1、九年级（上）数学创造性学习潜能开发班第一讲：一元二次方程（一）【思维体验】一、一元二次方程的概念【例 1】 （1） （D）（2）由题意： ， ， 当 a=4 时，a-4=0（舍去） ，当 a=-4 时，2a4a，方程 符合题意， 0482x二、一元二次方程的解【例 2】已知 m、n 是二次方程 x2+2009x+7=0 的两个根；求(m 2+2008m+6)(n2+2010n+8)的值【解答】 m 是 x2+2009x+7=0 的根，0792m，同理：160821801nn原式=(-m-1)(n+1)= - (mn+m+n+1)由根与系数的关系得：mn=7,m+n= -2009, 所求代数式=
2、 -(7-2009+1)=200 1【例 3】已知方程 x2-mx+m+5=0 有两实根 ，；方程 x2-(8m+1)x+15m+7=0 有两实根， 求 2 的值（北京市竞赛题）【解答】 方程 x2-mx+m+5=0 和方程 x2-(8m+1)x+15m+7=0 都有根 052m 1 0715)8(m 2- (-m+8m+1)-14m-2=0 (7m+1)( -2)=0 m= 或 =-2 1 2 当 m= 时，两方程相同，不合题意舍去。7=2 代入 ，4-2m+m+5=0 m=9 1此时，两方程 ，0492x0142732x由根与系数关系：=14，=142， 2= =14142=1988三、一
3、元二次方程根的判别式及应用【例 4】 【解答】 （可以直接想，也可以从反面入手）假设三个方程都没有实根则 1-4m2 且 m, 173249)(2217令 , 3AB40)()(2 41785)(3)(）（ BA41785032A81754032A【例 8】【一试身手】【基础训练】1 a 为何值时，关于 x 的方程 x2-ax(3x-a)=x+1 是关于 x 的一元二次方程【解答】易求： 312 已知 a 是方程 x2-2008x+1=0 的一个根，求 a2-2007a+ 的值1082【解答】 a 是方程 x2-2008x+1=0 的根, a2-2008a+1=0a2+1=2008a a2-2
4、007a=a-1原式= 2078110812（其中一种变形，可让学生探多种变形方式）3正比例函数 y=(a+1)x 的图象经过第二、四象限，若 a 同时满足方程 x2+(1-2a)x+a2=0,则此方程根的情况是（ ）(A) 有两个不相等的实数根 (B) 有两个相等的实数根 (C)没有实数根（D）不能确定（2006 年中考试题）【解答】：易选（A）4设 x1 ,x2 是方程 x2-2x-11=0 的两个根，求 x14+x24 的值【解答】：由根与系数关系： ，21621214927312422121 xx【提高训练】1已知 x= -1,求 的值（希望杯邀请赛试题）342x【解答】： 1x331
5、2x22x1423243xx2已知 a ,b ,c 满足 a+b+c=0,abc=8, 且 c0，求证：c2 34【解答】： abc=8 a,b,c 不等于 0 c0,a+b+c=0,abc=8 a,b 同号并同时为负数a+b=-c ab= 则 a,b 为方程 两根，c882cza,b 为实数， c0 32323342c3设 a, b, c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程 ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0, 不可能都有两个相等的实数根（山东省竞赛题）【解答】：假设同时都有两个相等的实根， 且 且04ab0abc三个式子相加得： 04ba 22bca
6、=b=c 这与 a,b,c 互不相等矛盾，0222cb三个方程不可能都有两个相等的实数根。4如果方程（x-1）(x 2-2x+m)=0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ） （全国初中数学竞赛试题）（A）0m1 (B) m (C) m1 (D) m 14343【解答】： 或 由题意三根课作02xxx02x为一个三角形三边长，不妨设另两边为 ， 有根 2304m+ =2 =m0 m 满足条件 即2x32x3132x314014m选（C）5设实数 s、t 分别满足 19s2+99s+1=0, t2+99t+19=0 并且 st1，求 的值ts14友情提示；若先求出
