1、物理学教程（二）下册答案913马文蔚第九章 静 电 场91 电荷面密度均为的两块 “无限大”均匀带电的平行平板如图 (A)放置，其周围空间各点电场强度E(设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B)中的( )题 9-1 图分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为 ，方向沿带电平板法向向外，02依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B).92 下列说法正确的是( )(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷(B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零(C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强
2、度必定为零(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B).93 下列说法正确的是( )(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零(B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零(C) 电势为零的点，电场强度也一定为零(D)
3、电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D ).*94 在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p 的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( )(A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩 p 水平指向棒尖端而停止(B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移
4、动(C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动(D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩 p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动题 9-4 图分析与解 电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B).95 精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过10 21 e，而中子电量与零差值的最大范围也不会超过10 21e，由最极端的情况考虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？ 若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库
5、仑力和万有引力的大小.分析 考虑到极限情况， 假设电子与质子电量差值的最大范围为210 21 e，中子电量为10 21 e，则由一个氧原子所包含的8个电子、8个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力，并与万有引力作比较.解 一个氧原子所带的最大可能净电荷为 eq21max081二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为 .4620axGFge显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异，其差异在10 21e范围内时，对于像天体一类电中性物体的运动，起主要作用的还是万有引力.96 1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个
6、带 e32的上夸克和两个带 的下夸克构成.若将夸克作为经典粒子处理(夸克线度约为10 20 m)，e31中子内的两个下夸克之间相距2.6010 15 m .求它们之间的相互作用力.解 由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律 rrreqeFN78.341412020F 与径向单位矢量e r 方向相同表明它们之间为斥力.97 点电荷如图分布，试求 P点的电场强度.分析 依照电场叠加原理， P点的电场强度等于各点电荷单独存在时在 P点激发电场强度的矢量和.由于电荷量为 q的一对点电荷在 P点激发的电场强度大小相等、方向相反而相互抵消，P点的电场强度就等于电荷量为2.0 q的点电荷在该点单独激发的场强度
7、.解 根据上述分析 20201)/(41aqaEP题 9-7 图98 若电荷Q均匀地分布在长为 L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为204LrQE(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 20421r若棒为无限长(即L)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.题 9-8 图分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq Q dx/L，它在点P 的电场强度为 rqeE20d41整个带电体在点P的电场强
8、度 d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， LEi(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(a)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 Lyjjdsind证 (1) 延长线上一点P 的电场强度 ，利用几何关系 rr x统一积分rqE20变量，则电场强度的方向 200220 412/14d4 LrQLrrLQxrLE/-P 沿x 轴.(2) 根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 ErqLd4sin20利用几何关系 sin r/r， 统一积分变量，则2
9、xr202/3220 411LrQEL/- 当棒长L时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P点电场强度 rLrQEl022 /41im此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同图(b).这说明只要满足r 2/L2 1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.99 一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小.题 9-9 图分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第93节的例2可以看出，所有平行圆环在轴线上 P处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心 O处的电场强度.解 将半球壳分
10、割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点 O激发的电场强度为dsind2RSqiE2/320d41rxq由于平行细圆环在点 O激发的电场强度方向相同，利用几何关系 ， 统Rxcosrsin一积分变量，有 dcosin2 din2cos4141d0 303/20rxq积分得 0/04iE910 水分子H 2O 中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示，假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r 0 .试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度.题 9-10 图分析 水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为 ，而夹0erP角为2.叠加后水分子的电偶极矩大小为 ，方向沿对称轴
11、线，如图所示 .由cos20erp于点O 到场点A 的距离x r 0 ，利用教材第5 3 节中电偶极子在延长线上的电场强度 3041xE可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布.解1 水分子的电偶极矩 cos2s00erp在电偶极矩延长线上 303030 14124xxxE解2 在对称轴线上任取一点A，则该点的电场强度 E20204coscos2xereE由于 xr0rcscs0代入得 2/3020 1cos4xxreE测量分子的电场时， 总有x r 0 ， 因此， 式中，将上式化简并 xrxrcos21s1cos2 032/32/02略去微小量后，得30cos1xerE911
12、 两条无限长平行直导线相距为r 0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为.(1) 求两导线构成的平面上任一点的电场强度( 设该点到其中一线的垂直距离为x)；(2) 求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.题 9-11 图分析 (1) 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加.(2) 由FqE ，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量，即：F E.应该注意：式中的电场强度 E是另一根带电导线激发的电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力.解 (1) 设点 P在导线构成的平面上，E 、E 分别表
13、示正、负带电导线在 P 点的电场强度，则有 iixr00021(2) 设F 、F 分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有 iEF02ri0显然有F F ，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引 .912 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.题 9-12 图分析 方法1：作半径为R 的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 01d0qSE这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而 SSd方法2：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即
