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1、中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率随机事件 的概率 ，其中当 时称为必然事件；当 时称为不可能A0()1P()1PA()0PA事件 P(A)=0； 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)= 。理解这里 m、的意义。如（1）将数字n1、2、3、4 填入编号为 1、2、3、4 的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_（答： ） ；（2）设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率：从8中任取 2 件都是次品；从中任取 5 件恰有 2 件次品；从中有放回地任取 3 件至少有 2

2、 件次品；从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 （答： ； ； ； ） 1015023、互斥事件：（A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生） 。计算公式：P(A+B) P(A)+P(B) 。如（1）有 A、B 两个口袋，A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球，B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球，从 A、B 袋中各取两个球交换后，求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率。 （答： ） ；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命8中者为胜，最多各打 5 发，已知他们的命中率分别为 0.3 和 0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.42 5=0.013，结果保留两位小数） _（答：0.51） ；（3 ）有

3、一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有 n 个人正在使用电话或等待使用的概率为 P（n） ，且 P（n）与时刻 t 无关，统计得到 ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有10,52,6PA的概率 P（0）的值是 （答： ）34、对立事件：（A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生） 。计算公式是：P（A）+ P(B)；P( )=1P( A)；5、独立事件：（事件 A、B 的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B) 。提醒：（1）如果事件 A、B 独立，那么事件 A 与 、 与 及事件 与 也都是独立事件； （2）如

4、果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1P（A B）1P(A)P(B)；（3）如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1P（ ）1P( )P( )。如（1）设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生91的概率 P(A)是_（答： ） ；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答3对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错得 0 分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6，且

5、各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得 300 分的概率为_;这名同学至少得 300 分的概率为_（答：0.228；0.564） ；（3）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是_（答： ） ；19（4）一项“过关游戏”规则规定：在第 关要抛掷一颗骰子 次，如果这 次抛掷所出现的点数之和大nn于 ，则算过关，那么，连过前二关的概率是_（答： ） ；（5）有甲、乙两口袋，甲袋中有2n 236六张卡片，其中一张写有 0，两张写有 1，三张写有 2；乙袋中有七张卡片，四张写有 0，一张写有 1，两张写有 2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的

6、三张卡片的数字乘积的可能值为且 ，其相应的概率记为 ，则 的值为nm1, nm21 )(),(,21nmPP )(3_（答： ） ；（6）平面上有两个质点 A、 B 分别位于（ 0，0） 、 （2，2）点，在某一时刻43中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网AC BD同时开始每隔 1 秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动 1 个单位，已知质点 A 向左、右移动的概率都是 ，向上、下移动的概率分别是 和 p，质点 B 向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是431q。求 p 和 q 的值；试判断最少需要几秒钟，A 、B 能同时到达 D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的

7、概率. （答： ；3 秒； ）,64pq2566、独立事件重复试验：事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 次的概率k(是二项展开式 的第 k+1 项)，其中 为在一次独立重复试验中事()(1)knknnPCp(1)npp件 A 发生的概率。如（1）小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得31通过的概率是_（答： ） ；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶，每次饮用时从中任意取 1 瓶94甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为_（答： ）158提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事

8、件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解( 分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率 (常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。 （2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设事件 A=“”， B=“” ；列式计算；作答。十、排列、组合和二项式定理1.排列数 中 、组合数 中 .mnA1,nN、 mnC,10,nm、 N(1)排列数公式 ； 。如

9、（1）!()2()()n !()2nA1！+2！+3！+n！（ ）的个位数字为 （答：3） ；（2）满足 的 *4, 286xAx（答：8）(2)组合数公式；规定 ， .如已知(1)(1)!()2mnAnmnCm 01！ 0nC，求 n，m 的值（答：mn2）16n(3)排列数、组合数的性质： ； ； ；nC1nnC1kn； ； .121rnrr !(1)!()!()!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事） ，分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各

10、个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的） ，有序排列，无序组合如（1）将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 种（答： ） ；（2）从534 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70） ；（3）从集合 和 中各取一个元素作1,2,46 为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_（答：23） ；（4 ）72 的 正约数（包括中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网1 和 72）共有 个（答：12） ；（5） 的一边 AB 上有 4 个点，另一边 AC 上有 5 个点，连同A的顶点共 10 个点，

11、以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90） ；（6）用六种不同颜色把A右图中 A、B、C、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480） ；（7）同室 4 人各写 1 张贺年卡，然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡，则 4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9） ；（8） 是集合 到集合 的映f,Mabc1,0N射，且 ()fab，则不同的映射共有 个（答：7） ；（9） 满足 的集合 A、B、C 共有 c 4,32CBA组（答： ）473.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要

