1、9 三角恒等式与三角不等式三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于 2tanx的代数恒等式的证明问题.要快捷地完成三角恒等
2、式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内
3、角和等于 180这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式)(21)()( cbapcbpaS 其 中，大家往往不甚熟悉，但十分有用.例题讲解TT2CS22TS万能公式 CSCS相除 相除 相除3CS积化和差和差化积 相加减2T1已知 .cosin)tan(:,1|)sin(i AA求 证2证明： .643525co77xxsx3求证： .12tan31t8an1t 4已知 .201tansec:,201tan求 证5证 明： .3sin)60si()sin(46求证： 1678cos642cos
4、sin1sin2sin3 sin89= .0)4(57证 明 ： 对 任 一 自 然 数 n 及 任 意 实 数 mnkmx,2,10(为 任 一 整 数 ） ， 有.cot2si14si2in1xxn8证明： .2sin1)i()sin()2sin()si(n 9若 0，求证： 03si1i2si 10已知 0，证明： 2sin2ctg，并讨论等号成立的条件。11已知 )2,0(,，能否以 sin， i， )sin(的值为边长，构成三角形。12在 ABC中，角 、 、 C的对边为 a、 b、 c，求证： 3cbaCBA13在锐角 ABC中，求证（1） CBAcoscosinsin；（2） 1
5、tgABC14设 12zyx，且 2zyx，求乘积 zyxcosin的最大值和最小值。课后练习1证明：sin47+sin61 sin11sin25=cos7.2证明： sin)cos(2sin)( 3已知：sinA+sin B+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.求证：sin2A+sin2 B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.4已知 .03si1i2si:),0(求 证5已知 求且 ,tant 的最大值.6已知 、 、 、 sinisn),( y求且 的最大值.7ABC 中，C=2B 的充要条件是 .2bc8ABC 中，已知 A2sin、 B2i、 Csin
6、成等差数列，求证： Acot、 Bt、Ccot也成等差数列.9ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 ab2，求 B 的最大值.10若 、 ),20(能否以 si、 i、 )si(的值为边长构成一个三角形.11求函数 xy38的值域.12求函数 212x的值域.13在 ABC中，求证： BbAaccos； AaCcos；abosc。14设 为锐角，求证： 23)cos1)(sin1(15对 )2,0(x，求证： tgxx。例题答案：分析：条件涉及到角 、 ，而结论涉及到角 ， .故可利用)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.证法 1： ),si
7、n(i,i(A),cos(in)cossi ),in(A.cosin)tan(,0,1| A从 而证法 2： sin)si(con)in(si A).tan(sicosi)n(分析：等号左边涉及角 7x、5x、3x 、x 右边仅涉及角 x，可将左边各项逐步转化为si、xco的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为 ,cos3cos4,cso4333 x所 以从而有 xx226 96cs1)21()( xxxx cos0cos304cos126cos264 ,37 .557 2156评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求
8、解. 令 77)(cos28,1cos2,sinco zzz 从 而则 ，展开即可.思路分析：等式左边同时出现 12tan8、 12tan8t，联想到公式tan1t)tan(.证明： ta3128t31 12tan8)tn)(tan(t 评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证 )43tan()t)(t( 2)4tan(等.、证明： )4tan()2sin(co1c2itsec .201ta证明： 3sin43sin)60sin()si(n4 )sin60cos60(incoi213i)s4(si22 评述：这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有)co()60(cos360tantant
9、. 利用这几个公式可解下例.6. 证明：cos6cos42cos66cos78 =cos6cos54cos66 54cos782.1654cos)83(7cs21cssin1sin2sin3 sin89=(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30sin60= 4373)42 60sin3)87sin2(si)6in5s)(i6sin5(si0 45si)i36)(si7)(s2i18)(si9(s3)41(04 36sin18co23)41(54754cos18ics)( 7236o182341cs54cs7)( nn244又
10、)72cos1)(4)si 165)cs3()72cos36 即 .43sin18co所 以 .10)(89i2457. 思路分析：本题左边为 n 项的和，右边为 2 项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.证明： ,2cot2sincosi2sinco2si1 xxxxx 同理 4tt4 xxnnn2cott2si11评述：本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题： nn tat)1ta(3tanta. 1cots89cos2cos1cos0 222n2 n8. 证明： ),2()(i )sin()2sin()si(n2si, ,21co1co1)( ,)3s()25s(2sin)si( ,c3c 各 项 相 加 得类 似 地.21sin)si(coco1所以， .2sin1)i()i()i( n评述：本题也可借助复数获证.类似地，有 .2sin)co(1i)cos()cos( 利用上述公式可快速证明下列各式：2sin1cocos3cs2ocs .2197cos593cos.7等