14、SsE解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有 SSEd依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS 的方向， ER22cos解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为 rEeeesinincosrRSdsd2E2002sini913 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为 ，方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的1mV20电子数表示).分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求
15、得高斯面内的净电荷.解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径 ( 为ER地球平均半径).由高斯定理 qRE0214dS地球表面电荷面密度 2902 mC6./qE单位面积额外电子数 25c13.)/(en914 设在半径为 R的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为 ,求带电球内外的电场强度分布.分析 电荷均匀分布在球体内呈球对称，带电球激发的电场也呈球对称性.根据静电场是有源场，电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面，依照高斯定理有 s QErS0i24d上式中 是高斯面内的电荷量，分别求出处于
16、带电球内外的高斯面内的电荷量，即可求得iQ带电球内外的电场强度分布.解 依照上述分析，由高斯定理可得时， Rr3024rEr假设球体带正电荷，电场强度方向沿径向朝外.考虑到电场强度的方向，带电球体内的电场强度为 r03时， Rr024REr考虑到电场强度沿径向朝外，带电球体外的电场强度为re203915 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 (R2R 1 )，单位长度上的电荷为.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r R 1 ，(2) R 1 rR 2 ，(3) rR 2 .题 9-15 图分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱
17、面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且 ，求出不同半径高斯面rLEd2S内的电荷 .即可解得各区域电场的分布 .q解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 0/2qrLEr R 1 ， 0ER1 r R 2 ， 02r R 2， 0q3E在带电面附近，电场强度大小不连续，如图（b）所示，电场强度有一跃变 002rL916 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 Q 3 Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将 Q2从点 O移到无穷远处外力所作的功.题 9-16 图分析 由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合
18、力为零可求得 Q2 .外力作功W应等于电场力作功 W的负值，即WW.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为 lEd02W其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度.(2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有 0202VQ其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势).解1 由题意Q 1 所受的合力为零 24031201 dd解得 Q32由点电荷电场的叠加，Q 1 、 Q3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为 2/32031ydEy将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处， (沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为 d
19、QydQQWy022/320002 841dl解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时 ，并由电势412的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势 ddV003014将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功 dQW0228比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.917 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为 reE02其中 为电荷线密度.(1)求在rr 1 和rr 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明.解 (1
20、) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有 12012lndrUrE(2) 不能.严格地讲，电场强度 只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷re0分布在无限空间，r处的电势应与直线上的电势相等.918 一个球形雨滴半径为0.40 mm，带有电量1.6 pC，它表面的电势有多大？ 两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴，这个雨滴表面的电势又是多大？分析 取无穷远处为零电势参考点，半径为R 带电量为q 的带电球形雨滴表面电势为 RqV041当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，半径增大为 ，代入上式后可以求出两雨滴相32遇合并后，雨滴表面的电势.解 根据已知条件球形雨滴半径R 10.40
21、mm，带有电量q 11.6 pC ，可以求得带电球形雨滴表面电势 V364101RV当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，雨滴半径 ，带有电量12q22q 1 ，雨滴表面电势 5741302RqV919 电荷面密度分别为和 的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图 (a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.题 9-19 图分析 由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.解 由“无限大” 均匀带电平
22、板的电场强度 ，叠加求得电场强度的分布，i02ax 0 iE电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功 xVx d00lEa 0a-axllxV d00aaxlEl电势变化曲线如图(b)所示.920 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？题 9-20 图分析 通常可采用两种方法.方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由 可求得电势分布.(2) 利用电
23、势叠加原理求电势.一个均匀带电的球pVlEd面，在球面外产生的电势为 rQV04在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势 R04其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布 22013121 4 0RrQreE由电势 可求得各区域的电势分布.rVld当rR 1 时，有 2010 2011 324dd211RQVRRRrlEllE当R 1 rR 2 时，有 20012013224d2RQrVRrlEl当rR 2 时，有 rVr02133dlE(2) 两个球面间的电势差 2102124d1
24、 RQURl解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即rR 1 ，则20101V若该点位于两个球面之间，即R 1rR 2 ，则 20014RQr若该点位于两个球面之外，即rR 2 ，则 rQV02134(2) 两个球面间的电势差 20101212 4RURr921 一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.题 9-21 图分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理 Vd10SE可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义 lbaa
25、r并取棒表面为零电势(V b 0)，即可得空间任意点a 的电势.解 取高度为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理当rR 时 02/lrE得 0r当rR 时 02/lRrE得 0取棒表面为零电势，空间电势的分布有当rR 时 2004d2rRrrVR当rR 时 rrrRln2d00如图所示是电势V 随空间位置r 的分布曲线.922 一圆盘半径R3.00 10 2 m.圆盘均匀带电，电荷面密度2.0010 5 Cm 2 .(1) 求轴线上的电势分布； (2) 根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；(3) 计算离盘心30.0 cm 处的电势和电场强度.题 9-22 图分析 将圆盘分
26、割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布.解 (1) 如图所示，圆盘上半径为 r的带电细圆环在轴线上任一点 P激发的电势20d41dxrV由电势叠加，轴线上任一点P 的电势的(1)xRxrR2002d2(2) 轴线上任一点的电场强度为(2)iiE2012dxxV电场强度方向沿x 轴方向.(3) 将场点至盘心的距离x 30.0 cm 分别代入式(1)和式(2)，得 691-mV075E当xR 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为 .