7、s、t 再代入求值，计算太繁。仔细观察两个方程的系数特点，恰当变形，使两个方程具有相同的结构，这是解本例的关键。【解答】： t2+99t+19=0 t=0 时，左边=19 右边， t 0两边同时除以 ， 19s2+99s+1=0 s, 是方程01912tt t119x2+99x+1=0de 两根且 st 1，即 s s+ = s = t19959444tstts【成就测试】 1D; 2 C 3 或 14若关于 x 的方程 x2-2 x-1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。k【解答】： 04kk5 已知方程 1：x 2px +2q=0 和方程 2：x 2qx +2p=0 有公共
8、根，且 pq；p、q 是方程 3：4x 2+mx+n=0 的两个实数根（1）求方程 1 和方程 2 的公共根；（2）如果 m、n 都是正整数，求所有满足题意的正整数对( m,n)【略解】 （1）方程 1 和方程 2 相减，得(p q)(x+2)=0, pq, x=2； 20 分（2）将 x=2 代入方程 1，得 p+q=2，又 p、q 是方程 3 的两相异实数根，所以p+q=m/4, 所以 m=8 30 分又方程 3 有两个相异实数根，所以 m216n0 ，解得 n1, b1 且 ab.公共根是 a= 或 b= .b两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2, aba b+1=3, (
9、a1)(b 1)=3.a,b 都是正整数， ； 或 .31b 13ba解得 ； 或 .42a 24又解： 设公共根为 x0 那么先消去二次项： （ 0)2()()1(20bbaa（b1）（a1） 得（a 2+2）(b1)+(b 2+2)(a1)x 0+(a2+2a)(b1)(b 2+2b)(a1)=0.整理得 （ab）(abab2)(x 01)=0.ab x 01； 或 (abab2)0.当 x01 时，由方程得 a=1, a1=0，方程不是二次方程. x 0 不是公共根.当(ab ab2)0 时， 得(a1)(b 1)=3 解法同上 .5若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程 mx2-2
10、x-m+1=0 的根（m 为整数） ，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在。请说明理由。 （湖北省黄冈市竞赛题）解： 不 存 在 不 是 连 续 自 然 数 的 积但 是 连 续 自 然 数 的 积是 整 数则 是 完 全 平 方 数如 果 时且当 不 合 题 意 舍 去方 程当 舍 去此 时 方 程，当10m1)(2x0)(,241m14021 2km【成就测试】1 解方程 x2-3 +2=0解： 1,203x,20112当当2.解： 4a422其 中 一 方 程 有 两 等 根 根有 三 个 互 不 相 同 的 实 数或axx3证明 （用反证法）设 两个
11、方程都没有两个不相等的实数根，那么 10 和 20.即 42cba由得 b ，b+1 代入，得15ac=b+1 ， 4c 4a 5 4：a 24a+5 0，即（a2） 2+10，这是不能成立的.既然 10 和 20 不能成立的，那么必有一个是大于 0.方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当 1 20 时，则 1 和 2 中至少有一个是正数.4.已知实数 a、b 满足 a2+ab+b2=1,且 t=ab-a2-b2，求 t 的取值范围（全国数学联赛）解：+ t+1=2ab313023121a2tttabat解 得第三讲：证题
12、方法及应用（一）问题解答【思维体验】例 1 略例 2B D DE 于 D， CE DE 于 E，BDA=AEC=90，DAB+ABD=90，在 RtBDA 和 RtAEC 中，BDA=AEC=90，AB=AC，AD =CE，RtBDARtAEC ，DBA= CAE ，DAB+CAE=DAB+DBA=90，BAC=90，ABAC例 2【解答一】在 DC 上截取 DE=DB，连接 AEADBC，DC=AB+BD，DE=DBEC=AB，ADB= ADE=90则 AD=AD，ADB=ADE =90，DB =DEADBADEAB=AE，ABD=AED 又 AB=ECAE=ECCAE=C，AED=CAE+
