1、3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限1学科网备战高考数学极限【考点定位】 2010 考纲解读和近几年考点分布极限作为初等数学与高等数学的衔接点，每年必考，主要考查极限的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈 “小题” ，在选择、填空题中出现，都属容易题；极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；考查“数形结合” 、 “分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 （2）了解数列极限和函数极限的概念 （3）
2、掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限 （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质【考点 pk】名师考点透析考点一、数学归纳法 【名师点睛】1数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当 n=n0（n 0 是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（ 2）假设当 n=k（kN*， kn 0）时命题成立，再证明当 n=k+1 时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法. 特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标2数学归纳法的应用：证恒等式；整除性
3、的证明；探求平面几何中的问题；探求数列的通项；不等式的证明.【试题演练】设数列a n满足 a1=2，a n+1=an+ （n=1，2，）.（1）证明 an 对一切正整数 n 都成立；12（2）令 bn= （n=1 ，2，） ，判定 bn 与 bn+1 的大小，并说明理由.（1）证法一：当 n=1 时，a 1=2 ，不等式成立.假设 n=k 时，a k 成立，1 12当 n=k+1 时，a k+12=ak2+ +22k +3+ 2（k+1）+1，当 n=k+1 时，a k+1 成立.a )(综上，由数学归纳法可知，a n 对一切正整数成立.1证法二：当 n=1 时，a 1=2 = 结论成立.假设
4、 n=k 时结论成立，即 ak ，32 2当 n=k+1 时，由函数 f（x ）=x + （x 1）的单调递增性和归纳假设有3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限2ak+1=ak+ + = = = 121kk1248k12)(3k= .当 n=k+1 时，结论成立.因此，a n 对一切正整数 n 均成立.3（2）解： = =（1+ ） （1+ ） = = =nb1a21n12n1)2(n2)1(n1.故 bn+1b n.214)(2n误点警示：由 n=k 正确 n=k+1 时也正确是证明的关键.二、数列的极限【名师点睛】1.数列极限的定义：一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列a n的
5、项 an 无限地趋近于某个常数【试题演练】1 求下列数列的极限：（1） ;（2） （ n）; （3） （ + + ）.nlim752nlim2nlim242n分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2 后再求极限；（2）因 与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（ 3）因为极限的运算法则2只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1） = = .nlim752nli27513 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限3（2） （ n）= = = .nlim2limn2lin21（3）原式= = = （1+ ）=1.nli264 nli2)
6、1(lim误点警示：:对于（1）要避免下面两种错误： 原式= = =1, （2n 2+n+7）, )75(li2nlim（5n 2+7）不存在， 原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： （ n）= lim nli n=0;原式= n=不存在.对于（3）要避免出现原式=nli nlim2li+ + =0+0+0=0 这样的错误.li2n24nli22.已知数列 是由正数构成的数列， 3，且满足 lg lg lg c，其中 n 是大于 1 的整数，ca1ana1是正数 （1）求数列 的通项公式及前 n 和 ；（2）求 的值n snlim12na解:（1）由已知得 an ,1na n是以 a
7、13，公比为 c 的等比数列，则 3 n1 . nas3(1)()0.nc且（2） .当 c=2 时，原式 ;nlim1nalin3214当 2 时，原式 ; 当 0 2 时，原式= .nlicn3)(21 nlim1)2(3nc误点警示：几个常用的极限： C=C（C 为常数）; =0; qn=0（|q|1） 。求数列极限nlimnli1li时要注意分类讨论三、函数的极限根限的四则运算法则【名师点睛】1.函数极限的概念：（1）如果 =a 且 =a,那么就说当 x 趋向于无穷大xli()fxlim()f时，3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限41.求下列函数的极限：（1） （ （2） （ x
