1、圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 的距离的和等于常数 2a，且此常数 2a 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数 2a 一定要小于 ，定义中的“绝对值”与 不可忽视。若，则轨迹是以 为端点的两条射线，若 ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A B C D （答：C）；方程 表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二
2、定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点 及抛物线 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在 x 轴上时 （参数方程，其中 为参数），焦点在 y 轴上时 。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，AB ）。比如：已知方程 表示椭圆，则 k 的取值范围为_ （答
3、：）；（2）双曲线：焦点在 x 轴上： ，焦点在 y 轴上：。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号）。比如：双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程_（答： ）； （3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时 。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（答： ）（2）双曲线：由 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提
4、醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点 位置，焦点、的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大， ，在双曲线中，c 最大， 。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 为例）：范围：；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为 2a，短轴长为 2b； 准线：两条准线 ； 离心率： ，椭圆 ，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。比如：若椭圆 的离心率 ，
5、则 m 的值是_（答：3 或 ）；（2）双曲线（以 为例）：范围：；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），两个顶点 ，其中实轴长为 2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线 ； 离心率： ，双曲线，等轴双曲线 ，e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；两条渐近线： 。比如：双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于_（答：或 ）； （3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点 ，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 y=0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：
6、一条准线 ； 离心率：，抛物线 。如设 ，则抛物线 的焦点坐标为_（答： ）；5、点 和椭圆 的关系：（1）点 在椭圆外 ；（2）点 在椭圆上 ；（3）点 在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。比如：若直线 y=kx+2 与双曲线 的右支有两
7、个不同的交点，则 k 的取值范围是_ （答： ）； （2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物线相切；（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交, 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交, 也只有一个交点；（2）过双曲线 外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐
8、近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如：过点(2,4)作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）； 对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线 C 的位置关系是_（答：相离）； 求椭圆 上的点到直线的最短距离（答： ）； 7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F
9、的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r=ed，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。比如： 已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为_（答： ）； 椭圆 内有一点 p(1,-1)，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使之值最小，则点 M 的坐标为_（答： ）8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， ，且当 即 P 为短轴端点时， 最大为； ，当 即 P 为短轴端点时，的
10、最大值为 bc；对于双曲线 的焦点三角形有： ； 。比如：短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 ，过 作直线交椭圆于A、B 两点，则 的周长为_ （答：6）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMF BMF；（3 ）设AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 ，若 P 为 的中点，则PAPB；（4 ）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点
11、A、B，且 分别为 A、B的横坐标，则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则，若弦 AB 所在直线方程设为 ，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如：过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为_（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理 ”或“点差法”求解。在椭圆中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；在双曲线中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。比如：如果椭圆 弦被点 A（4，
12、2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答： ）；12你了解下列结论吗？（1）双曲线 的渐近线方程为 ；（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为（ 为参数， 0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 2p，焦准距为 p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线 的焦点弦为 AB， ，则；（7）若 OA、 OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB恒经过定点(2p,0)13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：
13、建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0；如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x=3 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答： 或 ）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0）(m0)，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：）； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程
14、；如点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是_ （答： ）； 代入转移法：动点 P(x,y)依赖于另一动点 的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用 x,y 的代数式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线 上任一点，定点为 A(0,-1),点 M 分 所成的比为2，则 M 的轨迹方程为_ （答： ）； 参数法：当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x,y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是_（答： ）； 注意：如
15、果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1（c，0 ）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足 点 P 是线段 与该椭圆的交点，点 T 在线段上，并且满足 （1）设 x 为点 P 的横坐标，证明；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3 ）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F1MF2 的面积 S= 若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2） ；（3）当 时不存在；当时存在，此时F1MF22）曲
16、线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量 ；（2）给出 与 AB 相交,等于已知 过 AB 的中点;（3）给出 ,等于已知 P 是 M
17、N 的中点; （4）给出 ,等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一： ；存在实数 ；若存在实数 ,等于已知 A,B,C 三点共线（6） 给出 ，等于已知 P 是 的定比分点， 为定比，即（7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知是锐角。 （8）给出 ,等于已知 MP 是 的平分线;（9）在平行四边形 ABCD 中，给出 ，等于已知ABCD 是菱形;（10 ） 在平行四边形 ABCD 中，给出 ，等于已知 ABCD 是矩形;（11 ）在ABC 中，给出 ，等于已知 O 是ABC 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12 ） 在 ABC 中，给出 ，等于已知 O 是ABC 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC 中，给出 ，等于已知 O 是ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14 ）在ABC 中，给出 等于已知 通过ABC 的内心；（15 ）在ABC 中，给出 等于已知 O 是ABC 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16 ） 在ABC 中，给出 ,等于已知 AD 是ABC 中 BC 边的中线