27、依照点电荷电C1065.82Rq场中电势和电场强度的计算公式，有 V16940xV1-20m5qE由此可见，当xR 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理， E和 V的误差分别不超过0.3和0.8，这已足以满足一般的测量精度.923 两个很长的共轴圆柱面(R 1 3.010 2 m，R 2 0.10 m)，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 .求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r0.05 m 处的电场强度.解 (1) 由习题915 的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为 rE02根据电势差的定义有 120212lnd1 RURl
28、解得 8120 mC.ln/(2) 解得两圆柱面之间r0.05m 处的电场强度 10V475 2rE924 轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核(质子)结合成一个氦原子核(粒子)时，可释放出25.9MeV 的能量 .即 MeV25.9He40121这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚变，就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大，只有在极高的温度下，使原子热运动的速度非常大，才能使原子核相碰而结合，故核聚变反应又称作热核反应.试估算：(1)一个质子()以多大的动能(以
29、电子伏特表示)运动，才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离？H(2)平均热运动动能达到此值时，温度有多高？ (质子的半径约为1.0 10 15 m)分析 作为估算，可以将质子上的电荷分布看作球对称分布，因此质子周围的电势分布为reV04将质子作为经典粒子处理，当另一质子从无穷远处以动能E k飞向该质子时，势能增加，动能减少，如能克服库仑斥力而使两质子相碰，则质子的初始动能 RereE24102Rk0假设该氢原子核的初始动能就是氢分子热运动的平均动能，根据分子动理论知： kT3由上述分析可估算出质子的动能和此时氢气的温度.解 (1) 两个质子相接触时势能最大，根据能量守恒 eV102.7415
30、02RK0 ereVE由 可估算出质子初始速率20k01vmE 17k00 sm2.1/Ev该速度已达到光速的4.(2) 依照上述假设，质子的初始动能等于氢分子的平均动能 kT23k0得 K16.59k0ET实际上在这么高的温度下，中性原子已被离解为电子和正离子，称作等离子态，高温的等离子体不能用常规的容器来约束，只能采用磁场来约束(托卡马克装置)925 在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为10 9 ，被迁移的电荷约为30 C.(1) 如果释放出来的能量都用来使 0 的冰融化成0 的水，则可溶解多少冰？ (冰的融化热L3.34 10 5 J kg)(2) 假设每一个家庭一年消耗的能量为
31、3 000kWh ，则可为多少个家庭提供一年的能量消耗？解 (1) 若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收，故可融化冰的质量 kg1098.4LqUEm即可融化约 90 吨冰.(2) 一个家庭一年消耗的能量为J108.hkW03E20EqUn一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年消耗的电能.926 已知水分子的电偶极矩 p=6.1710 30 C m.这个水分子在电场强度 E1.0 10 5 V m-1的电场中所受力矩的最大值是多少?分析与解 在均匀外电场中，电偶极子所受的力矩为 EM当电偶极子与外电场正交时，电偶极子所受的力矩取最大值.因而有 N107.625max p9-2
32、7 电子束焊接机中的电子枪如图所示，K为阴极，A为阳极，阴极发射的电子在阴极和阳极电场加速下聚集成一细束，以极高的速率穿过阳极上的小孔，射到被焊接的金属上使两块金属熔化在一起.已知 ，并设电子从阴极发射时的初速度为零，求：V105.24AKU（1）电子到达被焊接金属时具有的动能；（2）电子射到金属上时的速度.分析 电子被阴极和阳极间的电场加速获得动能，获得的动能等于电子在电场中减少的势能.由电子动能与速率的关系可以求得电子射到金属上时的速度.解 （1）依照上述分析，电子到达被焊接金属时具有的动能 e105.24AKkeE(2)由于电子运动的动能远小于电子静止的能量，可以将电子当做经典粒子处理.
