1、1平面向量概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。例：已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量ABa是_（答：（3,0） ）2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是AB)；|BA4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
2、 、 叫做平行向量，ab记作： ，规定零向量和任何向量平行。ab提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 AB、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。aa例：下列命题：（1）若 ，则 。ab（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 ，则 是平行四边形。ABD（4）若 是平行四边形，则 。CABDC（5）若 ，则 。,abca（6）若 ，则 。其中正确的是_/
3、（答：（4） （5） ）二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如： ，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如： ， ， 等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ，xyi为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的j a,ij,xya坐标， 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标a,xy与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。12例：（1）
4、若 ，则 _(1,)b(,)(,)cc2（答： ） ；132ab（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 12(0,)(1,)e12(,)(5,7)eC. D. 356134（答：B） ；（3）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向,ADBEACB,ADaEbC量 表示为_,ab（答： ） ；243ab（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 B2 srC的值是_sr（答：0）四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规aa定如下： 当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0 时，1,2a 的方向与 的方向相反，当 0 时， ，注意： 0
5、。a 0五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ，ab,OAaBbAO称为向量 ， 的夹角，当 0 时， ， 同向，当 时， ， 反向，0abab当 时， ， 垂直。22平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量ab叫做 与 的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即 。|cosabab abcos规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。例：（1）ABC 中， ， ， ，则 _3| AB4| C5| BBCA（答：9） ；（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_1(,)(0,),2abcakbdcd4k（答：1
6、） ；（3）已知 ，则 等于_,53A（答： ） ；23（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_,abab与ab（答： ）03 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于 0。|cos例：已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为_3|512（答： ）51234 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投影的积。abab|ab5向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则： ；0当 ， 同向时， ，特别地， ；222,a当 与 反向时， ；abab当 为锐角时， 0，且 不同向， 是 为锐角的必要非充分条件； 、 0ab当 为钝角时， 0，且 不反向， 是 为钝角的必
7、要非充分条件；、 非零向量 ， 夹角 的计算公式： ；abcos 。|例：（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范)2,()2,3(bab围是_（答： 或 且 ） ；43013（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 夹角 的OFQS1 FQO2S FQO,取值范围是_（答： ） ；(,)43（3）已知 与 之间有关系式(cos,in)(cos,in)axbyab，用 表示 ；求 的最小值，并求此时 与 的夹,0kabk且kab角 的大小（答： ；最小值为 ， ）21(0)4kab 1260六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于
8、不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向,ABaCb量 叫做 与 的和，即 ；ACababABC向量的减法：用“三角形法则”：设 ，,abA那 么由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。例：（1）化简： _； _；DAD_()()BDB（答： ； ； ） ；CB0（2）若正方形 的边长为 1， ，则 _AC,BaCbc|abc（答： ） ；2（3）若 O 是 所在平面内一点，且满足 ，则OOA的形状为_ABC4（答：直角三角形） ；（4）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足DABCABCP，设 ，则 的值为_0PAB|P（
9、答：2） ；（5）若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为_OAB 0OABABC（答： ） ；102坐标运算：设 ，则：12(,)(,)axyb向量的加减法运算： ， 。1x12)y例：（1）已知点 ， ，若 ，则当 _时，(2,3)5,4AB(7,0C()APBR点 P 在第一、三象限的角平分线上（答： ） ；12（2）已知 ， ，则 1(2,3),4(sin,co)2xy且 ,(,)2xy（答： 或 ） ；6（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力(1,)A123(3,4)(,5)(,1)FF的终点坐标是 123F（答：（9,1） ）实数与向量的积： 。11,axyy若 ，则 ，即一个向量的
10、坐标等于表示这个12(,)(,)xyB2B向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。例：设 ，且 ， ，则 C、D 的坐标分别是(,3),5A3AC3AB_（答： ） ；1(,)7,93平面向量数量积： 。12abxy例：已知向量 （sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0） 。 （1）若 xc，求向量 、 的夹角；（2）若 x ，函数 的最大值为 ，求3ac483baxf)(2的值（答： 或 ） ；(1)50;1向量的模： 。222|,|axyaxy例：已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 _,b60|3|ab（答： ） ； 13两点间的距离：若 ，则 。12,AxyB22
11、11|ABxy5七向量的运算律：1交换律： ， ， ；abaab2结合律： ， ；,cccabab3分配律： ， 。c例：下列命题中： ；cabca)( ； ；2()| 2|b 若 ，则 或 ；0baa0若 则 ；,c ；2 ；2ab ；2() 。其中正确的是_2ab（答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，为什么？cba)()八向量平行(共线)的充要条件：0。例：(1
12、)若向量 ，/ab22()(|)ab12xy(,1)(4,)axb当 _时 与 共线且方向相同x（答：2） ；（2）已知 ， ， ，且 ，则 x _(1,)4,)uabva/uv（答：4） ；（3）设 ，则 k _时，A,B,C 共线,2(,5(10,)PAkBPC（答：2 或 11）九向量垂直的充要条件： .|abab10xy例：(1)已知 ，若 ，则 (1,)(3,)OmOABm（答： ） ；32（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ，则点 B 的90B坐标是_ （答：(1,3)或（3，1） ） ；（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是_ (,)nabnm
13、m6（答： ）(,)(,)ba且十、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，|abab特别地，当 同向或有 ； 、 0|ab|ab当 反向或有 ；、 |当 不共线 (这些和实数比较类似 ). 、 |（3）在 中，ABC若 ，则其重心的坐标为 。123,xyxy123123,xyG例：若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 （-1，-1） ，则ABC 的重心的坐标为_（答： ） ；4(,)3 为 的重心，()3PGABPCGAB特别地 为 的重心；0 为 的垂心；C向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直()(| BAC线)； 的内心；|0ABPCAPBA（4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 、 、 C、 、 、且 .1例：平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足O)13()BC O,其中 且 ,则点 的轨迹是_ BOA21R21,121（答：直线 AB）