8、） （3） 2limx)14xxlim)(ba；（4） 0limx|2lix.2sincox解:（1）原式 = . （2）原式= =a+b.2lix4)(lix14xli xba)(2（3）因为 =1,而= =1， ,所以 不存在0limx|0lix|0limx|0lix|0limx|（4）原式= （cos +sin ）2lix2sinco22lix2误点警示：1。函数极限有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需注意.2在求函数极限时需观察，对不能直接求的可以化简后求，但要注意 与 的区xlim12xli12别.四、函数的连续性【名师点睛】 1.函数的连续性 .一般地，函数 在点 x
9、=x0 处连续必须满足下面三个条件：()f3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限5（1）函数 在点 x=x0 处有定义；（2） 存在；（3） = .如果函数 y=()f 0limx()f0limx()f0x在点 x=x0 处及其附近有定义，而且 = ,就说函数 在点 x0 处连续.()f 0x2.如果 是闭区间a,b上的连续函数，那么 在闭区间a,b上有最大值和最小值.()f ()fx3.若 、 都在点 x0 处连续,则 , g（x）, （ 0）也在点 x0 处连fxg()fgf)(fgx续.若 在点 x0 处连续,且 在 u0= 处连续,则复合函数 在点 x0 处也连续.()u()xfu特
10、别提示（1）连续必有极限,有极限未必连续（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“ ”是可以交换顺序的.f【试题演练】1 讨论函数 =()fx)0(1;,x处 的 连 续 性在 点分析：需判断 = =f（0）.0limxflix解: =1, =1, , 不存在. 在 x=0 处不连续.0lix()f()0()x0lim()fx0li()fx()f2.设 = 当 a 为何值时,函数 是连续的.f)(,exax f分析：函数 在 x=0 处连续,而在 x0 时, 显然连续,于是我们可判断当 a=1 时,)f ()f在（,+）内是连续的.()fx解: = （a+ x） =a,
11、 = ex=1,而 f（0）=a,故当 a=1 时, =f（0）,0limxf0lix0limx()f0li 0limx()误点警示：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【三年高考】 07、08、 09 高考试题及其解析 2009 高考试题及解析1 北京（理）9 _.1lix【答案】 【 解析】 ， ，故填2(1)xx11limli2xx.13 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限62 重庆理（8）已知 ，其中 ，则 的值为2lim()1xaxb,abRb（A） （B） （C） （D）626【答案】D 【解析】 所以 则2()()611xax2024ab6a
12、b3 湖北理 6.设 ，22 21201).n nnax（则 02423521lim(.(.)n nnaa.1A.0B.C2.D【答案】选 。 【解析】 2 20241351()()n naaa 0123132() )n na 令 ( ),xf)*N则 ， ，01232naa )1(f012321naa )(f 435() )n )(f，nn221()n21(2(4( 0.2 20241351lim.).)n nnaaa4 湖南（理科）15、将正ABC 分割成 2（ 2，nN）个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了n=2,3 的情形） ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的
13、三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2，f(3)= 103，f(n)= 16(n+1)(n+2)【答案】 10()236n；【解析】 （1）由于任意一条线上的数成等差数列，记 三点的数分别为 ，则在,ABC,ABCx3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限7上的两点所对应的数的和等于 ，又由重心性质可得：三角形中心点对应的为,ABCABCx，所以 .3x103f（2）因为 ，所以1,2,3ff23451,3666fff归纳得： .6nf5 陕西理
14、 13设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 nanS6312a2limnS【答案】1【解析】由 61352dS12n221lilili()nn2008 高考试题及解析一选择题1 （湖北卷理 8）已知 , ，若 ,则 （ ）*mNabR0(1)limxabA B C D1【标准答案】【试题解析】易知 由洛必达法则有 ，所以 1,a 100(1)()lilimmxxabamA2 （江西卷理 4） （ ）132limxA B C D不存在012【标准答案】 .【试题解析】 1132(3)()(1lili132xxx1() =lim) 2x3 （辽宁卷理 2） （ ）35(21)lixnA B C1
15、D21413 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限8答案：B 解析：本小题主要考查对数列极限的求解。依题235(21)1limlim.n nn4 （上海卷理 14 文 14）若数列a n是首项为 1，公比为 a 的无穷等比数列，且a n各项的和为 a，则 a32的值是（ ）A1 B2 C D12 54【答案】 【解析】由 .131 | |2aSqa二填空题1 （湖北卷理 15）观察下列等式： 21,ni n23211,6i n343211,ni n4543,0ni565421 ,ni67653111,242ni nn2 211101 ,nkkkkkianaa 可以推测，当 2（ ）时， ， .