13、C=2 C又BAC=120C=20【解答二】延长 DB 到 E，使得 BE=AB，连接 AE，则E=EAB，ABD =2EADBC，DC=AB+BD，BE =ABED=DB+EB=DB+AB=DC，ADC= ADE=90则 AD=AD，ADE=ADC=90，DE =DCADEADCAE=AC，E=CABD=2EABD=2C在ABC 中， BAC=120，ABD=2C则C=20【举一反三】1 【证明一】 （根据 BD 平分ABC 应用角平分线性质构造全等） 如图：过点 D 作 DEAB 于点 EDFBC 于点 F，在 BC 上截取 BG=BD，连结 DGAB=AC，BAC=100，BD 平分AB
14、C 交 AC 于点 D，BG=BDABC=ACB=40ABD=CBD=20， BDG=BGD=80DAE=80BGD=DAEBD 平分ABC 交 AC 于点 D过点 D 作 DEAB 于点 E，DF BC 于点 FDE=DF，AED= GFD=90在AED 和GFD 中，BGD=DAE，AED= GFD=90，DE=DF AEDGFDAD=GD在CGD 中，ACB=40 ，BGD=80则GDC=40= ACB，则 DG=GC又 AD=GDAD= GC又 BD=BGBC=BG+CG=BD+AD【证明二】 （通过对折变换以及截长补短构造全等）E FDAB C证明二图解答二图 3E DAB C解答一
15、图EDAB C证明一图GFEDCBA在 BC 上截取 BF=BD，连结 DF在 BC 上截取 BE=AB，连结 DEAB=AC，BAC=100BD 平分ABC 交 AC 于点 D，BD= BFABC=ACB=40，ABD =CBD=20BDF=BFD=80，FDC=BFDACB=8040=40=ACBFD=FC在BAD 和EAD 中，AB=EB，ABD=CBD=20，BD =BDBADEADBED=BAC=100，DA=DEDEF=80又BFD=80DEF=BFDDE=DF又 DA=DE，FD=FC BC=BF+FC=BD+CF=BD+DF=BD+DE=BD+AD【证明三】 （“截长补短” 构
16、造全等）延长 BD 到 F，使得 BF=BC，连结 CF在 BC 上截取 BE=BA，连结 DE，AB=AC，BAC=100BD 平分ABC 交 AC 于点 D，BD= BFABC=ACB=40，ABD =CBD=20ADB=60在BAD 和EAD 中，AB=EB，ABD=CBD=20 BD=BDBADBEDAD=ED，ADB= ADE=60CDE=CDF=60CBD=20， BF=BCBFC=BCF=80又ACB=40 DCF=40=ACB在FCD 和ECD 中，CDE=CDF，CD= CD，ACB= DCFFCDECDDF=DE又 AD=EDAD=DFBC=BF=BD+DF=BD+DE=B
17、D+AD【证明四】 （通过构造含有 30角的直角三角形）延长 BD 到 F，使得 DF=DA连接 AF，过点 B 作 BNAF 于点 N，作 AMBC 于点 M，证明三图FEDCBAAB=AC，BAC=100，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，ABC=ACB=40，ABD =CBD=20ADB=60DF=DADAF=DFA=30又 BNAFBN= BF21AB=AC，BAC=100AMBC 于点 M，BNAF BAM=CAM=50BMA=90=BNA， MB=MC又DAF=30，BAC=100 BAN=50=BAM在BNA 和BMA 中，BNA=BMA，BAN= BAM，AB=ABBNAB
18、MABN=BMMB=MC，BN = BF21BD+AD=BD+DF=BF=2BN=2BM=BM+MC=BC【证明五】 （通过作平行线构造等腰三角形）过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，在 BC 上截取 BF=BD，连结 DFAB=AC，BAC=100，BD 平分ABC 交 AC 于点 DABC=ACB=40，ABD =CBD=20，BDF= BFD=80FDC=BFDACB=8040=40=ACBDF=FCDEBC CBD=EBD=20，AED =ABC=ACB=ADE=40ED=BE，AD=AE又 AB=ACEB=DC=ED在AED 和DFC 中，AED=FDC，ED= DC，ADE