12、求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300） ；（2）某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0. 千位、百位上都能取 0. 这样设计出来的密码共有_种（答：100） ；（3）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，可

13、以组成无重复数字的四位偶数_个（答：156） ；（4）某班上午要上语、数、外和体育 4 门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6） ；（5）四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第 2 或 3 号盒，而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_种（答：84；96） ；（6）设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（答：31）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件

14、的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4) ，(6,3)，(1,2)，(2,1) 可以确定三角形的个数为_（答：15） 。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位置上全排列） 。如（1）把 4 名男生和 4 名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880） ；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20） ；（3）把一同排 6 张座位编号为1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1

15、张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间） 。如（1）3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24） ；（2）某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42） 。（5）多排问题单排法。如若 2n 个学生排成一排的排法数为 x，这 2 n 个学生排成前后两排，

16、每排各n 个学生的排法数为 y，则 x,y 的大小关系为_（答：相等） ；（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料，现有 5 种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种（答：15） ；（2）某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答：36） ；（3）9 名翻译中，6 个懂英语，4 个懂日语，从中选拨 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担任英语翻译，选拨的方法有_种（答：9

17、0） ；（7）有序问题组合法。如（1）书架上有 3 本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2 本不同的书，有 种不同的放法（答：20） ；（2）百米决赛有 6 名运动 A、B、C、D、E、F 参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_种（答：360） ；（3）学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩 且满足 ，89,01,3(,24)ixi124xx则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种（答：15） ；（4）设集合 ，对任,5,678意 ，有 ，则映射 的个数是_（答： ） ；（5）如果一个三位xA()2(3)ff:f38中国特级教师高考

18、复习方法指导数学复习版中国教育开发网正整数形如“ ”满足 ，则称这样的三位数为凸数（如 120、363、374 等） ，那么321a2321a且所有凸数个数为_（答：240） ；（6）离心率等于 (其中 且 )的不qplog91,q*,Np同形状的的双曲线的个数为_（答：26） 。（8）选取问题先选后排法。如某种产品有 4 只次品和 6 只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_（答：576） 。（9）至多至少问题间接法。如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的

19、选法有_种（答：596）（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15） ；（2）某运输公司有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且型号相同，要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队，每个车队至少抽 1 辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以 n！。如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到 4 所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440） ；5.

20、二项式定理： ，其中组合数 叫做第 r+1 项01()nnrnrnabCabCab rnC的二项式系数；展开式共有 n+1 项，其中第 r+l 项 1(0,12T称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二,)n项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为 ，第项的系数为 ；而 的展(axb rn rnab1()nx开式中的系数就是二项式系数；（2）当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数

21、？如（1） 的展37(2)开式中常数项是_（答：14） ；（2） 的展开式中的 的系数为_ 3410(1)()()xx x（答：330） ；（3）数 的末尾连续出现零的个数是_（答：3） ；(4) 展开后所得10 403(7)的 的多项式中，系数为有理数的项共有_项（答：7） ；(5)若x的值能被 5 整除，则 的可取值的个数有_个23456165(2)xN且（答：5） ；(6)若 二项式 按 降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的,yy且 9yx x取值范围是 （答： ） ；(7)函数 的最大值是_（答：(1)1010(sin)(si)fxx1024）.6、二项式系数的性质：（1）对称性：

22、与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ；mnC（2）增减性与最大值：当 时，二项式系数 C 的值逐渐增大，当 时,C 的值逐渐2nrrn 12rrn减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第 1 项）的二项式系数 取得最大值。当2n 为奇数时，中间两项（第 和 1 项）的二项式系数 相等并同时取最大值。如212n（1）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数为_（答：426） ；（2）在 的展1()x (1)nx开式中，第十项是二项式系数最大的项，则 _（答：17,18 或 19） 。n（3）二项式系数的和： ；01rnC 2nC 0213nnC。如（1）如果 ，则 （答

23、：2n2187 1128） ；（2）化简 （答： ）013()nnn ()中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 、 “奇数 (偶次) 项”系数和为(1)f，以及“偶数 (奇次 )项”系数和为 。如（1）已知)1(2f 2f，则 等于_（答： ） ；（2）9290(3xaxax 0129|aa 94，则 4 241) 02()()_（答：2004） ；（3）设 ,则02 nn xaxx221_（答： ） 。naa n8、系数最大项的求法：设第 项的系数 最大，由不等式组 确定 。如求rrA1rAr的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 （答：系数绝对值最大的项为310()2x，系数最大的项为 ）951358x9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998) 5 精确到 0.001 近似值为_（答：0.990） ；（2）被 4 除所得的余数为_（答：0） ；（3）今天是星期一，100 45 天后是星期923_（答：二） ；（4）求证： 能被 64 整除；（5）求证：2*39()nN),()(3*1Nnn且