1、时针分针夹角问题的教学问题最近我们在教学研究中归纳并试行了一种“四同”教学研究法，也就是由同一位教师、在同一个半天内、分别对同一层次学生进行同一个教学内容所展开的课堂教学有效性的研究.具体过程是：（1）执教教师设计和授课；（2）课后点平和形成性测评；（3）执教教师修改设计后在平行班级再次授课；（4）再次进行形成性测评.由于这样的教研活动主题明确、针对性强、便于对教学方法进行及时修正，而且形式简单、便于组织，在中学数学教学研究中具有较高的实用价值，在教师培训中广受欢迎.下面以初中数学时针分针的夹角问题的教学为例，阐述在象山中学进行的一次“四同”教学研究.一、第一节课的教学片断执教老师提出问题.师
2、：请同学们看问题（1）：在 5 点 20 分时，时针与分针的夹角是多少度？学生甲：分针每分钟旋转 1 小格；时针每小时旋转 1 大格（5 小格） ，即每分钟旋转小格.由于钟面上每一大格的夹角是 ，每 1 小格的夹角是 ，时针每分钟旋转2o30o6.20 分钟时针旋转了 ，所以分针于时针的夹角o5.0o5.2.oo4130师：从上面解法可知时针每分钟旋转 分针每分钟旋转 ，我们可以把这个问题看.0o6成行程中的追及问题.如果把 0 时看成起点，那么到 5 点 20 分时，时针旋转了，分针旋转了 ，由于分针每旋转oo162560oo19206都与 重合，使得最后显示在钟面上的分针与起点相比，旋转了
3、 ，所以分钟3o o与时针的夹角 .oo400师：请同学们看问题（2） ，在 1 点几分时，时针与分针互相垂直？学生乙：设 1 点 分时，时针与分针互相垂直.x把问题（2）看成一个追及问题，把 1 点看成起点.分针、时针的速度分别是每分钟 、o6.o50初始状态是时针先于分针 ，它们同时行走 分钟以后，分针先于时针 ，于是o30xo90有，解得 .9035.06x19240x学生丙：时针落后分针 时，两针也垂直，同样有 ，o2727035.06x解得 .164x所以在 1 点 分和 1 点 分时，时针与分针互相垂直.95学生丁：我还有一种方法，分针、时针的速度分别是每分钟 1 小格、 小格.在
4、 1 时整，2时针先于分针 5 小格，它们同时行走 分钟以后，时针于分针互相垂直，即分针先于时x针 15 小格或 45 小格，于是得 或 .20150x解得 或 .1240x6师：好！我们再看问题（3）：当时间从 0 时走到 12 时，时针于分针有多少次垂直？在 0 点到 1 点之间，由 或 ，解得935.x27035.06x或 .24x6在 2 点到 3 点之间， 或 ，解得0.x.x或 .10x6在 3 点到 4 点之间， ，解得 .95.x1360x二、第一节课的简要点评及形成性测评1.简要点评：（1）本节课学生解题的方法虽然较多，但数学思维还停留在算术方法上，应该转化为列方程方法，帮助
5、学生找出数学规律，建立数学模型.（2）从教学设计看，执教者非常重视学生的知识落实、思维形成和兴趣培养.但是从具体环节看，问题的设置与教学设计意图存在一定的差异.问题的难度安排还须进行更为系统地考虑.例如：（a） 先后讨论 5：00、5：20、5：26 时时针、分针的夹角;（b） 问题（2）用垂直关系太难，能否先做些铺垫；（c） 在问题（3）中，时针与分针的垂直关系在不同的时间段有不同的表现，有时两次垂直都出现在分针追上时针以后，有时两次垂直都出现在分针追上是真以前，有时两次垂直分别出现在分针追上时针前后各一次.在问题（2）中教师应适当做些分析和铺垫.（3）本节课学生参与的人数太少，展示学生的各
6、种解题思路及方法、暴露个别学生不正确的解法机会不多.2.形成性测评：我们用以下四到小题进行了简单的及时测试：1.8 点 15 分时，时针与分针的夹角多少度？2.在 8 点到 9 点之间，时针与分针和是垂直？3.从 0 点到 12 点，时针与分针重合几次？4.2 点几分时，时针与分针重合？三、改进后的教学设计第一阶段：知识铺垫1. 引出课题：时针与分针的夹角问题2. 学生讨论并板演.问题（1）：在 5 点 20 分，时针与分针的夹角多少度？学生甲： （度）.3012063学生乙： （度）2学生丙： （度）.40125学生丁： （度）.43. 师生共同点评：第二阶段：方法形成师：出示问题（2）在
7、5 点 26 分时，时针与分针的夹角是多少度？生： oo73640师：为什么？生：因为 5 点 20 分时，时针在分针前 ，从 5 点 20 分到 5 点 26 分，时针沿顺时针o40方向转了 ，分针沿顺时针方向转了 .所以 5 点 26 分时针与分oo36.0oo36针的夹角为 .o74第三阶段：思维拓展师：在 n 点 m 分时，时针与分针的夹角多少度？生： 65.03三、对第二次课的形成性测评：1. 教学效果分析 从形成性测试结果看，同样的测试题，平均成即有所提高，可见教学设计调整后的教学效果明显优于第一节课.2. 数学本质的把握 第一节课的教学目标较多地停留在算术建模上，第二节课调整了教学目标，突出了代数思想，抓住了通性通法的本质.3. 教学过程的呈现 在第二节课中，教师在整体把握代数建模思想得前提条件下，注重学生参与意思的发挥，通过知识铺垫、方法形成和思维拓展，给学生留有讨论、思考和发挥的空间.