19、 =FCD，AEDDFCDE=DC，AD =CF又 BD=BFBC=BF+FC=BD+CF=BD+AD如果作为竞赛训练题还有其它解法 （下面只提供一种）【证明六】 （构造等边三角形）以 BC 为边作正EBC，连结 EAAB=AC，BAC=100，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，正EBC ABC=ACB=40，DBA =DBC=20，EBA =20， ADB=60，BEC=60证明四图MNFDCBA证明五图FEDCBA以 B 为圆心，以 BD 为半径画弧交 AE 于点 F，则 BD=BF，连结 AFBF=BD，EBA=DBA ，BA=BAFBADBAAF=AD，ADB= AFB=60AB=
20、AC，EA=ECE、 A 都在 BC 的垂直平分线上AEBC，AE 平分 BC又 AB=AC，BEC=60EA 平分BEC，AEF=30又AFB =60EAF=AFBAEF=30=AEFAF=EF又 AF=AD，BC= BE，BD=BFBC=BE=BF+EF=BD+AF=BD+AD【举一反三】2 【证明一】在 AB 上截取 AE=AC，连接 DEAE=AC，AB=AC+ CDEB=CDAD 平分BAC BAD=CADAE=AC，BAD= CAD，AD =ADADEADCDE=DC， AED=C又 CD=EBDE=EBB=EDB，C=AED=B+ EDB=2BB:C=1:2【证明二】延长 AC
21、到 E 使得 AE=AB，连接 DEAE=AB，AB=AC+CD CE=CDE=CDE,ACB=CDE+E=2EAD 平分BAC BAD=CADAE=AB，CAD =BAD，AD=AD ADEADBE=B又ACB=2 EACB=2BB:ACB=1:2例 3 【证明一】延长 FM 到点 G，使得 MG=FM，连接 BGMB=MC，AMG =CMF，MG= MFBMGCMFCF=BG，G= CFMADMECFM=DAC， CFM=EEDAB C证明一图证明二图EDAB C证明六图FED CBAGEFMDBAC证明一图DAC=BADCFM=BAD=E=GBE=BG，而 BG=CF，则 BE=CFBE
22、=AB+AE，AE=AF2BE=AB+AF+CF即：CF=BE= )(1ACB【证明二】利用中点构造中位线证明过点 B 作 BGEM 交 CA 的延长线于点 GBGEM，M 为 BC 的中点CF=FGBGEM，ADME，AD 平分 BACBAD=CAD，CAD=G=AFE ，BAD=ABG=EABG=G，E=AFEAB=AG，AE =AFBE=AB+AE=AG+AF=FG=CF= = = C21)(AG)(21CB例 4【证明】连接 PNP 为 BC 的中点，N 为 CD 的中点NPBC，NP= B21又 Q 为 MN 的中点 ，即： NMPENPEM 是 AB 的中点MA=MB= BA21A
23、E=MAME= E= = = CEPNM2MEAB21AB1AE=CE【举一反三】 【解答】PQ 的长度不变化，等于 4理由：连接 EB，取 EB 的中点 H，连接 HF、FM、MG 、GH、MH、NHH 为 EB 的中点，F 为 BC 的中点，M 为 CD 的中点，G 为 DE 的中点四边形 HFMQ 是平行四边形，且 MH 与 FG 互相平分，即： Q 为 MH 的中点又 P 为 MN 的中点H 为 EB 的中点PQ= ， N21AB21 Q4G EFMDBAC证明二图EPQNMAB DC证明图HPNQGFMDEA BC解答图即：PQ 的长度不变化，等于 AB41例 5 证明：连结 AC，
24、把ABC 绕点 A 逆时针旋转 120得到AEF，则AEFABC ，EFBC ，AFAC ABCEDF180D、E、F 三点共线 CADF ADCADF ADC，即 AD 平分CDE例 6 提示：如图，延长 CD 至 E，使 DE=BD，连结 AE，首先利用条件ADB=90 BDC，证明ADE=ADB12而后证明ADBADE ，便得ACE 是等边三角形AB=AE=AC例 7 【证明一】连结 MBACBBDEAC=BD，BC=DE，AB =BE，ABC =BED，CAB =EBD又ACB=90 ， BDE=90，M 为 AE 的中点ABE=90，MB =MA=ME，BAM= MBA=MBE=BE
