(dt)(mdto rvrv+)(oF+即 （11-6 ）)(to质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对同一点的矩。将式（11-6）向直角坐标系投影得（11-7）)(M=)(mdt)()(tdzzyyxxFv特殊情形：当质点
5、受有心力 的作用时，如图 11-4 所示，力矩 ，则质点对固定点F0)(oO 的动量矩 =恒矢量，质点的动量矩守恒。例如行星绕着恒星转，受恒星的引力)(movM作用，引力对恒星的矩 ，行星的动量矩 =恒矢量，此恒矢量的方向0)(o v是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即 mvh=恒量，行星的速度 v 与恒星到速度矢量的距离 h 成反比。1刚体对转轴的转动惯量计算见附录hFmvyxo图 1-4例题 11-1 如图 11-5 所示单摆，由质量为 的小球和绳索构成。单摆悬吊于点 O，绳m长为 ，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的运动规律。l vg图 -5解：根据题意以小球为研究
6、对象，小球受力为铅垂重力 和绳索拉力 。单摆在gmF铅垂平面内绕点 O 作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为 ， 为逆时针时正，如图 11-5 所示。则质点对点 O 的动量矩为 vl)m(Mo作用在小球上的力对点 O 的矩为 singF由质点的动量矩定理得llv（1）由于 ，则 ，又由于单摆作微振幅摆动，则lvl si从而由式（1）得单摆运动微分方程为02lgdt（2）解式（2）得单摆的运动规律为 )tsin(o其中， 称为单摆的角频率，单摆的周期为lgnglTn2称为单摆的振幅， 称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。o2质点系的动量矩定理设质点系由 n 个质点组成，对每一个质点列式（1
7、1-6 ）有 )(+)(=)(mdt ioeioio FMvM其中， 为外力矩， 为内力矩，上式共列 n 个方程，将这些方程进行)(eioFiF左右连加，并考虑内力矩之和为零，得 nieioni io)()(t11iiii=d1 Fv即 （11-8）nieioo)(t1ML质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和（或称外力的主矩） 。将式（11-8）向直角坐标系投影得（ 11-nieizziiyynieixx)(M=Ldt)(td11F9）特殊情形：（1）当作用在质点系上外力对某点的矩等于零时，即 ，由式(11-8)01nieio)(
8、F知，质点系动量矩 恒矢量，则质点系对该点的动量矩守恒。oL（2）当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，则质点系对该轴的动量矩守恒。例如 ，由式（11-9）知，质点系对 x 轴的动量矩 恒量，则质点01nieix)(MF xL系对 x 轴的动量矩守恒。例题 11-2 在矿井提升设备中，两个鼓轮固联在一起，总质量为 ，对转轴 O 的转动m惯量为 ，在半径为 的鼓轮上悬挂一质量为 的重物 A，而在半径为 的鼓轮上用绳oJ1r1 2r牵引小车 B 沿倾角 的斜面向上运动，小车的质量为 。在鼓轮上作用有一不变的力偶2矩 M，如图 11-6 所示。不计绳索的质量和各处的摩擦，绳索与斜面平行，试求小
9、车上升的加速度。oyx2NFmg1BAM图 -6解：选整体为质点系，作用在质点系上的力为三个物体的重力 、 、 ，gm12在鼓轮上不变的力偶矩 M，以及作用在轴 O 处和截面的约束力为 、 、 。质点oxFyN系对转轴 O 的动量矩为 21rvmJLo其中， ， ，rv1r2则 o221作用在质点系上的力对转轴 O 的矩为 singrM2由质点系的动量矩定理 nieioo)(=dt1FL得 singrmrmJo 21221 解得鼓轮的角加速度为 221JigMo小车上升的加速度为 221rr)sin(ao例题 11-3 如图 11-7 所示的装置，质量为 的杆 AB 可在质量为 的管 CD 内
10、任意的mM滑动，AB=CD =l，CD 管绕铅直轴 z 转动，当运动初始时，杆 AB 与管 CD 重合，角速度为 ，各处摩擦不计。试求杆 AB 伸出一半时此装置的角速度。ozlxCAEDB图 1-7解：以整体为质点系，因作用在质点系上的外力为重力和转轴处的约束力，对转轴的力矩均为零，故质点系对转轴的动量矩守恒。即=恒量zL管 CD 作定轴转动，杆 AB 作平面运动，由运动学知 CDAB杆 AB 的质心 E 速度为 EreEav管 CD 对转轴的动量矩为 MlJLzzCD231当杆 AB 伸出为 x 时，对转轴的动量矩为 mlxlxlmvcEezAB 221)()2( 当 时：0x ooozAB
11、zCD lllL2221 431当 时：2l mllMlzABzCD 2222 1)(ml213由 得此装置在该瞬时的角速度为21zLo433质点系相对质心的动量矩定理建立定系 oxyz，和以质心 C 为坐标原点的动坐标系 。设质点系质心 C 的矢径zyxC为 ,任一质点 的质量 ，对两个坐标系的矢径分别为 、 ，三者的关系如图 11-8criimiri所示。 ici+r=oxy质点系对固定点 O 的动量矩为 niiniini iicniio m+=m)+(=1111 cvrvrvrL（1）其中，质点系对质心 C 的动量矩为niic=1vL（2）质点系相对定系的动量为（3）ciPMmni1将式
