排列、组合、二项式定理概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结.doc

1、1AC BD排列、组合、二项式定理概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结1.排列数 中 、组合数 中 .mnA1,nN、 mnC,10,nm、 N(1)排列数公式 ； 。!()2(1)() !(1)21An如（1）若 ，则 ， ；（2）满足 的 .7654mn 86xx(2)组合数公式 ；规定 ， .()()!()12nmAnmnCm 01！ 0nC如已知 ，则 ， 1mn(3)排列数、组合数的性质： ； ； ；nmC1nnC1kn； ； .121rnrrC !()!()!()!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，

2、只需一种方法就能完成这件事） ，分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的） ，有序排列，无序组合如（1）将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 种；（2）从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种；（3）从集合 和 中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的,21,46个数是_；（4）将字母 ,abc排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 种；（5）由六棱锥的所有顶点所确定的直线共有

3、_条，这些直线中共有_对异面直线；（6）用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法；（7） 是集合 到集合 的映射，且f,Mabc1,0N()fab，则不同的映射共有 个；()fc（8）一栋 7 层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上 7 楼，且甲不在 2 楼下电梯的所有可能情况种数有_种 （9）有四位学生参加三项不同的竞赛，每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ； 每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有 ； 每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参

4、加，则不同的参赛方法有 。3.解排列组合问题的方法有：方法 1:特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。如（1）从 5 种不同的蔬菜种子中选 3 种分别种在 3 块不同土质的土地上，共有_种不同的种法；（2）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种；（3）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶

5、数_个；（4）某班上午要上语、数、外和体育 4 门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_；2（5）四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第 2 或 3 号盒，而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有 _种。 方法 2: 间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）) 。如：已知集合 A5，B1,2，C 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为_。方法 3:相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素 “捆绑”为一个大元素，然后再与其余

6、“普通元素”全排列，最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位置上全排列） 。如（1）把 4 名男生和 4 名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_；（3）把一同排 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_；（4）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_ 方法 4: 不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些

7、元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间） 。如（1）3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种；（2）某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_；（3）12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是_。方法 5: 多排问题单排法。如 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排法种数(1)选 5 名

8、同学站成一排； (2)选 5 名同学站成两排，前排 2 人，后排 3 人； (3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (4)全体站成一排，男、女各站在一起； (5)全体站成一排，男、女生各不相邻；(6)全体站成一排，男生不相邻；(7)全体站成一排，甲、乙之间必须有 2 人；(8)全体站成一排，甲必须在乙的右边； (9)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变 方法 6: 多元问题分类法。如（1）已知集合 A1，2， 3，B4，5，6 ，从 A 到 B 的映射 f(x)，B 中有且仅有 2 个元素有原象，则这样的映射个数为_个； （2）某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2

9、个项目作为本年度启动的项目，则重点项目 A和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数 有_ 种；（3）9 名翻译人员中，5 人只懂英语，3 人只懂日语，1 人既懂英语，又懂日语，从中选拔 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担任英语翻译，2 人担任日语翻译，选拔方式有_种；空间 10 个点，其中有 5 点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成_个四面体。方法 7: 有序问题组合法。如（1）某大楼从一楼到二楼的楼梯共 10 级，上楼时要可以一步上一级，也可以一步上两级，规定从一楼到二楼用 8 步走完，则不同的上楼方法数有_种；（2）书架上有 3 本不同的书，如果

10、保持这些书的相对顺序不便，再放上 2 本不同的书，有 种不同的放法；（3）8 个人坐成一排照相，现要调换其中 3 个人中每一个人的位置，其余 5 个人的位置不变，则不同的调换方式有_种；（4）有一张节目表中原有 6 个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添进去 3 个节目，则不同的添加方法有_种（5）设集合 ，对任意 ，有 ，则映射 的1,2345,78AxA(1)2()ff:fA个数是_；（6）如果一个三位正整数形如“ ”满足 ，则称这样的三位数为凸数（如321a31a且3120、363、374 等） ，那么所有凸数个数为_。方法 8: 选取问题先选后排法。如某种产品有 4 只次品和 6

11、 只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_。方法 9: 至多至少问题间接法 。如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的选法有_种；从 7 名男同学和 6 名女同学中选 4 人去参加一个会议，规定男女同学至少有 1 人参加，则不同的选法有_种。方法 10: 相同元素分组可采用隔板法 。如（1）10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？；（2）某运输公司有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且型号相同，要从这 7 个车队中抽