16、x*N11,kkk2ka【标准答案】15 ,01k【试题解析】由观察可知当 ，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以 ，2时 12k第四项均为零，所以 。ka【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。 【易错提醒】没有正确理解题意。【备考提示】数列是高中的重要内容，要重点复习。2 （江苏卷 10）将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567890 按照以上排列的规律，第 行 从左向右的第 3 个数为 。n(3)3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限9【答案】26n【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前 行共用了 个数，1n23(1)n 2因此第 行 从左向右的第 3 个
17、数是全体正整数中的第 个，即为 。n(3)()265 （湖南卷理 11） .21lim_34x【答案】 【解析】 2111lilimli.(4)(4)5xxx6 （陕西卷理 13） ，则 ()lina a【解析】 分式类极限的逆向思维问题，注意到同次的分式极限值为最高项系数比，则有 121a；7 （天津卷理 15）已知数列 中， ，则 .na*31,1Nnan nalim解析： 所以2 21 121()() 3(nnn na 3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限10.2173lim6na8 （重庆卷理 12）已知函数 f(x)= (当 x 0 时) ，点在 x=0 处连续，则23(0xa当
18、 时 ）当 时 ） .21limxan【答案】 【解析】 又 点在 x=0 处连续，所以 即30lix03lim23x(0)fa0lim()xf故a21li9xn2007 高考试题及解析一、选择题 1.（福建理 9）把 展开成关于 的多项式，其各项系数和为 ，则21()(1)nxx xna等于（ ）A B C D22limna 421解析：令 x=1 得 an=1+2+22+2n= ，112n，选 D.3li12li1nn2. （湖北理 5）已知 和 是两个不相等的正整数，且 ，则 （ ）pq2q 1limpqnA0 B1 C Dpq1p答案：选 C 解析：法一 特殊值法，由题意取 ，1,2则
19、 ，可见应选 C21limlilimpqnnnpq 法二 11mxxx211m 3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限11令 ， 分别取 和 ，则原式化为1xnmpq211lili 11 ppq qnnnn 21lim,li,lim,pnnn所以原式= （分子、分母 1 的个数分别为 个、 个）1pq q3 （湖南理 7）下列四个命题中，不正确的是（ ）A若函数 在 处连续，则()fx000li()li()xxff B函数 的不连续点是 和242C若函数 ， 满足 ，则()fxglim()xfg lim()li()xxfg D 1lim2x【答案】C.【解析】 的前提是 必须都存在！li()
20、li()xxfg li()li()xxfg 与4 （江西理 2） （ ）等于 等于 等于 不存在321lix013解析： = ，选 B31limxli21x5(上海文 14)数列 中， 则数列 的极限值（ ）na2110nn， ， ， na等于 等于 等于 或 不存在01【答案】B【解析】 ，选 B。21limlilimnna6. （四川理 3） （A ）0 (B)1 (C) (D)21lix 2132解：原式 或原式 选 D11()2limli23xx12lim43x3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限127 （重庆理 8）设正数 满足 ，则 （ ）ab， 2lim()4xab1lim2
21、nnab 014【答案】：BP1,P2,Pn1 ,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q 2，Q n1 ，从而得到 n1个直角三角形Q 1OP1, Q 2P1P2, Q n1 Pn2 Pn1 , ， ， ，当 n 时，这些三角形的面积之和的极限1(,0)k ()(,kk|为 .整理得222lim)()nnn= 。2(1)(36li n 19 （辽宁理 13）已知函数 在点 处连续，则 2cos(0)()axf ， xa解析：因为 在点 处连续，故 ，填-12cos0()1()axf ， 1)0(lim)(li00 afxffxx10 （全国理 16）已知数列的通项 ，其
