1、2017 届福建省福州第一中学高三 5 月质检（最后一模）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ,若 ,则 的取值范围是( )1log2xA0cxBBAcA(0,1 B C(0,2 D)22. 已知 为实数,若复数 为纯虚数,则 的值为( )aiaz)1(2ia106A1 B0 C Di3. 设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )xy,082,yxyxz3A7 B8 C9 D 144. 我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本
2、一尺，重四斤斩末一尺，重二斤 ”意思是：“现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是 ( )A.该金锤中间一尺重 3 斤B.中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的 3 倍C.该金锤的重量为 15 斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤5. 执行如图所示的算法，则输出的结果是( )A1 B C. D234456. 设 ， 为自然对数的底数，则 ， ， 的大小关系为( )0aeae1aA B C. Deae11ae ae1ea17. 某几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图完全相同，则该几何体的体积为(
3、 )A B C. D386438192356)12(45168. 规定：投掷飞镖 3 次为一轮，若 3 次中至少两次投中 8 环以上为优秀.根据以往经验某选手投掷一次命中 8 环以上的概率为 .现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率： 用计算机产生 0 到 9 之54间的随机整数，用 0,1 表示该次投掷未在 8 环以上，用 2,3,4,5,6,7,8,9 表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此
4、估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为( )A B C. D54201812520179. 点 在以 为焦点的抛物线 上， ，以 为圆心 为半径的圆交 轴于 ， 两点，PFyx45PFPFxAB则 ( )A9 B12 C.18 D3210. 函数的 （ ， ）图象关于直线 对称，且图像上相邻两)sin(3)(xxf 023x个最高点的距离为 ，若 ，则 ( )(432f 35sin(A B C. D415151411. 在棱长为 1 的正方体 中， 是 的中点， 是三角形 内的动点，CADEAPCBD，则 的轨迹长为 ( )CEPA B C. D2234234612. 已知数列 满足
5、， （ ， ） ，则 的整数部分是( )na1211nna*N2n0172iiaA0 B1 C. 2 D3第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. dxx)12(10214. 的展开式的常数项是 515.在 中， ， ， ，则 ABCD24AB3CB16.点 在曲线 上，点 在曲线 上，线段 的中点为 ， 是坐标原点，P1yxQ4)(22yxPQMO则线段 长的最小值是 OM三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 的最大值为 2.xmxfcos2sin)()0(（）求函数 在
6、上的单调递减区间；,0（） 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ，若ABCCabc60C3c，求 的面积 .)4()(ff BAsin618. 如图所示，在三棱柱 中， 为正方形， 为菱形， .11B111ACB（）求证：平面 平面 ；BA1C1（）若 是 中点， 是二面角 的平面角，求直线 与平面 所成角的余弦DCDBA1 1ACB值.19. 某保险公司针对一个拥有 20000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为 、 、 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔
7、付频率如下表（并以此估计赔付频率）.对于 、 、 三类工种职工每人每年保费分别为 元， 元， 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元，ABCab100 万元，50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元.（）若保险公司要求利润的期望不低于保费的 20%，试确定保费 、 所要满足的条件；a（）现有如下两个方案供企业选择；方案 1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；方案 2：企业于保险公司合作，企业负责职工保费的 60%，职工个人负责保费的 40%，出险后赔偿金由保险公司赔付.若企业选择翻翻 2 的支出（不包括职工支出）低于选择方
8、案 1 的支出期望，求保费 、 所要满足的条件，ab并判断企业是否可与保险公司合作.（若企业选择方案 2 的支出低于选择方案 1 的支出期望，且与（）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作.）20. 已知圆 ： ， ， 是圆 上的一个动点，线段 的垂直平分线与线段C16)(2yx)0,(FMCMF相交于点 .MP（）求点 的轨迹方程；（）记点 的轨迹为 ， ， 是直线 上的两点，满足 ，曲线 的过 ， 的两条1AB2xBA1CAB切线（异于 ）交于点 ，求四边形 面积的取值范围.2xQF21. 函数 .)0(ln)(af（）讨论 的单调性；x（）若 且满足：对 ， ，都有 ，试比较