12、（2）和式（3）代入式（1）得有质点系对固定点 O 的动量矩和质点系对质心 C 的动量矩间的关系为CoL+r=c（4）式（4）对时间求导得dtMdt ccPvLco（5）作用在质点系上的外力对固定点 O 的力矩为(6) nieiiecni eiicnie +=)+(=1111 FrFrFro作用在质点系上的外力对质心 C 的力矩为nieic=1FM（7）将式（5） 、 （6）和（7）代入质点系动量矩定理式（11-8）中，并考虑质点系动量定理，从而得（11-cdtL=10）质点系相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对质心之矩的矢量和（或称主矩） 。应当
13、指出：（1）质点系动量矩定理只有对固定点或质心点取矩时其方程的形式才是一致的，否则对其它动点取矩质点系动量矩定理将更加复杂；（2）不论是质点系的动量矩定理还是质点系相对于质心的动量矩定理，质点系动量矩的变化均与内力无关，与外力有关，外力是改变质点系的动量矩的根本原因。11.2 刚体定轴转动微分方程如图 11-9 所示，设定轴转动刚体某瞬时的角速度为 ，作用在刚体上主动力为 、iF约束力为 (i=1,n)，刚体对转轴 z 的动量矩由式（11-5 ）有NiF2N1nN图 -9J=Lz将上面的动量矩代入式（11-9）中的第三式中，得刚体定轴转动微分方程： niiz)(M)(dtZ1F或 或 （11-
14、11）niiz)(M=dtJZ1Fniiz)(M=JZ1F其中， 为主动力对转轴 z 的矩，因为转轴处的约束力对转轴的矩niiz)(1。则刚体对转轴 z 的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在转动刚体上的0iNizF主动力对转轴 z 的矩的代数和（或主矩） 。刚体定轴转动微分方程 与质点运动微分方程 类似，则有niiz)(M=JZ1Fnim1Fa转动惯量是转动刚体的惯性量度。当 时，刚体转动对转轴 z 的动量矩0iiz恒量，动量矩守恒，例如花样滑冰运动员通过伸展和收缩手臂以及另一条腿，=JLZ改变其转动刚体惯量，从而达到增大和减少旋转的角速度；当 恒量，对于确niiz)(M1F定的刚体和转轴而言
15、，刚体作匀变速转动。利用刚体定轴转动微分方程求解动力学的两类问题。例题 11-4 如图 11-10 所示，飞轮以角速度绕 绕轴 O 转动，飞轮对轴 O 转动惯量为o，当制动时其摩擦阻力矩为 ，其中， 为比例系数，试求飞轮经过多少时间oJkMk后角速度减少为初角速度的一半，在此时间内转过的转数。 图 1-0解：（1）求飞轮经过多少时间后角速度减少为初角速度的一半飞轮绕轴 O 转动的微分方程为 MdtJo将摩擦阻力矩 ，代入上式有kMkto采用解微分方程的分离变量法，并积分 tdJo020解得时间为2lnkJto（2）求飞轮转过的转数飞轮绕轴 O 转动的微分方程写成为 dttJo方程的两边约去 ，
16、并积分dt 02ko解得飞轮转过的角度为 Jo则飞轮转过的转数为 kno42例题 11-5 传动轴系如图 11-11a 所示，主动轴和从动轴的转动惯量分别为 和1J，传动比为 ， 和 分别为主动轴和从动轴的半径。若在轴上作用主2J12Ri2动力矩 ，在轴上有阻力矩 ，各处摩擦不计，试求主动轴的角加速度。1MM21R2Fn2M1图 -(a)(b) 解：由于主动轴和从动轴为两个转动的物体，应用动量矩定理时应分别研究。受力传动轴系如图 11-11b 所示，设沿角加速度的方向为建立动量矩方程的正方向，其定轴转动微分方程为11RFMJ（1）22（2）因轮缘上的切向力 ，传动比F2112Ri则式（1） 式
17、（2） ，并注意 得主动轴的角加速度为1i 12i211iJM11.3 刚体平面运动微分方程由运动学知，刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和相对于基点转动的两部分。在动力学中，一般取质心为基点，因此刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心转动的两部分。这两部分的运动分别由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理来确定。如图 11-12 所示，作用在刚体上的力简化为质心所在平面内一平面力系 (i=1,n),在eF质心 C 处建立平移坐标系 ，由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理得yxC oc图 1-2（11-nieiccie)(M=)(Jdta1F12）式（11-12）的投影形式：（11
18、-nieicciyyn1iexicx)(M=JFa113）即式（11-12）或（11-13）为刚体平面运动微分方程，利用此方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。例题 11-6 均质的鼓轮，半径为 ，质量为 ，在半径为 处沿水平方向作用有力Rmr和 ，使鼓轮沿平直的轨道向右作无滑动滚动，如图 11-13 所示，试求轮心点 O 的加1F2速度，及使鼓轮作作无滑动滚动时的摩擦力。 xoFN21g图 -3解：由于鼓轮作平面运动，鼓轮的受力如图 11-13 所示，建立鼓轮平面运动微分方程为Fmaox21（1）gNy（2）RrJo21（3）因鼓轮沿平直的轨道作无滑动的滚动，则 ， ， ， ，0oyamgF
