1、1探索相似三角形相似的条件基础知识:相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 （沿用相似四边形的定义）一、相似三角形的判定：三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 三角形 直角三角形全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA ） HL相似三角形的判定两边对应成比例且夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例注意： “两边对应成比例且夹角相等 ”中的 “夹角 ”不是任意的角，而是成比例的两条线段所构成的夹角。二、相似三角形的传递性如果ABCA 1B1C1，A 1B1C1A 2B2C2，那么ABCA 2B2C2典型例题考点一：相似
2、三角形的判定看图例 1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形答：2AB CEDFEDB C60图 2练习：1、图 2 中，x= 2 22、 （2008 海南省）如图 2 所示，RtABCRtDEF，则 cosE 的值等于（ ）A. 1 B. C. 3 D. 33、 （2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）通过内平行找相似例 1：（2009 年湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A，若 OA=0.2 米，OB=40 米
3、，AA=0.0015 米，则小明射击到的点 B偏离目标点 B 的长度 BB为 （ ）A 3 米 B0.3 米 C0.03 米 D0.2 米例 2：(2008 年福建省福州市 )如图，在 ABC 中， DE， 分别是 AC， 的中点，若 5，则BC的长是 练习:1、(2008 年广东梅州市) 如图，要测量 A、 B 两点间距离，在 O 点打桩，取 OA 的中点 C， OB 的中点 D，测得 CD=30 米，则 AB=_米1（） 3045x30） （105图 2（第 7 题） A B C D3第 4 题AB CD E2、 （2008 山东潍坊）如图,RtABAC 中,ABAC ,AB=3,AC=4
4、,P 是 BC 边上一点,作 PEAB 于E,PDAC 于D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ）A. 35 B. 45 C. 72 D.215x3、如图，已知在等腰直角三角形 ABC 中，A=90，四边形 EFDH 为内接正方形，则 AE：AB= 4、 （2008 湖南株洲）如图，在 BC中， 、 E分别是 AB、 C边的中点，若6BC，则 E等于 A5 B4 C3 D25、(2008 江苏 常州)如图,在ABC 中,若 DEBC, ADB= 12,DE=4cm,则 BC 的长为（ ）A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm6、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高
5、度，然后回来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处（如图） ，然后沿 BC 方向走到 D 处，这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得 C、 D 两点的距离为 3 米，小芳的目高为1.5 米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由ABCDE PAB CDFE HAB CD E47、如图，为了求出海岛上的山峰 AB 的高度，在 D 和 F 处树立标杆 DC 和 FE，标杆的高都是 3 丈，相隔 1000 步（1 步等于 5 尺） ，并且 AB、 CD 和 EF 在同一平面内，从标杆 DC 退后 12
6、3 步的 G 处，可看到山峰 A 和标杆顶端 C 在一直线上，从标杆 FE 退后 127 步的 H 处，可看到山峰 A 和标杆顶端 E 在一直线上求山峰的高度 AB 及它和标杆 CD 的水平距离 BD 各是多少？（古代问题）例 3：如图，梯形 ABCD 中， ABCD ，点 F在 B上，连 DF与 AB的延长线交于点 G（1）求证： CFG ； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 E 交 于点 E，若 6cm4cEF， ，求 CD的长例 4：已知：如图，ABC 中，DEBC，BE 与 CD 交于点 O，AO 与 DE、BC 分别交 于点 M、N.求证：（1） ；（2）BMCM.D
7、CFEA B G6 题5例 5：已知如图，ABBD ，CDBD 垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于点 E，EFBD，垂足为 F，我们可以证明 成立（不要求证明）.若将图（1）中的垂直改为斜交，如图（2），ABCD，AD 、BC 相交于点 E，过点 E 作 EFAB 交 BD 于点 F，则：（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（2）请找出 SABD，S BED 和 SBDC 间的关系式，并给出证明.通过外平行找相似例 1：如图 7 所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(ABCD)，如果已知物体 AB=30，则 CD 的长应是（ ）A、15 B、30 C、20