25、M=45，BMAECAM=CAB+BAM=CAB+45=EBD+45=DBM在CAM 和DBM 中，CA=DB，CAM=DBM，MA=MBCAMDBM，CM=DM， AMC=BMD又 BMAEAMB=90，CMD=CMB+ BMD=CMB+AMC=AMB=90MCD 是等腰直角三角形【证明二】观察整个图形四边形 ACDE 是一个直角梯形，M 为 AE 中点，考虑构造中位线来解决问题取 CD 的中点 N，连结 MNM EDAC B证明一图例 6 图AB CDEACB 与BDE 是两个全等的直角三角形，C、B、D 在一条直线上，MNACED， ，CN=DN ，MN CDCDBEAMN21)(21)
26、(21MN=CN=DN，MNCDMCD 是等腰直角三角形【证明三】根据已知，M 是 AE 的中点，ACDE延长 CM 交 DE 的延长线于点 N，构造ACM NEM，得到：MN=MC，NE =AC，而 AC=BD得到等腰直角CDN，M 为 CN 的中点，则N=DCN =45，CM=MC=MN，DMCN，则问题得证延长 CM 交 DE 的延长线于点 NACD=CDE=90ACDE，M 为 AE 的中点 1CEANCM=NM，AC=ENCB=DE，BD =ACDC=CB+DB=DE+AC=DE+EN=DNCDE=90， MC=MNDCN=DNC=45，DM =CM=NMDCN=CDM=45CMD=
27、90CMD 是等腰直角三角形【一试身手】【基础训练】1B； 2 ； 36；4证明：过点 D 作 DEAB 于点 E，则 AED=90，C=90，BED=90AD 是BAC 的角平分线， EAD=CADAED=90，C=90，AED= CAED=C，EAD =CAD，AD=AD ，AED ACDDE=DC，AC =AE设 ，CD= kAx根据 BC=2AC 得到：BC= ，根据C=90，BC=2AC ，得到： k2 kAB5根据 AC=AE 得到：AE=AC= ，根据 DE=DC 得到：DE=DC= x在三角形 BED 中， BDE=90NM EDAC B解答图 2NM EDAC B解答图 3
28、，即： 22BED 22)5()(kxk = ，则 222554kkx2kx51AB+2BD= = = =5AC)1(kk4解法二：过点 D 作 DEAB 于点 E，则 AED=90，C=90，BED=90AD 是BAC 的角平分线， EAD=CAD，AED=90，C=90， AED=CAED=C，EAD =CAD，AD=AD ，AEDACD， DE=DC，AC=AE，设 ，CD= ，kAx根据 BC=2AC 得到：BC= ，根据C=90，BC=2AC ，得到： ，k2 kAB5根据 AC=AE 得到：AE=AC= ，根据 DE=DC 得到：DE=DC= xC=90，BC=2AC，DEAB，
29、C=BED=90，B= B ，BE=5:1:ABBDE kE)1(则 BD= ，则 AB+2BD= = =5ACk25 k5【提高训练】5解答：在 AB 上截取 AE=AB，连接 DEAE=AB，AC=AB+BDBD=CEAD 平分BAC BAD=CADAE=AB，BAD=CAD，AD=AD ABDAEDDE=DB，AED= B又 BD=CEDE=ECC=EDC，B=AED=C+ EDC=2CB=80C=40，A=606解答：AB=AC，ABC=ACB= ，ABC 与ACB 都是锐角，)180(2AAD=DE，DEA=DAE= ，DAE 与DEA 都是锐角，则ADE = ，BC0 0182BA
30、CEDAB C解答图EDAB C解答图则BAC 为钝角，过点 C 作 CFAB，过点 D 作 DFBC 交 CF 于点 F，则四边形 BDFC 是平行四边形，则 DB=CF，BC= DF，EAD= ECF，ADF= ABC= )180(2BACDA=CE，AB= ACDB=AE而 DB=CFDB=AE=CFDA=CE，EAD =ECF，AE=CF DABECFED=EF又 ED=BC，BC=DFED=DF=EFEDF 是等边三角形60=EDF=ADE+ADF= + 0182BAC)(20BACBAC=1007解：将ABO 绕点 A 逆时针旋转 60得ACD，连结 OD，则ADAO3，DCOB5