9、与 的大0a1x,22ln3)(21xff 1aee小，并证明.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 ： .以极点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系 ，1Ccos4sin2xxOy曲线 的参数方程为： ， （ 为参数， ） ，曲线 ： （ 为参数）.2Csincoyx2,Ctyx2310（）求 的直角坐标方程；1（） 与 相交于 ， ，与 相切于点 ，求 的值.CAB2CQBA23.选修 4-5：不等式选讲（）求函数 的最大值 .31)(xf M（）若实数 ， ， 满足 ，证明： ，并说明取等条
10、件.abccba2 01)(2cba2017 年福州一中高三理科数学模拟考试一、选择题1-5:DCCBA 6-10:BADCA 11、12：DB二、填空题13. 14. 3 15. 16. 412112三、解答题17.解：（1）由题意， 的最大值 ，所以 ，)(xf2m2而 ，于是 ， .0m2)4sin(x为递减函数，则 满足 （ ）.)(xfx23kkZ即 （ ）.4542kZ所以 在 上的单调递减区间为 .)(xf,0,4（2）设 的外接圆半径为 ，由题意，得 .ABCR3260sini2CcR化简 ，得)4()(ff BAsin6.sin62sin由正弦定理，得 ， .abR)( ab
11、2由余弦定理，得 ，即 .92a093)(将式代入，得 .03)(解得 ，或 （舍去） ， .3ab24sin21CabSABC18.解：（1）证明：连接 ，因为 为菱形，所以 ，又 ，11 11B1AC，所以 面 .1CBA故 .1因为 ，且 ，所以 面 .11BACB1而 ，所以平面 平面 ；AB（2）因为 是二面角 的平面角，所以 ，又 是 中点，ADBBC1 1CBD1所以 ，所以 为等边三角形.1C1如图所示，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，xyz不妨设 ，则 ， ， ， .2AB)0,()3,(1C)3,10()3,12(AC设 是平面 的一个法向量，则),(zy
12、xn，即 ，0BAnC032zyx取 得 .1z)1,(所以 ，11,cosCn4631所以直线 与平面 所成的余弦值为 .1AB019.解：（）设工种 ， ， 职工的每份保单保险公司的效益为随机变量 ， ， ，则 ， ，XYZXY的分布列为ZXa410aP5105Ya410aP51025Xb410bP4104保险公司期望收益 ，510aEX5410)(aa，5452)(102aEY.4410)(bbZb根据要求 6.02)1(a 3.2)(a 1.02)5(4.10.b解得 ，759b所以每张保单的保费需要满足 元.2759a（）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为.54
13、51023.106.20（ ）444105.0207若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为.6.3. ba26.1.9ba解得 ，289ba结果与（）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作.20.解：（）依题意得圆心 ，半径 ，由于)1,0(C4r.24FrPCF所以点 的轨迹方程是以 ， 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，即 ， ，则2a1c，所以 的轨迹方程是 .312b 132yx（）依题意，直线 斜率存在且不为零，设为 ，令 得 ，AF)1(xky2),(kA同理 .)1,2(k设过点 的切线为 ，代入 得kxy)2(1 1342yx.1218)43(kxk 0)21由 解得 ，43(
14、6)(6212123(2kk4321同理 .k14142联立两条切线 ，解得 .kxky1)2(432 4x，等号成立当且仅当 ，QAQBFSF2131k所以四边形 面积的取值范围是 .),21.解：（） ， .1)ln()axxf 221)(1( axaxf当 时， ， 单调递增，又 ，0a0(ff 0)f所以当 时， ， 单调递减；,1x)(xf(f当 时， ， 单调递增；,00ff当 时， ， 单调递减，又 ，a)(x)(x 0)(f所以当 时， ， 单调递增；,ff当 时， ， 单调递减.ax1,00)(xf)(f（）当 时，由 得 .a1由（）知 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
15、对 ， ，都有)(xf0,1,0 1x,2等价于2ln3)(21f即 解得 ；,l)0(f,23ln)1l(a1a令 ， ，xexgln1)( exg)(当 时， ， 单调递减；,00)()(当 时， ， 单调递增；,1ex)(xg)(又 ，所以 .0)1(ge 013)(egag即 ，所以 .lnaea122.解：（）因为 ， ，cosxsiny由 得 ，s4sin2 c4i2所以曲线 的直角坐标方程为： .2Cxy（）设 ，易知直线 的斜率 ，)sin,(coQ2,C3k所以 ，即 ，所以 ，故 .3Ok3tasi621,Q取 ， ，不妨设 ， 对应的参数分别为 ， .20x10yAB1t2把 代入 ，,231tyxy42化简得 ，即 ，4tt 0138)2(tt易知 ， .03821t所以 .21tBQA23.解：（） ，等号成立，3)(xf 132x当且仅当 或 ，所以 .32x11M（） ，)(cba)(2ba12)(ba0)(2ba当且仅当 ， 时取等，21所以存在实数 ， 满足条件.bac