22、前 项和为 ，则 52nannS2lin解：【答案】 【解析】已知数列的通项 an=5n+2，其前 n 项和为 Sn ，则(5)23 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限13= 。2limnS511 （陕西理 13） 211lixx解析： 312)2(limli1121 xxxx12 （天津理 13）设等差数列 的公差 是 2，前 项的和为 ，则 nadnnS2lina【答案】3【分析】根据题意知 11()2n a21,()n代入极限式得 .2 2134lim3()na13 （上海春 1）计算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)1(3li2n【答案】 【分析】 所以32nn13
23、)(222)1(32lin三、解答题14 （湖北理 21）已知 为正整数， （I）用数学归纳法证明：当 时， ；m， x()1mx（II）对于 ，已知 ，求证 ，6n 132mn1132mn， ， ，（III）求出满足等式 的所有正整数 4()()n n3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限14，2121113332nnn nn nnn即 即当 时，不存在满足该等式的正整数 34(2)(3)nnn 6 n故只需要讨论 的情形：当 时， ，等式不成立；145，134当 时， ，等式成立；当 时， ，等式成立；2n2n3356当 时， 为偶数，而 为奇数，故 ，等式不成立；44436474447
24、当 时，同 的情形可分析出，等式不成立综上，所求的 只有 5 n23，解法 2：（）证：当 或 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：0x1m当 ，且 时， ， 1x2 ()x（）当 时，左边 ，右边 ，m2x因为 ，所以 ，即左边 右边，不等式成立；0x20x3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限15（）假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时，(2)mk ()kx1mk因为 ，所以 又因为 ，所以 1x0x0xk， 20于是在不等式 两边同乘以 得()k1，2()(1)()(1)kxxkxkx所以 即当 时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立1km（）证：当 ， 时， ， ，6
25、n n 132n 1132nm而由（） ， ， 103m nn m （）解：假设存在正整数 使等式 成立，06n 0 0034(2)(3)nnn即有 0 02413n又由（）可得00033nnn00 01113nnn，与式矛盾00 0122nnn故当 时，不存在满足该等式的正整数 下同解法 1615 （江西理 17）已知函数 在区间 内连续，且 21(0)()xccfk (0)， 29()8fc（1）求实数 和 的值；（2）解不等式 kc2()18f3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限162 假设 成立，则 ，则 时(2)nk 2ka1nk由得 2211kka 21()(1)kka22 2
26、1()()()k因为 时， ，所以 k 22()(1)0k 2(1)0k，所以 又 ，所以 1 10， 1ka*N221()()ka 故 ，即 时， 成立由 1 ，2 知，对任意 ， 2()kan2nn*N2na（2）方法二：由 ， ， ，猜想： 1a2439n下面用数学归纳法证明1 当 ， 时，由（1）知 均成立； 2a2 假设 成立，则 ，则 时()nk 2kk由得 即 2211kkaa 211()kkaa由左式，得 ，即 ，因为两端为整数，1k321()k3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限17则 于是 321()1()kakk 2()ka又由右式， 221()k则 因为两端为正整数
27、，则 ，23()()ka2431()ka所以 又因 时， 为正整数，则 42121k kk k 1k 21()ka据 ，即 时， 成立由 1 ，2 知，对任意 ， 1()kan2nan*N2n17. （辽宁理 21）已知数列 ， 与函数 ， ， 满足条件： ，nb()fxgxRnab.（I ）若 ， ， ， 存在，求1()(nnfbgN*()0fxtt ， ， ()fblimn的取值范围；（II）若函数 为 上的增函数， ， ， ，证明对任意xyR1()x(1)f， （用 表示） *limnat()解法一：由题设知 得 又已知 ,可得12,natb1.2nnta2t4 分).(21tttann
28、由 1),0, 0,22ttfbgabt可 知是等比数列，其首项为 .于是2nat所 以 ,tt公 比 为1, 1()()(.22n nntbatbt t即又 存在，可得 0 1,所以-2 t2 且 8 分lima|20.limtan解法二.由题设知 tbn+1=2bn+1,且 可得 4 分由.t )(1bttn可知 ,),(tbgf 2,01tt所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.21tntbt.21)(21(,)(1 ttttb nnn 即由 可知，若 存在，则 存在.于是可得 0 1,1nanalimnbli |t3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限18所以-2 t2 且 =2 8