31、，CADBAODAOCAB60AOD 为等边三角形AOD60，OD3，在ODC 中，OD3，OC4，DC5COD90AOCAODCOD1508证明：把ADF 绕中点 D 旋转 180得到BDG，其中 B 与 A、G 与 F 分别是对应点，则BDGADF 。于是SSSADFBEGBEBEDG四 边 形D 是 AB 的中点D 也是 GF 的中点，故 DEF SEGBEG四 边 形SDFAD9解答：如图，作边长为 1 的正方形 ABCD，分别在 AB、AD 上取 AE=a，AG=b，过E、G 分别作 AD、AB 的平行线，交 CD、BC 于 F、H ， EF、GH 交于 O 点.由题设条件及作图可知
32、，AOG、BOE、COF、 DOG 皆为直角三角形.FDEAB C解答图HGFEB CA DO解答图 ,)1(,22baOBbaAOC= .)(,)()1(D再连结对角形 AC，BD，易知 AC=BD= ，OA +OCAC，2OB+ODBD， 2222 )1()1(babba 22)1()(ba.第三讲：证题方法及应用（一）成就测试一、选择题（每小题 15 分，共 30 分）1B设另一边长 c，则 c 是奇数，且 2003c2017, 故 c 的取值可为2005,2007,2009,2011,2013,2015 等 6 个值2答案：D可以运用验证排除法综合法：设直角边为 、 ，不妨设 abba
33、则 221则 则 22222 4844bbaaba则 0则 8b则 )4(a则 或1b2则 或52a68答案是 D二、填空题（每个小题 15 分，共 30 分）3答案： 14答案：90三、解答题5解答：AE=DE=BD，BE=BC，AB=AC DBE=DEB，A =ADE=2DBE，BEC =BCE=A+DBE=3DBEABC=BCE=3DBEA+ABC+BCE=1802DBE+3DBE+3DBE=1802DBE=45A=2DBE=456证明一：构造矩形 ABCD，使得 AB=3，BC=4 ，在 CD 上截取 CE=1，在 AD 上截取AF=1，则 DE=2，DF=3，可以得到： ， ， ，1
34、7BE3F10B可得： = 是有理数242FS证明二设ABC 中， 、 、 ，作 CMAB 于 M，10BC13A7B设 ，则 ， ，xAM222M22C则 ，则 ，则 ， ，2)17(013x x170317017= 是有理数ABCS2第 5 讲 反比例函数 问题解答例 1 分两种情况考虑：（1） a1，a 2 符号相同.D ECAB1 题解答图FECBA D2 题解答 1 图MCA B2 题解答 2 图当 a1，a 2 同正，A，B 两点同时位于第四象限的曲线上；当 a1，a 2 同负，A，B 两点同时位于第二象限的曲线上，满足当 k0 时，在每个象限内，y 的值随 x 值的增大而增大，所
35、以有 b1b 2.（2）a 1，a 2 符号相反.因为 a1a 2， 所以有 a1 0 a2 ，点 A 位于第二象限图象上，点 B 位于第四象限的曲线上 ，由于两点分别位于两个象限，不适用性质来判断 b1，b 2 的大小.可通过图象直接比较得出 b1b 2.例 2 B例 3 解：（1）将 分别代入 中，得3A， kyax， 23ka， 6ka，反比例函数的表达式为： 6yx正比例函数的表达式为 23（2）观察图象，得在第一象限内，当 时，反比例函数的值大于正比例函数的03值（3） BMD理由： 12OACSk 3612OMBACBDCDS 矩 形 四 边 形即 3 4即 n 62m 332MB
36、D，例 4(1)B 点的坐标为(3,3) k9 (2)P1(6, ) P2( ,6) (3)S93m(0m3) S9 (m3)m27例 5 解：（1）由题意，得点 C（0，2） ，点 A（4，0） 设点 P 的坐标为（a， a2） ，其中 a01A（a 1，b 1）B（a 2，b 2）0例 1 解答图由题意，得 S ABP （a4） （ a2）9 21解得 a2 或 a10（舍去） 而当 a2 时， a23， 点 P 的坐标为（2， 3） （2）设反比例函数的解析式为 y xk 点 P 在反比例函数的图象上， 3 ，k6 2 反比例函数的解析式为 y ， x6设点 R 的坐标为（b， ） ，点
