1、 http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 1 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791二次函数及其图象一、内容提要 （一）二次函数的解析式： 1一般式：y=ax 2+bx+c；其中 a0, a, b, c 为常数 2顶点式：y=a(x-h) 2+k；其中 a0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。 3交点式：y=a(x-x 1)(x-x2)；其中 a0, a, x 1,x2 为常数，x 1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。 （二）二次函数的图象：抛物线
2、 （三）性质： 1对称轴，顶点坐标： 2开口方向：a0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。a0 时，当 x 时，y 随 x 增大而减少当 x 时，y 随 x 增大而增大 （）a 时，y 随 x 增大而减小 4最值：（）a0 时，当 x= 时， （）a0,抛物线与 x 轴有两个交点，交点坐标为（ ，0）二、典型例题： 例 1已知 +3x+6 是二次函数，求 m 的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。 解：由题意得 解得 m=-1y=-3x 2+3x+6= , 开口向下，顶点坐标（ ），对称轴 x= 。 说明：在 y=a(x-h)2+k 中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛
3、物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（ ）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。 例 2已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，直线 x=-1 是其对称轴，(1)确定 a,b,c, =b 2-4ac 的符号，(2)求证:a-b+c0, (3)当 x 取何值时，y0, 当 x 取何值时 y0， 又由 0, a、b 同号，由 a0 http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 3 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791（2）由抛物线的顶
4、点在 x 轴上方，对称轴为 x=-1. 当 x=-1 时，y=a-b+c0 （3）由图象可知：当-30 , 当 x1 时，y0, 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方。 =4m 2-4(m-2)(m+1)=4m2-4(m2-m-2)=4m+8=4(m+1)+40. 抛物线与 x 轴有两个不同的交点。 说明：上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数 y= (a0)除了解 a 的含义以外，还应理解常数 c 为抛物线与 y 轴交点的纵坐标，即由 c 定点（0，c），c 的正、负符号决定（或决定于）抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上、下方，c 的绝对值决定（或决定于）图象与 y 轴交点到 x
5、 轴的距离。由 y=0，得一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0).它有无实根由判别式 =b 2-4ac 来决定： 若 0，一元二次方程有两个实根 x1,x2，抛物线与 x 轴有两交点坐标为:（ ，0）、( ,0) 若 ，一元二次方程有两个相等实根，抛物线与 x 轴有一个交点。 若 b D、不能确定。 7若二次函数 y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图象的对称轴为 y 轴，此图象的顶点 A 和它与x 轴二交点 B、C 所构成的三角形的面积是（ ）。 A、 B、1 C、 D、2 8已知二次函数 y=2x2-6x+m 的值永远是正数，那么 m 的取值范围是（ ）。 A、m4 B、m4 C、
6、m4 D、以上都不对 9已知抛物线 y=4x2-5x+k 与 x 轴有交点，且交点都在原点的右侧，那么 k 的取值范围是（ ）。 A、k0 B、00, b0, c0 C、a0, c0 D、a0, b=-1，故 ab。 7解：对称轴为 y 轴: - =- =0,解得 m=1. 二次函数解析式为：y=-x 2+1, 当-x 2+1=0 时，得：x 1=-1, x2=1. 抛物线与 x 轴两交点为 B(-1, 0)，C(1,0) BC=2， 顶点 A（0，1）， = BC| |=1. 8解：因为抛物线开口向上，只有当 =6 2-8m0 时，y=a(x-h) 2的图象可由抛物线 y=ax2向右平行移动
7、 h 个单位得到， 当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k 的图象； 当 h0,k0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动 k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象； 当 h0 时，开口向上，当 a0，当 x 时，y 随 x 的增大而减小；当 x 时，y 随 x 的增大而增大若 a0，图象与 x 轴交于两点 A(x1,0)和 B(x2,0)，其中的 x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离 AB=|x2-x1|= 当=0图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时
8、，图象落在 x 轴的上方，x 为任何实数时，都有 y0；当 a0(a13 时，y 随 x 的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0x30，所以两个范围应为 0x13；13x30。将x=10 代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第 13 分钟时接受能力为最强。解题过程如下：解：(1)y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 所以，当 0x13 时，学生的接受能力逐步增强。 当 13x30 时，学生的接受能力逐步下降。 (2)当 x=10 时，y=-0.1(10-13) 2+59.9=59。 第 10 分时，学生的接受能力为 59。 (3)x=13 时，y 取得最大值
9、， 所以，在第 13 分时，学生的接受能力最强。 9( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式(不必写出x 的取值范围)； (3)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？ 解：(1)当销售单价定为每千克 55
10、 元时，月销售量为：500(5550)10=450(千克)，所以月销售利润为:(5540)450=6750(元) (2)当销售单价定为每千克 x 元时，月销售量为：500(x50)10千克而每千克的销售利润是:(x40)元，所以月销售利润为： y=(x40)500(x50)10=(x40)(100010x)=10x 2+1400x40000(元)，y 与 x 的函数解析式为：y =10x 2+1400x40000 (3)要使月销售利润达到 8000 元，即 y=8000，10x 2+1400x40000=8000， 即：x 2140x+4800=0， http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 12 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791解得：x 1=60，x 2=80 当销售单价定为每千克 60 元时，月销售量为：500(6050)10=400(千克)，月销售成本为：40400=16000(元)； 当销售单价定为每千克 80 元时，月销售量为：500(8050)10=200(千克)，月销售单价成本为：40200=8000(元)； 由于 80001000016000，而月销售成本不能超过 10000 元，所以销售单价应定为每千克 80 元