12、出 10 辆车组成一运输车队，每个车队至少抽 1 辆车，则不同的抽法有多少种？ 4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以 n！。如：(1)六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法分给甲，乙，丙三人，每人两本，有多少种分法? 分为三堆，每堆两本，有多少种分法? 分为三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种分法? 分给甲，乙，丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种分法？分给甲，乙，丙、丁四人，每人至少一本，有多少种分法？(2) 12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队） ，则 3 个强队恰好被分在同一

13、组的分法有 种。(3) 某展室有 9 个展台，现有 件展品需要展出，要求每件展品独自占用 个展台，并且 件展品所1选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有多少种？如果进一步要求 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有多少种？ 5.二项式定理： ，其中组合数 叫做第 r+1 项01()nnrnrnabCabCab rnC的二项式系数；展开式共有 n+1 项，其中第 r+l 项 称为二项展开式的通1(0,12T,)项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。如

14、在 的展开式中，第naxb项的二项式系数为 ，第项的系数为 ；而 的展开式中的系数就是二项式系数；rn rnab()nx（2）当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如(1) 的展开式中常数项是_；71()x(2) 的展开式中的 的系数为_ ；3410()x 3x(3) 展开后所得的 的多项式中，系数为有理数的项共有_项；0(2)(4) 展开式中的常数项为_；6321x(5)已知 的展开式中， 的系数是 56，则实数 a 的值为_；6()a3x(6)若 的值能被 5 整除，则 的可取值的个数345650

15、(21)xNx且 x有_个。6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ；mnC4（2）增减性与最大值：当 时，二项式系数 C 的值逐渐增大，当 时,C 的值逐渐12nrrn 12nrrn减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第 1 项）的二项式系数 取得最大值。当2Cn 为奇数时，中间两项（第 和 1 项）的二项式系数 相等并同时取最大值。如212n（1）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数为_；（2）在 的展开式中，第十1()x ()nx项是二项式系数最大的项，则 _。n（3）二项式系数的和： ； 。01rnC 2nC 0213nn

16、C12n如（1）如果 ，则 ；1287n 1（2）化简 03()n7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 、 “奇数 (偶次) 项”系数和为()f，以及“偶数 (奇次) 项”系数和为 。)(f 1)(2f如（1）已知 ，则 等于_；929013xaxax 029|aa（2） ，则204 04() _；01()a024()（3）设 ,则 _nn xxx221 n2208、系数最大项的求法：设第 项的系数 最大，由不等式组 确定 。rrA1rAr如求 的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。310()2x9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题

17、或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998) 5 精确到 0.001 近似值为_；（2） 被 4 除所得的余数为_；923（3）今天是星期一，100 45 天后是星期_；（4）求证： 能被 64 整除；*8()nN（5）求证： )2,(2)(3*1nNn且5AC BD概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结1.排列数 中 、组合数 中 .mnA1,nN、 mnC,10,nm、 N(1)排列数公式 ； 。如（1）!()2()()n !()2nA1！+2！+3！+n！（ ）的个位数字为 （答：3） ；（2）满足 的 *4, 286xAx（答：8）(2)组合数公式；规定 ， .如

18、已知(1)(1)!()2mnAnmnCm 01！ 0nC，求 n，m 的值（答：mn2）16n(3)排列数、组合数的性质： ； ； ；nC1nnC1kn； ； .121rnrr !(1)!()!()!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事） ，分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的） ，有序排列，无序组合如（1）将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 种（答： ） ；53（2）从 4 台甲型和 5 台

19、乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70） ；（3）从集合 和 中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的1,23,46个数是_（答：23） ；（4）72 的正约数（包括 1 和 72）共有 个（答：12） ；（5） 的一边 AB 上有 4 个点，另一边 AC 上有 5 个点，连同 的顶点共AA10 个点，以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90 ） ；（6）用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答： 480） ；（7）同室 4 人各

20、写 1 张贺年卡，然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡，则 4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9） ；（8） 是集合 到集合 的映射，且f,Mabc,0N()fab，则不同的映射共有 个（答：7） ；()0fc3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的

21、装饰效果有_种（答：300） ；（2）某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0. 千位、百位上都能取 0. 这样设计出来的密码共有_种（答：100） ；（3）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个（答：156） ；（4）某班上午要上语、数、外和体育 4 门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6） ；（5）四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第 2 或