29、 分.0tnalimnbli.t解法三:由题设知 tbn+1=2bn+1,即 于是有 ,21 ,212nnbt-得 4 分得令)(2112 nnn ctb .1ct由 12()(),00,2tbfgt 可 知所以 是首项为 ,公比为 的等比数列，于是nc21bt（ b2-b1）+2 b)(2)( 1121 btcbnnn tann)(142又 存在，可得 0 1,所以-2 t2 且nalim|t .0t8 分.)(241tbt18.（全国 I 理 22）已知数列 中 ， ， na11()2nnaa13， ， ， （）求 的通项公式；（）若数列 中 ， ， ，证明：nanb1134nb， ， ，
30、 432nb 12， ， ， 解：（）由题设： ()2nnaa(1)2)(1)2na， ()n13 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限1919.（天津理 21）在数列 中， ，其中 （）求na1112(2)()nnnaN， 0数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 ；（）证明存在 ，使得 对nannSk1nka任意 均成立N(I)解法一： ， ，222()a23233()()a.34344()由此可猜想出数列 的通项公式为 .na(1)2nna以下用数学归纳法证明.(1)当 时 等式成立.(2)假设当 时等式成立，即1, nk那么，(1)2,kka1(2)kkka 1(1)22kkk1.k
31、这就是说，当 时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式 对任何 N 都成立.n (1)2nnan*解法二：由 N 可得11(2)(nnna*),01 1,nn3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限20所以 为等数列，其公差为 1，首项为 0.故2nna 21,nna所以数列 的通项公式为n()2.nna(II)解：设 2341.(),nT5 1.(2).nn 当 时，式减去式，得1231().()nnnT211(),nn121212() .() ()nn 这时数列 的前 项和na2121.()nnnnS当 时， 这时数列 的前 项和1(1).2nTna1()2.nnS(III)证明：通过分
32、析，推测数列 的第一项 最大.下面证明： 1n21214,.nan由 知 要使式成立，只要 因为0.na2(4)().nnaa222(4)()1(4)n 12.124()nn所以式成立. 因此，存在 使得 对任意 N 均成立.121,nna,k121nkaa*20.（重庆理 21）已知各项均为正数的数列 的前 项和 满足 ，且 ，nanS16()2nnS （）求 的通项公式；（ ）设数列 满足 ，并记 为 的前 项和，nNnab(2)baTb求证： 231log(3)nTN，（I）解：由 ，解得 或 ，由假设 ，因此 ，1(2)6S111S12a又由 ，得 ，1 1()26nnnnaaa()(
33、3)0nna即 或 ，因 ，故 不成立，舍去30101n3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限21由此不等式有33321131log5nTn2l 3 22258loglog(3)log(3)31nna证法三：同证法一求得 及 nbT令 ， 3647125136n nAB ，584731nC因 因此 2n2+2nAB从而 332 23loglog51n nT 222llog()log(3)n nABna证法四：同证法一求得 及 下面用数学归纳法证明： nbT21l3nnTa当 时， ， ，因此 ，结论成立1n1273log4212l(3)log5a13og()假设结论当 时成立，即 kkk则当
34、 时， 121121l()l()k kkTTba3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限222211log(3)log()kkkaab32()log5k因 故 32()(5)970322()l 0k从而 这就是说，当 时结论也成立121log3kkTa1n综上 对任何 成立3()nn+N【两年模拟】 08 名校模拟题及其答案一、选择题1、 （2008 荆门市实验高中测试）2lim1nabc等于 ( )A.1 B. C. c D.1 或 2b答 案 D2、 （2008 荆门市实验高中测试）下列极限存在的是 ( ) 21limx 0lix 2li3x 21lixA. B. C. D.答 案 C3、
35、 （2008 荆门市实验高中测试）已知 a,b 时互不相等的正数，则 limnab等于（ ）A.1 B.1 或1 C.0 D.0 或1 答 案 B4、(淮南市部分重点中学 2007 年高三数学素质测试）设 )(li,)0(2)(0xfxef 若存在，则常数 b 的值是（ ） A0 B1 C1 De.答 案 B5、 (巢湖 2007 二模)若 1)1(2limxbax ,则常数 ba ,、的值为 （ ）A. 4,2a， B. 4,， C. 42， D. 4,2ba.答 案 C6、(皖南八校 2007 届一联） xx2(li的值为 （ ）A0 B不存在 C 1D 1.答 案 C7、 （南昌市 20