8、 D、10ABCDO图 7126E CDAFBA DB CEFM(第 2 题图)练习：1、 （2008 湖北襄樊）如图 1,已知 AD 与 VC 相交于点 O,AB/CD,如果B=40,D=30,则AOC 的大小为（ ）A.60 B.70 C.80 D.1202、 （2008 上海市）如图，平行四边形 ABCD中， E是边 B上的点， E交 B于点 F，如果3BEC，那么 FD 3、 （2008 新疆建设兵团）如图，一束光线从 y 轴上点 A（0，1）发出，经过 x 轴上点 C 反射后，经过点 B（6，2） ，则光线从 A 点到 B 点经过的路线的长度为 （精确到 0.01）4、 （2008
9、湖北荆州）如图，直角梯形 ABCD 中，BCD90，ADBC，BCCD，E 为梯形内一点，且BEC90，将BEC 绕 C 点旋转 90使 BC 与 DC 重合，得到DCF，连 EF 交 CD 于 M已知BC5，CF3，则 DM:MC 的值为 （ ）A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:45 .如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B和 C，使 ，然后再选点 E，使 ，确定 BC 与 AE 的交点为 D，测得 米，BABC10米， 米，你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗？60D50EA BC DO图 1367已知一公共角，找相似例 1:（20
10、08 江苏盐城）如图， DE， 两点分别在 ABC 的边 ， 上， DE与 BC不平行(1)当满足什么条件时， A (2)若 DE=3cm,BC=4cm,EA=4.8cm,求 AB 的长。练习:1、如图所示，给出下列条件： BACD； ACB； ； AC 2=AD*AB其中单独能够判定 D 的个数为（ ）A1 B2 C3 D42、 （2008 年杭州市）在 RtABC 中，C 为直角，CDAB 于点 D,BC=3,AB=5,写出其中的相似三角形.例 2：（2009 年安徽）如图， M 为线段 AB 的中点， AE 与 BD 交于点 C， DME A B ，且 DM 交AC 于 F， ME 交
11、BC 于 G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结 FG，如果 45， AB 42， AF3，求 FG 的长ACBDCBA8例 3：如图，在三角形 ABC 中，AB=AC， A36 0， 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接BE。（1）求证：CBE=36 0（2）求证 AE2=ACEC例 4：如图，三角形 ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AD 的垂直平分线交 AD 与点 E,交 BC 的延长线与点F，求证ABFCAF其他例 1：如图 10 所示，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点， EFDE 交 BC 于点 F（1）求证： AD
12、E BEF；（2）设正方形的边长为 4， AE= x，BF = y当 x取什 么值时， y有最大值?并求出这个最大值9练习：1、 （2008 年南宁市）如图 4，已知 ABBD，EDBD，C 是线段 BD 的中点，且ACCE，ED=1，BD=4，那么 AB= 2、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，点 Q 在线段 BC 上，当三角形 ADP 与三角形 PCQ 相似时，求 BQ 的长。考点二：需要做辅助线证明相似例 1：如图，为了测量一棵树 AB 的高度，测量者在 D 点立一高 CD 等于 2m 的标杆，现测量者从 E 处可以看到标杆顶点 C 与树顶 A 在同一条直线上
13、，如果测得 BD=20m，FD=4m，EF=1.8m，求树高ABCDEF10例 2、如图，ABCD 中，对角线交于点 O，E 是 DC 延长线上一点，连结 EO 交 BC 于 F，设ABa，BCb，CEc，求 CF 的长.例 3、如图，在ABC（ABAC）的边 AB 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 ADAE，直线 DE和 BC 的延长线交于点 P，求证： .例 4：如图，在ABC 中，ABAC，D 是 AB 上任一点，E 是 AC 延长线上任一点，连接 DE 交 BC 于F.求证：DFFE BDCE. 11总结：如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示
14、出来，并简要说明识别的根据作业与练习：一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1、下列多边形一定相似的为（ ）A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形2、下列说法不正确的是（ ）A、 两对应角相等的三角形是相似三角形； B、两对应边成比例的三角形是相似三角形；12C、三边对应成比例的三角形是相似三角形； D、以上有两个说法是正确。3、若 x 是 3 和 6 的比例中项，则 x 的值为 （ ）A、 B、 C、 D、2232234、若 P 是线段 AB 的黄金分割点（PAPB） ，设 AB=1，则 PA 的长约为 （ ）A、0.191 B、0.382 C、0.5 D、0.6185、如图，若 P 为ABC 的边 AB 上一点（ABAC） ，则下列条件不一定能保证ACPABC 的有（ ）A、ACP=B B、APC=ACB C、 D、APBABC二、填空题（每题 4 分，共 32 分）1、在比例尺为 1：8000000 的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是 6.5cm，则这两市之间的实际距离为 km；2、小明的身高是 1.6m，他的影长为 2m，同一时刻教学楼的影长为 24m，则教学楼的高是；3、已知 AD 为 RtABC 斜边 BC 上的高，且 AB=15cm，BD=9cm，则 AD= ，CD= 。AB CP