37、 T 的坐标为（b，0）其中 b2，那么 BTb2，RT 当RTBAOC 时， ，即 ，COBARATR ，解得 b3 或 b1（舍去） 26b 点 R 的坐标为（3，2） 当RTBCOA 时， ，即 ，AOBTCR21AR ，解得 b1 或 b1 （舍去） 26b33 点 R 的坐标为（1 ， ） 2综上所述，点 R 的坐标为（3，2）或（1 ， ） 132例 6（1）依题可得 )(akb得 k2反比例函数解析式为 y x1（2）由 得,xy；，1 ， 21y经检验 都是原方程组的解；，xy1 ， 2（3）A 点在第一象限；A 点坐标为（1，1） （3）OA ，OA 与 x 轴所夹锐角为 4
38、52当 OA 为腰时，由 OAOP，得 P1（ ，0） ，P 2（ ，0） ；由 OAOP，得 P3（2， 0） 当 OA 为底时，得 P4（1，0） 这样的点有 4 个，分另是（ ，0） ， （ ，0） ， （2，0） ， （1，0） 例 7 解：（1）、点 E 的坐标（a,1-a）; 点 F 的坐标（1-b,b ）（2）、当 PM、PN 与线段 AB 都相交时SEOF= SAOB- SAOE-SBOF= (a+b-1) .12当 PM、 PN 中，一条与线段 AB 相交，另一条与线段 AB的延长线相交时，SEOF= SFOA+S AOE= (a+b-1) .12或 SEOF= SFOB+S
39、BOE= (a+b-1).12(3)、AOF 与BOE 一定相似OA=OB=1,OAF=EBO,BE= a,AF= b点 P 是函数图像上任意一点，2ab=1 =11, = AOFBEO.abAFOBOABE(4)、当点 P 在曲线上移动时， OEF 中，EOF 一定等于 45。由第（3）题得出 AOF 与BOE 一定相似AFO=BOE, 在 OEF 中， AFO=B+BOF,而BOE=EOF+BOF, EOF=B=45.例 8解：（1） 在双曲线 上， 轴， 轴，BA, )0(mxyACyBxA，B 的坐标分别 ， (1 分),1()21,又点 A，B 在直线 上， (2 分)9kxy.29
40、1,mk解得 或 (4 分).21,4mk.,当 且 时，点 A，B 的坐标都是 ，不合题意，应舍去；当k ,1()221k且 时，点 A，B 的坐标分别为 , ,符合题意41()48 且 .(5 分)21k4m（2）假设存在点 使得 PABMN2 轴， 轴， ，ACyyCP ，Rt Rt , ,(7 分)N21ABMC设点 P 坐标为 （1x8） ，则 M 点坐标为 ，)4,( )9 ,(x .又 ，M29271AC ，即 （） (9 分)471x062x 方程（）无实数根16)(2所以不存在点 使得 PABN2【基础训练】1D 2 B 3_2009.5_【提高训练】1解：（1）S （2）由
41、 mn10，得 m10n 代入（1） ，nS1523当 时，S 最大 （3）过 C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别为53n75E、F 由 BDCD CA，根据平行线等分线段定理得 OEEFFA又OA3m，OE2m，OFm可设 C、D 两点坐标分别为 C（2m ，y 1） ，D（m，y 2） 又C 、D 在反比例函数 的图像上，C（2m ， ） ，D（m ，1）xy2解：（1）设直线 DE 的解析式为 bk，点 D ，E 的坐标为（0，3） 、 （6，0） ， .60,3bk 解得 .3,21 21xy 点 M 在 AB 边上，B（4，2） ，而四边形 OABC 是矩形， 点 M 的纵坐标为2又 点 M 在直线 321xy上， 2 = 321x x = 2 M （2，2） （2） xmy（x0）经过点 M（2，2） ， 4m y.又 点 N 在 BC 边上，B（4，2） ，点 N 的横坐标为 4 点 N 在直线 31xy上， 1y N （4，1） 当 x时，y = = 1，点 N 在函数 x 的图象上（3）4 m 83解：（1）平行四边形（2） 点 在 的图象上， ， (1)Bp， 3yx31p过 作 轴于 ，则 ， ，ExOEB在 中， Rt 13tan 302B又 点 、 是正比例函数与反比例函数图象的交点，D点 、 关于原点 成中心对称 O2BOD四边形
