1、1数学建模太阳能热水器倾角计算可持续发展观是我国的重要国策，能源的充分利用是可持续发展的重要保证。北京工业大学为节约能源，决定建造一个有太阳能热水器提供热水的浴室。为了是太阳能热水器充分发挥作用，现在需要讨论北京地区太阳能热水器倾角 与热效率的关系。这里倾角 是 指热水器受热面积与水平面夹角（小于 90 度） 。请回答以下问题：（1 ） 计算一年中春分、秋分、夏至、冬至这四天中 的最优值。（2 ） 如果浴室出现夏天热水用不完。而冬天又不够用的情况。又将如何确定 值。（3 ） 如果允许一年中调节两次角度。选定在一年中几月几号好。（4 ） 如果考虑北京一年四季的天气特点、早晚大气折射，结论又将如何
2、？【问题假设】：1 太阳能热水器摆放的位置是平整的。2 太阳能热水器是面向正南方的。3 热水器工作正常，没有任何质量问题。4 热水器的光照板的有效面积是 S。5 太阳垂直照射情况下，地表单位面积、单位时间接收的能量为 E。6 太阳能热水器将太阳能转换成热能的效率是 P。【模型建立】： （图一）太阳光线地面立体图（图二）太阳线热水器剖面图单位时间内太阳板所能接收的太阳能为 q, 太阳光与热水器太阳板的夹角为 ， 是指热水 地面太阳光线面 +2器受热面积与水平面夹角：q=E*S*sin(+)由（图一）太阳光线地面立体图可得出 。 、wt 三个角的关系，其中 为该天中午和 。12 点，太阳与地面的夹
3、角。sin=sin。 sin某一天(假设为晴天)太阳板所能接收的太阳能为 Q 光，该一天内太阳照射到热水器的时间为 t。Q 光=0热水器中的水所能吸收的热量为 Q 热，单位时间内热水器中的水散失的热量为 q 散，热水与大气之间的温差为 ,温差对 q 散的影响系数为 k。 Q 热=P*Q 光-k* *q 散*t综上：热水器中的水所能吸收的热量为 Q 热为Q 热 = P*E* * 0sin(+)-k* *q散 *tQ 热 = P*E* * 0sin(+sin1（ sin。 sin） )-k* *q散 *t积分得：Q 热= P* *E* *2sin(+。 )k* *q散 *t【问题的求解与分析】：Q
4、 热 = P* *E* *2sin(+。 )k* *q散 *t3(1).若 Q 热取得最大值，则： 。sin(+。 )取得最大 值 ，即， +。 =2=90-， 为太阳直射点的。 =90-。 = ， 纬度, 为北京纬度（39.92）春分时，太阳直射赤道，=0，所以， ;=39.92夏至时，太阳直射北回归线，=23.43，所以，=39.9223.43=16.49；秋分时，太阳直射赤道，=0，所以， ;=39.92冬至时，太阳直射南回归线，=-23.43 ，所以，=39.92+23.43=63.35;(2). Q 热加热到所需水温 T 需时的可用水量为 M，水的初始温度为初，水的比热容为则有M=
5、Q热(T需 初 )=P*E* *2*sin(+。 )k* *q散 *t(T需 初 )冬天 比较小，所以由上式的 M 冬比较小；夏天 比较大，所以由上式的 M 夏比较大； 初 初因此，浴室会出现夏天热水用不完，而冬天又不够用的情况。设，各季节所需水量为 M。 ，调节 使 M 冬大于 M0 。 (3) 因为，浴室出现夏天热水用不完，而冬天又不够用的情况。所以要尽可能的使 满足冬天的需求，因此要在立冬（11 月 7 日或 8 日）这天调节 到冬天的最优角度。为了不影响春夏秋三季的用水问题，应该在立春（2 月 4 日或 5 日）调节 。（4）北京的春季持续时间短，气温回升快，也是一年四季昼夜温差最大的
6、季节。因受季风的影响，北京的春季干旱少雨，风沙较多；夏季酷暑炎热，降水集中，漫长的夏季常常使得人们感到闷热；秋季秋高气爽，是一年之中最好的季节，酷暑过后凉爽而干燥西北风吹入北京湾，此时天高云淡、气候宜人，金秋八月使北京最好的季节。但进入深秋之后，降温很快，天气突变时，气温可从十几摄氏度一下降到几摄氏度，甚至降到零摄氏度一下；4北京的冬季最为漫长，它是一个寒冷、干燥、少降水的季节。北京地区四季分明，但时间长短却不相同。春季 4 月 1 日5 月 25 日共 55 天；夏季5 月 26 日9 月 5 日共 103 天;秋季 9 月 6 日11 月 7 日共 63 天;冬季 11 月 8 日至次年 3月 31 日共 144 天。因此要在冬天开始（11 月 8 日）这天调节 到冬天的最优角度。为了不影响春夏秋三季的用水问题，应该在春天开始（4 月 1 日）调节 。
