1、- 1 -福建省晋江市永春县第一中学 2017 届高三数学 10 月月考试题 理考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。1. 已知全集 , 集合 , , 则集合 可以表示为1,234U34M125N1,2（ ）A B C DMN()U()U()UMN2. 若复数 ia213（ iR,为虚数单位）是纯虚数，则实数 a的值为（ ）A 6 B
2、 2 C D 6 323. 已知向量 ，若 ,则 （ ）1,abab=A. B C D32304已知命题 p： xR， ，命题 q： ， ，则下列说法lg()0(,)x2x中正确的是（ ）A命题 q是假命题 B命题 pq是真命题C命题 ()p是假命题 D命题 ()是真命题5. 已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为（ ）2214xya(0)a2aA. B. C. D. 2 36 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D43532737.已知不等式组 构成平面区域 (其中 , 是变240,xyxy- 2 -量)。若目标函数 的最小值为-4，则实数 的值为（ ）6(0)zax
3、yaA B C3 D 84328执行如图所示的程序框 图，则输出的结果是（ ）A14 B15 C16 D17 9. 在 中，若 Csin2sincos1ABC，的形状一定是（ ）则A等边三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不含 的等腰三角形60o10. 已知函数 ，则函数 的大致图像为（ ）2lnxfxyfx11. 定义在 R 上的奇函数 满足 ，且不等式 在 上恒)(xfy0)3(f )()(xff),0成立，则函数 = 的零点的个数为（ ）)(g1lgA. 1 B. 2 C. 3 D.12. 已知函数 ，则关于 的方程 的实根个52lo()()()1xfxx1(2)fax数不可能为（ ）A
4、. B. C. D. 8765第 II 卷（非选择题，必做部分，共 80 分）二、填空题 ：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡的横线上。13. 二项式 的展开式中的常数项是_.102x14. 如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积SABCD为 ，则该半球的体积为 。163开 始0,Sn输 出 n结 束 3?2log否是- 3 -15. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 ，当且仅当有两个数,abc字的和等于第三个数字时称为“好数” （如 213，134 等） ，若 ，且 互,1234，,abc不相同，则这个三位数为“好数”的概率是_。16.
5、已知数列 的前 n 项和 ，若不等式 对 恒成立，na12nnSa2()nnN则整数 的最大值为 。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卡各自题目的答题区域内作答。（17） （本小题满分 12 分）在ABC 中， 是其三个内角 A,B,C 的对边，且 .,abc ,sin23cos2inabAB（）求角 C 的大小；（）设 ，求ABC 的面积 S 的最大值。3（18） （本小题满分 12 分）由中国科协、工信部共同主办的 2016 世界机器人大会将于今年 10 月 21 日至 25 日在北京举行，为了搞好接待工作，组委会在北京某大学分别
6、招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者，现将这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm ） ，若身高在 175cm 以上（包括175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（ 不包括 175cm）定义为“非高个子” 。（）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数） 。（）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望。（19） （本小题满分 12 分）如图,四棱锥 ,侧面 是边长为 的正三角形,且平面 平面 ,PABCDP2PADBC- 4 -底面 是 的菱形, 为棱 上的动点,且 ( )。A
7、BCD60MPCPM0,1() 求证: ；P() 试确定 的值,使得二面角 的AD平面角余弦值为 。5（20） （本小题满分 12 分）椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 2:1xyCab(0)12(3,)P5()求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 、 两点( 、 不是左右顶点)，且以:lykxmCMN为直径的圆过椭圆 的右顶点 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标MNAl（21） （本小题满分 12 分）已知函数 （ ） 2()lnfxxaR() 若函数 的图象在 处切线的斜率为 1，且不等式 2fxm在f上有解，求实数 的取值范围；1e,m（）若函数 的图象与 轴有
8、两个不同的交点 ，且 ，()fxx12(0)()AxB， ， ， 120x求证： （ 其中 是 的导函数） 120()ff第 II 卷（非选择题，选做部分，共 10 分）请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程- 5 -已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.xOyCsin24co3yx（）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；C（）已知 ，圆 上任意一点 ，求 面积的最大值.(2,0)(,AB(,)PxABP（23） （本小题满分 1
