1、1三角恒等变换专题复习(一)2012-8-7一、基本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下: sin()sicosin; cos()csosin;tanta1t对其变形:tantan=tan(+)(1- tantan),有时应用该公式比较方便。2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下: sinicos. 2222csosincos1sin.2tata1.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角降次,降角升次) 特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形, 2cos1sin,2co1cs22 这两个形式常用。3.辅助角公式:4.简单的三角恒等变换(1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其
2、形,不变其质。(2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。(3)变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4)变换思路:明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径。5.常见题目类型及解题技巧(最后师生共同总结)二、考点阐述考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、 sin20co4s20in4的值等于( )2、若 ta3, ta,则 ta()等于( )考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos 5cos 的值等于( )24、 已知 02A,且 3cos5,那么 sin2A等于( )考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换5
3、、已知 ,41)tan(,52)tan(则 )4tan(的值等于( 23 )6、已知 3cos1si则 cos值等于( 759 )7、函数 22()co()i()1fxx是( C )(A)周期为 的奇函数 (B)周期为 的偶函数(C)周期为 的奇函数 (D)周期为 的偶函数三、解题方法分析1熟悉三角函数公式,从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多,要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系,做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式,要抓住问题的实质,善于 联想,灵活运用。例 1 设 23tan13sin50cos6i,2 co2ab 则有( acb )【点
4、评】:本题属于“理解”层次,要能善于正用、逆用、变用公式。例如:sincos = 2sin1,cos = 2sin, 2cossinco22, 2tant-12,)co(cosi21, 1, si,i,2,tantan=tan(+)(1- tantan)等。另外,三角函数式 asinx+bcosx 是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为)xsin(ba2即 asinx+bcosx= )xsin(ba2(其中 tanb)是常用转化手段。特别是与特殊角有关的 sincosx,sinx 3cosx,要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的,从数学思想方法上寻找突破口(1)运用转化与化归思想
5、,实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余 弦公式以及二倍角公式的推 导都体现了转化与化归的思想, 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求 值、 证明中角、名称、形式的变换问题。3例 2 已知 43,cos( )= 132,sin( + )= 53,求 sin2 的值 ( 65(本题属于“理解”层次,解答的关键在于分析角的特点, 2 =( )+( + ) )例 2 解答:例 3化简:2sin50+sin10(1+ 3tan10) 2sin80【解析】:原式= 3【点评】:本题属于“理解” 层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法,再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简
6、时 要求使三角函数式成为最简 :项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的尽量求出值来。(2)运用函数方程思想,实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的 变换。因此,有时在三角恒等变换中,可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例 4:已知 sin( + )= 32,sin( )= 43,求 2tan()tan()的值 。【解析】42tan()tan()= 2ta()tan()1tan)= tan=17【点评】:本题属于“理解” 层次,考查学生对所学过的内容能进行理性分析,善
7、于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。(3)运用换元思想,实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简,促使未知向已知转化,可以利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替 换,从而 顺利求解,解题时要特别注意新元的范围。例 5:若 ,2sin求 cos的取值范围。【解析】:令 cot,则 221(in)(cos),t即 2132s()cos)t t 23714,2ttt,即 1414cos2【点评】:本题属于“理解” 层次,解题的关键是将要求的式子 cos看作一个整体,通过代数、三角变换等手段求出取 值范围。3关注三角函数在学科内的综合,从知识联系上寻找结合点【方法点拨】
8、三角函数在学科内的联系比较广泛,主要体 现 在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合,特别是与平面向量的 综合,要适当注意知 识间 的联系与整合。例 6:已知:向量 (3,1)a , (sin2,bxco),函数 ()fxab(1)若 ()0fx且 x,求 的值; 12或 7(2)求函数 取得最大值时,向量 a与 的夹角【解析】: ()fxab 3sin2cosx(2) sin(2)6x ma)f,当 (2f时,由 |cos,2abab5得 cos,1|ab, 0,ab ,0ab【点评】:本题属于“理解”中综合应用层次,主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.四、课堂练习1s
9、in165= ( ) A 21 B 23 C 426 D 4262sin14cos16+sin76cos74 的值是( ) A 23 B 21 C 23 D 13已知 (,0)2x, 4cos5x,则 x2tan( ) A 247 B 247 C 74 D 744化简 2sin( x)sin( 4+x) ,其结果是( ) sin2x cos2x cos2x sin2x 5sin 12 3cos 的值是 ( )A0 B 2 C 2 D 2 sin 156 )( 75tan2的 值 为A 3 B 3 C 32 D 327若 cos25, 4sin5, 则 角 的 终 边 一 定 落 在 直 线 (
10、 ) 上 。A 40xy B 720xy C 2470xy D 2470xy8 ._sinsis 9 15tan 610 tan20t43tan204 的值是 .11求证:2cos1sit 12已知 1tan23,求 tan的值13已知 ,135)4sin(,0xx求 )4cos(2x的值。14若 ,0A,且 137csinA, 求 Acos7sin5的值。15在 ABC 中,若 sinAsinB=cos2 ,则 ABC 是( )CA等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形16化简 2cossin117.求证: tan1sico218 已知 sin = ,sin( + )= , 与 均为锐角,求 cos 13254五.总结:常见题型及解题技巧(手记)7六、今日作业,详见学案(手记):