33、电子射到金属上时的速度题 9-27 图第十章 静电场中的导体与电介质101 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A） 升高 （B） 降低 （C） 不会发生变化 （D） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势 .由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）.102 将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N的左端接地（如图所示），则（ ）（A） N上的负电荷入地 （B）N 上的正
34、电荷入地（C） N上的所有电荷入地 （D）N上所有的感应电荷入地题 10-2 图分析与解 导体N接地表明导体 N为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体 N在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）.103 如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A） （B）dqVE04, dqVE0204,（C） （D）, R020,题 10-3 图分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷q，导体球表面的感应电荷q在球心O点激发的电势为零，O 点
35、的电势等于点电荷 q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）.104 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( )（A） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关（E） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，
36、表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E）.105 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）（A） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/ 倍（C） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（D） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的 倍分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场
37、迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有 iSS q001d1E即E E / ，因而正确答案为（A ）.106 不带电的导体球A含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.题 10-6 图分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电
38、球对点电荷q d的作用力. 204rqFdcbd点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷q b 、q c处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c受到的作用力为零.107 一真空二极管，其主要构件是一个半径R 5.010 4 m的圆柱形阴极和一个套在阴极外、半径R 4.510 3 m 的同轴圆筒形阳极阳极电势比阴极电势高300 V，阴极与阳极的长度均为L2.510 m假设电子从阴极射出时的速度为零求：（） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（）电子刚从阳极射出时所受的力题 10-7 图分析 （1） 由于半径R L，因此可将电极视作
39、无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率（2） 计算阳极表面附近的电场强度，由FqE 求出电子在阴极表面所受的电场力解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为 J108.47epVE由于电子的初始速度为零，故 J.17epekek 因此电子到达阳极的速率为 1-7ek sm03.2VmEv（2） 两极间的电场强度为reE02两极间的电势差 1200lnd2d121 RrVRR r负号表示阳极电势高于阴极电势阴极表面电场强度 rrRVeeE1210l
40、n2电子在阴极表面受力 reeFN)37.414（这个力尽管很小，但作用在质量为.110 3 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的510 5 倍108 一导体球半径为R ，外罩一半径为R 2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V 求此系统的电势和电场的分布分析 若 ，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强204度处处为零，内球不带电若 ，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带20RV电一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布并由 或电势叠加求出电势的p
41、VlEd分布最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q 、R 、R 2表示题 10-8 图解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称取同心球面为高斯面，由高斯定理 ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得 02/4dqrErSE各区域内的电场分布为r R 时， 01rR rR 2 时， 2024qErR 2 时， 202rQ由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布r R 时， 2010 32114dd21RQqVRRRrr lEllElR rR 2 时， 200 3224dd2RQrqVRRrrlEllErR 2 时， rqVr034dlE3也可以从球面电势的叠加求电势的分布
42、：在导体球内（r R ） 201014RQqV在导体球和球壳之间（R rR 2 ） 2004rq在球壳外（rR 2）为rqQV034由题意 102014Rq得 QVq210于是可求得各处的电场强度和电势的分布：r R 时，；01E01VR rR 2 时， ；201214rRQrVrRQr201014)(rR 2 时，；20120134)(rrErrV2010134)(109 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球电离层系统的电容设地球与电离层之间为真空解 由于地球半径R 16.3710 6 m；电离层半径R 21.0010 5 m R 1 6.4710 6 m，
43、根据球形电容器的电容公式，可得 F08.442120C1010 两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距 0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略求输电线单位长度的电容分析 假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布, E再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容解 建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在 P点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得 P点电场强度的大小为 )1(20xdE电场强度的方向沿 x轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之
44、间的电势差为 xdlUlRd)1(20上式积分得 Rln0因此，输电线单位长度的电容 ddUCl/l/00代入数据 F152.题 10-10 图1011 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0 mm2 ，两金属片之间的距离是0.600 mm.如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？题 10-11 图分析 按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变
45、化量可以求得按键按下的最小距离：解 按下按键时电容的变化量为 001dSC按键按下的最小距离为 m152.0020minSdd1012 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm 2 ，厚度为0.10 mm把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率 r 173，故充满此介质的平板电容器的电容 F1053.90dSCr（2） 电容器加上U 12V 的电压时，极板上的电荷 C84.UQ极板上自由电荷面密度为 2-80m10.S晶片表面极化电荷密度 2-400 C83.1 r（3） 晶片内的电场强度为1-5mV02.1dUE1013 如图所示，半径R 0.10 m 的导体球带有电荷Q 1.0 10 C，导体外有两层均匀介质，一层介质的 r5.0，厚度d 0.10 m ，另一层介质为空气，充满其余空间求