22、 3 号盒，而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_种（答：84；96） ；（6）设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖，将五个杯盖盖在6五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（答：31）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4) ，(6,3)，(1,2)，(2,1) 可以确定三角形的个数为_（答：15） 。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑” ，将特殊

23、元素在这些位置上全排列） 。如（1）把 4 名男生和 4 名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880） ；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20） ；（3）把一同排 6 张座位编号为1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间） 。如（1）3 人坐在一排八个座位

24、上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24） ；（2）某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42） 。（5）多排问题单排法。如若 2n 个学生排成一排的排法数为 x，这 2 n 个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数为 y，则 x,y 的大小关系为_（答：相等） ；（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料，现有 5 种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种（答：15）

25、 ；（2）某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答：36） ；（3）9 名翻译中，6 个懂英语，4 个懂日语，从中选拨 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担任英语翻译，选拨的方法有_种（答：90） ；（7）有序问题组合法。如（1）书架上有 3 本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2 本不同的书，有 种不同的放法（答：20） ；（2）百米决赛有 6 名运动 A、B、C、D、E、F 参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_种

26、（答：360） ；（3）学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩 且满足 ，89,01,3(,24)ixi124xx则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种（答：15） ；（4）设集合 ，对任,5,678意 ，有 ，则映射 的个数是_（答： ） ；（5）如果一个三位xA()2(3)ff:f38正整数形如“ ”满足 ，则称这样的三位数为凸数（如 120、363、374 等） ，那么31a2321a且所有凸数个数为_（答：240） ；（6）离心率等于 (其中 且 )的不qplog91,q*,Np同形状的的双曲线的个数为_（答：26） 。（8）选取问题先选后排法。如某种产品有 4 只次品和 6

27、只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_（答：576） 。（9）至多至少问题间接法。如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的选法有_种（答：596）（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15） ；（2）某运输公司有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且型号相同，要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队，每个车队至少抽 1 辆车，则不同的抽法有多少种？（答

28、：84）4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以 n！。如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到 4 所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440） ；5.二项式定理： ，其中组合数 叫做第 r+1 项01()nnrnrnabCabCab rnC的二项式系数；展开式共有 n+1 项，其中第 r+l 项 1(0,12T称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二,)n项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。

29、如在的展开式中，第项的二项式系数为(axb7，第项的系数为 ；而 的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当 n 的数值rnCrnCab1()nx不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1） 的展开式中常数项是_（答：14） ；（2）37()的展开式中的 的系数为_ （答：330） ；（3）数3410()()()xx x的末尾连续出现零的个数是_（答：3） ；(4) 展开后所得的 的多项式中，系数10 403(2)xx为有理数的项共有_项（答：7） ；(5)若 的值能2566151(1)N且被 5 整除，则 的可取

30、值的个数有_个（答：5） ；(6)若 二项式 按 降幂,yy且 9yx展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 （答： ） ；x()6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ；mnC（2）增减性与最大值：当 时，二项式系数 C 的值逐渐增大，当 时,C 的值逐渐12nrrn 12rrn减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第 1 项）的二项式系数 取得最大值。当2n 为奇数时，中间两项（第 和 1 项）的二项式系数 相等并同时取最大值。如212n（1）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数为_（答：426） ；（2）在 的展1()

31、x (1)nx开式中，第十项是二项式系数最大的项，则 _（答：17,18 或 19） 。n（3）二项式系数的和： ；01rnC 2nC 0213nnC。如（1）如果 ，则 （答：2n2187 1128） ；（2）化简 （答： ）013()nnn ()7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 、 “奇数 (偶次) 项”系数和为(f，以及“偶数 (奇次) 项”系数和为 。如)(f 2f（1）已知 ，则 等于_（答：929013xaxax 0129|aa） ；94（2） ，则 204 2420() 0()()_（答：2004） ；0a（3）设 ,则 _（答： ） 。nn xaxax22102)1( na220 213n8、系数最大项的求法：设第 项的系数 最大，由不等式组 确定 。如求rrA1rAr的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 （答：系数绝对值最大的项为310()2x，系数最大的项为 ）951358x9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998) 5 精确到 0.001 近似值为_（答：0.990 ） ；（2） 被 4 除所得的余数为_（答：0） ；923（3）今天是星期一，100 45 天后是星期_（答：二） ；7