36、07-2008 学年度高三第一轮复习训练）已知数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4 则这个数列的第 2006 个数是 ( )A 62 B.63 C 64 D 65 答 案 B 8、 （南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练）函数 f（x）= 2x的不连续点为 ( )A x= 1 B x=1 C x= 1 D 以上答案都不对 答 案 A 9、 （南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练）用数学归纳法证明命题时，此命题左式为 12342n ，则 n=k+1 与 n=k 时相比，左边应添加 ( )A 1k B 112kk C 1kk D 答 案 C 3 年高考 2
37、年模拟 1 年原创 极限23二、填空题10、 （2008 荆门市实验高中测试） 若 lim,()n aan则 常 数 。.答 案 211、 （2008 荆门市实验高中测试） 322si1lixx_。答 案 112、 （2008 宣威六中高三数学测试）322sinil1xx_。答 案 113、 （安徽宿州三中 2007 年三模）已知32limxab，则 1limnab 答 案 -8 三、解答题14、 （2008 荆门市实验高中测试）求24sincoslixx解 2sincossix4limss24x原 式（2）因为 22111()log()2nnbnn3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限24
38、所以 11()22nSn故 lim4nS17、(南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)数列 *0,nn naasN中 ， 前 项 和 且（1）求 1,2n并 猜 想 的 表 达 式 （2）证明猜想的正确性解 ： 11as时()1lim()0,0nfxfa与 矛 盾 1li()li2bxnnf(21)0,00()bbb ab即 故由知 )1(,21,)( faff 即上 为 增 函 数在14142.()5xbb xxakN当 时 ().42kkf3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限25(1)2(3)()()2nfffn 1.2n2009 名校模拟题及其答案一、选择题1、 (2
39、009 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) 2lim68x的值为 ( )A0 B1 C 1D 13答 案 CA如果 f (x) = ，则 f (x) = 0 B如果 f (x) = 2 x1，则 f (x) 1x lim x+ lim x0= 0C如果 f (n) = ，则 f (n) 不存在n 2 2nn + 2 lim nD如果 f (x) = ，则 f (x) = 0 答 案 D(x ， x 0x + 1， x 0) lim x06、 （2009 宣威六中第一次月考） (12nna，则 lina（ ）A 1 B 2 C 3 D 答 案 A二、填空题7、 （20
40、09 上海十四校联考）如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，记这个数列的前 n 项和为 Sn，3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限26则 nS3lim= .答 案 68、 （2009 上海奉贤区模拟考）已知各项均为正数的等比数列na的首项 1，公比为 q，前 n 项和为 nS，若 1limn，则公比为 q的取值范围是 。答 案 0（ ，9、 （2009 闵行三中模拟）若实数 a满足 032，则13lina_.答 案 310(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)若 9)(x展开式的第 7项为 42，则lim2nnxx= 答案 217、 （2009 宣威六中第
41、一次月考）123limn= .答 案 -3三、解答题18、 （2009 冠龙高级中学 3 月月考）由函数 yfx确定数列 na， f，函数 yfx的反函数 1yfx能确定数列 nb， 1n，若对于任意 *N，都有 nab，则称数列 nb是数列 na的“自反数列” 。(1)若函数 pfx确定数列 n的自反数列为 ，求 a的通3 年高考 2 年模拟 1 年原创 极限27项公式；(2)在(1)条件下，记 nxx12为正数数列 nx的调和平均数，若 21nda，1,2nba都满足 ab，求 limnS. 解 因为 0，所以由条件可得 12nna， *N.即数列 na是公比 12q的等比数列.又 3q，所以， 12lim3naSq.【一年原创】 2008 和 2009 原创试题及其解析一选择题1、如果复数 m2(1i