9、0 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()1.fxxa()若 a，解不等式 ()3f；（）如果 ,2R，求 的取值范围2017 届高三年毕业 班 10 月月考数学（理）科参考答案（2016.10）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A C D C A B C B A C D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 45 14. 15. 16. 26312三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（本小题满分12分）解：() sin23cos2in,AB
10、1(i)si,2sin)2in,i(2)sin233AB，或 ，AB由 ，知 ，所以 不可能成立，所以 ，ab 23AB- 6 -即 ，所以 6 分3AB23C() 由（）得，所以 ，sin13sin4SabCab即 ， 22cos,abcC22， ，231ab即当 时，ABC 的面积 S 的最大值为 。12 分1ab34法二：由（）得， ，2sincC13sin2i24SababAB3sini()3AB1(cosn)2sin4313(cos)224sin)6A即当 时，ABC 的面积 S 的最大值为 。12 分B3418 （本小题满分 12 分）解：()根据茎叶图可得：男志愿者的平均身高为
11、159670156821796.1()cm女志愿者身高的中位数为 4 分8.()2cm()由茎叶图可知， “高个子”有 8 人， “非高个子”有 12 人，而男志愿者的“高个子”有 5 人，女志愿者的“高个子”有 3 人。的可能值为 0,1,2,3，- 7 -故 32155388100(),(),66CCPP12353881(),(),656CCPP即 的分布列为： 0 1 2 3P 563561所以 的数学期望 12 分098E19.（本小题满分 12 分）解： ()取 中点 ,连结 ,依题意可知 , 均为正三角形,ADO,PCAPADC所以 , ,又 , 平面 , 平面 ,COOP所以 平
12、面 ,又 平面 ,所以 ,因为 ,所以 。 4 分/B()由()可知 ,又平面 平 面 ,PAPABC平面 平面 ,DCD平面 ,所以 平面 .OO以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,则xyz, , , ,03P10A30C由 可得点 的坐标为 , ,MM,3所以 , ,31A3,1D设平面 的法向量为 ,则 ,即Dxyzn0An033xyzPAB C DM Ox yz- 8 -解得 ,令 ,得 ,10xzy10n显然平面 的一个法向量为 ,PAD3OC依题意 ,2215cos, n解得 或 (舍去),23所以,当 时,二面角 的余弦值为 . 12 分PADM520 （本小题满分 12
13、分）解：()由题意得： 12cea左焦点 到点 的距离为：(,0)(3,)P 235dc由可解得 221, 3abc所求椭圆 的方程为 4 分C14xy()设 ，将 代入椭圆方程得12(,)(,)MxyNkxm （*）243810kkm ， ，且 ， 6 分122x2143xk1ykx2ykxm 为直径的圆过椭圆右顶点 ，所以 MN(,0)A0MAN所以 121212(,)(,)xyxyk()m2 211(k)()4xx22 2248()033kk- 9 -整理得 2271640mk 或 都满足方程（*）的 10 分0若 时，直线 为 ，恒过定点 ，不合题意舍去；2kl2()ykx(2,0)A
14、若 时，直线 为 ， 恒过定点 12 分77x721 （本小题满分 12 分）解：()由2()fxa，得切线的斜率 (2)31,2,kfa故 2lnf， 2 分由 xm得 2lnx不等式 2f在 上有解，所以 2max(ln) 4 分1e,令 ()lngxx ， 则 21)()xgx， 1e， ，故 ()0g时， 1当 x时， ；当 时， xex()0gx故 在 1处取得最大值 (1)g， 所以 1m6 分()g()因为 的图象与 轴交于两个不同的点fx2,AxB所以方程 的两个根为 ，2ln0ax12则 ，两式相减，得112lx， 8 分1212lnxa又 ，则l,fxafax1212121
15、212ln44xfx下证 （*） ，即证明1212ln0x111222l0,xtx- 10 -120,1,xt即证明 在 上恒成立10 分ln0utt1t因为 又 ，所以22214()()()tttt t 01t0ut所以， 在 上是增函数，则 ，从而知ut0,1u2112lnxx故 ，即 成立12 分1212ln40xx120xf选做部分：（本小题满分10分）22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：()圆 的参数方程为 （ 为参数）Csin2co3yx所以普通方程为 4)()(2圆 的极坐标方程： 5 分021si8co6()点 到直线 ： 的距离为(,)PxyAB02yx 2|9sinco| d的面积AB |)4i(|9sinco|21 dS所以 面积的最大值为 10 分2923 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：()当 1a时， ()1.fxx由 ()3fx得 3.当 时，不等式可化为 即 ，其解集为 3(,.2x23x当 1x时，不等式化为 1，不可能成立，其解集为 ；当 时，不等式化为 3,xx即 ，其解集为 ,).- 11 -综上所述， ()3fx的解集为 3(,).2 6 分() 11a，要对于 ,()xRf恒成立，则 2a， 3或 ，即 的取值范围是 (,1,)。10 分