19、NvoRaox代入式（3）得RrJox21（4）式（1）和式（4）联立得轮心点 O 的加速度为 mJ)F(r)F(aoox2121其中转动惯量 ，则有21mRJomR)F(r)F(aox32121使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力为 )()(22121例题 11-7 如图 11-14a 所示均质杆 AB 质量为 ，长为 ，放在铅直平面内，杆的一l端 A 靠在光滑的铅直墙壁上，杆的另一端 B 靠在光滑水平面上，初始时，杆 AB 与水平线的夹角 ，设杆无初速地沿铅直墙面倒下，试求杆质心 C 的加速度和杆 AB 两端 A、 Bo处的约束力。 cogNFBacyx(a)(b)图 1-4 解：根据题意，杆 A
20、B 在铅直平面内作平面运动，其受力如图 11-14b 所示。建立杆的平面运动微分方程为NAcFxm（1）gyBc（2）sinlFoslJNANc 22（3）由几何条件得质心的坐标为sinlycox2（4）并注意 （即角速度方向与夹角 增大的方向相反） 。式（4）对时间求导，得)sinco(lysixc 22（5）其中转动惯量 。21mlJc将式（5）代入（1）和式（2）并将式（1） 、式（2） 、式（3）联立求解得杆 AB 的角加速度为lcosg3（6）对角速度作如下的变换为 dtt代入式（6） ，并积分得杆 AB 的角速度为（7）)sin(ilgo3将式（6）和式（7）代入式（5）得质心加速
21、度为（8）)sinsin(gyc)xoc o2143则杆 AB 两端 A、 B 处的约束力为 )sin(sinmgFc)oNBoA 2431例题 11-8 均质圆轮半径为 ，质量为 ，受轻微干扰后，在半径为 的圆弧轨道上r R往复无滑动的滚动，如图 11-15 所示，试求圆轮轮心 C 的运动方程，以及作用在圆轮上的约束力。 r(+)csNga图 1-5 解：由于圆轮作平面运动，轮心 C 作圆周运动，则在轮心 C 的最低点 O 建立自然坐标系，并假设圆轮顺时针方向为动量矩方程的正方向，坐标及轮的受力如图 11-15 所示。列圆轮平面运动微分方程为sinmgFac（1）coNnc（2）rJc（3）
22、其中，轮心的加速度 ， ，转动惯量 。2dtsacRvcn2 21mrJc由于圆轮无滑动的滚动，其角速度为 rc则角加速度为avc（4）轮心 C 运动的弧坐标为)rR(s（5）式（5）代入式（4）得rarvc（6）式（6）代入式（3） ，并与式（1）联立求解，注意当圆轮作微幅滚动时，有 ，从sin而得 0322s)rR(gdts此微分方程的解为tino（7）其中， 为圆轮滚动的圆频率。 为振幅， 为初相位，它们均由初始条)rR(gn32os件定。当 时，由题意知0tovs0则 cosvino0解得 ， ，代入式（7）圆轮轮心 C 的运动方程为0g)rR(vsono23)trR(gsins32作
23、用在圆轮上的约束力为 )t(si)(mvsigForRgcrcN 32211.4 本章小结1.动量矩（1）质点动量矩质点对点的动量矩: vrMm=)(o是矢量，方向按右手螺旋法则确定；大小： ，其中，h 称为动量臂，单位v=)(0为 kg.m2/s。质点对轴的动量矩： xyoZ它是代数量。（2）质点系动量矩质点系对点的动量矩： niio)(m1vLo质点系对轴的动量矩： Zoiizz=LM（3）质点系对点的动量矩和对轴的动量矩的关系 ZozL刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计算。刚体作定轴转动时动量矩的计算： J=z2.动量矩定理（1）质点的动量矩定理：
24、质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对同一点的矩。即 )()(mdtooFMv投影形式：)(M=)(mdt)()(tdzzyyxxFv（2）质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和（或称外力的主矩） 。即nieioo)(t1L投影形式：nieizziiyynieixx)(M=Ldt)(td11F（3）质点系动量矩守恒定律当作用在质点系上外力对某一的矩等于零时，则质点系对该点的动量矩守恒。当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，则质点系对该轴的动量矩守恒。（4）质点系相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对质心之矩的矢量和。即 cdtL3.刚体定轴转动微分方程 niiz)(M=tJZ1F或 iiz刚体定轴转动微分方程与质点运动微分方程类似。4.刚体平面运动微分方程 nieicc1ie)(M=)(JdtaF投影形式：nieicc1iyiyniexcx)(M=JFa1利用刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程，可求解动力学的两类问题。
